医学概率第1章-5.ppt

1、1.3 随机变量的数字特征,我们知道，随机变量的概率分布完整地描述了随,机变量的统计规律性.,但是要完全知道一个随机变量,的概率分布,并非一件容易的事情.,题中，也无需知道随机变量的一切概率性质，而是只,更何况在实际问,关心一些能描述随机变量某些方面特征的数字数,字特征.,常用的随机变量的数字特征有数学期望、方差、,相关系数和矩.,1）数学期望与方差,一、离散型随机变量的数学期望,引例:为了调整车辆，对某个公共汽车站的乘客数,进行了20天的观察，其结果为:,求平均每天的乘客数.,解: 20天中，平均每天乘客数为,=(3902+4004+4107+4205+4301+4401)/20,这里2/2

2、0，4/20是“乘客数为390人”“乘客数为400人”的频率，,=3902/20+4004/20+4107/20+420 5/20+ 4301/20+4401/20=411,若将频率视为相应的概率，,则可建立如下模型,(用X表示日乘客数)：,定义1.9 设离散型随机变量X 的分布律为：,若级数 收敛，,为离散型随机变量,X 的数学期望，,简称期望或均值，,记为E(X), 即:,则称,(1-14),称X 的数学期望存在，,设X 是一个连续型随机变量，密度函数为f (x) ,当积分,绝对收敛时，,且数学期望为,(1-15),常见的随机变量的数学期望, 二项分布的数学期望,解,2 泊松分布的数学期望

3、,解,3 几何分布的数学期望,例 设随机变量 X 服从几何分布，即,解,注：,随机变量的数学期望不存在的例子：,例4 设 在 上服从均匀分布，求,例5 设 的密度函数是参数为 的指数分布,求,解,密度函数为,例6 设 是 分布的随机变量，求,解,随机变量数学期望的性质（证明略）,（1）对任意常数C 有，EC=C.,（3）对任意两个随机变量 ，若,都存在，则,（2）若 存在，则对任意常数C 有,（4）对任意两个独立的随机变量 有,都存在，则,性质（3）和（4）可以推广到有限多个的情况.,(1-16),(1-17),随机变量函数的数学期望,若X是一个随机变量,显然是一个随机变量,g(x) 是实变量

4、 x 的单值函,且是随机变量,的函数 . 称随机变量Y是随机变量X的函数.,数, 则,定理1.1 若X 是一个随机变量， g(x) 是一个实函,数，,（1）若X 是一个离散型的随机变量，其分布为,（1-18）,（2）若X是一个连续型的随机变量, f (x)是其密度函数，且,（1-19）,定理1.2 设随机向量(X, Y )的函数Z=g(X, Y) 的数学期望存在，则,（1）若(X, Y ) 是二维离散型随机变量，其联合分 布列为,则Z=g(X, Y) 的数学期望为,（1-20）,（2）若(X, Y )是二维连续型随机变量，其联合密度,函数为f (x, y)，则,（1-21）,以上两个定理将在后

5、面计算方差和协方差时用到.,补例 1 设的密度函数为,求,解,随机变量的方差,数学期望的实质是随机变量的平均取值. 在实际,中，有时只知道随机变量的平均取值是不够的. 例如,比较两个班的学习成绩，一般是比较两个班的平均成,绩，但如果两个班的平均成绩相等, 还要区别两个班,的学习水平，如何处理呢?,一般来讲，我们以随机变量的平均取值为标准,考察随机变量的所有可能取值和平均取值的偏差, 将,所有偏差的平方平均相加. 即所谓的方差.,再例如，比较两个产品的,质量问题等等.,方差是刻画随机变量取值的离散程度的数字.,定义1.10 设X 是随机变量，若 存在，,则称其为随机变量的方差，即,方差的平方根

6、又称为标准差或根方差.,由定义可知: 的方差是 函数的期望，所以,(常用公式),随机变量的数学期望和方差叫做随机变量的数字特征.,（1）如果 X 为离散型随机变量，其分布律为 P (X=xk )= pk，k=1, 2, , 则,（2）当X 是连续型随机变量，其概率密度为 f (x)，,方差的性质（证明略）,一些常用的随机变量的方差,1 参数为 的泊松分布的方差,解,2 二项分布的方差,利用方差的性质来求,解,且 相互独立，,所以,3 随机变量X 是区间a, b上均匀分布的方差，,4 参数为 的指数分布的方差，,解,5 正态分布随机变量 的方差,解,6 参数为p的几何分布的方差,该性质可以推广到

7、n 个随机变量的情形，如果,是n个相互独立的随机变量，并且,都存在，那么有,补例 设随机变量X与Y独立，且X服从数学期望为1，标准差(均方差)为 的正态分布而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.,解: 由于有限个独立正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以要求Z=2X-Y+3的概率密度函数，只需确定Z的期望E(Z)和方差D(Z).,由期望和方差的性质:,所以Z 服从正态分布N(5, 9), 从而得Z 的概率密度函数为:,2) 协方差与相关系数,数学期望和方差是一维随机变量的数字特征. 对,于二维随机变量( X, Y )能否也有所谓的数字特征？其,数字特征的意义是什么呢？,就是用一个数字刻画X和Y,之间的相互影响程度，,这个数字称作协方差.,定义1.12 设 ( X, Y )为二维随机变量，称,为随机变量X 和Y 的协方差. 记作,即,当D(X)0, D(Y)0 时, 称,为随机变量X 和Y 之间的相关系数 . 记为,即,由协方差的定义及数学期望的性质，容易得出协,