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文档简介

1、数学物理方法,勒让德多项式 ( Legendre Multinomail ),一、勒让德方程的导出,在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程时以,代入,得到,将上式第一项的导数计算出来，并化简得,作变量代换,上式则变化为,若 与 无关 ，这时可简化成,勒让德方程,缔合(连带)勒让德方程,二、勒让德方程的求解,将上式中的未知函数 P 记成 y ,则勒让德方程变为,其中, n 为任意实数(实际应用中多为整数). 如同求贝塞尔方程的解一样,设其 形式解为,其中, 常数 和 可以通过把 和它的导数 、 代入上式 来确定。,勒让德方程的解勒让德多项式,在球坐标系下,对拉普拉斯和亥姆霍兹方程分离变量, 且当

2、研究的问题以 极轴为对称时 ,将得到 n 阶勒让德方程,当 n 为整数时, 满足在 处有界的解为多项式,或,称 为勒让德 (Legendre) 多项式 .,罗巨格(Rodrigues)表达式,特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有,对应的图形:,在所有情况下, 都有,三、勒让德多项式的生成函数,函数,称为勒让德多项式的生成函数 , 它在导出勒让德多项式的诸多性质时很有用 .,四、勒让德函数的递推公式,五、第二类勒让德函数,若 , 相应于 n 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下:,n 为偶数,n 为奇数,对于 , 则无论 n 是偶数还是奇数, 都有,的递推公

3、式, 同样适合于 .,六、勒让德多项式的正交性,下列结果是基本的:,第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 - 1 x 1 上正交 .,七、勒让德多项式级数,若 f (x) 满足狄利克雷条件 , 则 f (x) 在区间 1 x 1 的每一个连续点处 , 存在一个勒让德级数展开式 , 形如,其中,在任一间断点 , 第一式右边的级数收敛于 即可以来 代替,八、连带(缔合)勒让德函数,微分方程,称为连带勒让德微分方程 . 若 m = 0 , 就简化为勒让德方程 . 上式的解称为 连带勒让德函数 . 我们考虑 m 和 n 是非负整数的情况 , 这时上式的通解为,这里的 和 分别称为第一类和第二类连带勒让德函数 . 它们可 以用通常的勒让德函数给出 , 为,注意到若,如同勒让德多项式一样 , 连带勒让德函数 在 上也 是正交的 , 即,利用这些关系 , 我们可以把函数 展

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