阅读与思考函数概念的发展历程 (3)

1、1.2.1 函数的概念,1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？,问题提出,2.初中对函数概念是怎样定义的？,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.,一次函数： ； 二次函数： ； 反比例函数：,知识探究（一）,一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h130t-5t2.,思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？,At|0t26，Bh|0h845,思考

2、2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？,思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎样得到的？,知识探究（二）,近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况.,S（106km2）,15,思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？,At|1979t2001；Bs|0s26,思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？,思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？,知识

3、探究（三）,国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.,思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？,A=1991，1992，2001，B=53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9,思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？,知识探究（四）,思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？,对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作

4、 f：AB.,思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？,设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，xA. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.,解释定义,A,B是非空的数集。 对应关系 思考：“按照某种确定的对应关系 ”是什么意思？,f 可以看作是对“x”施加的某种运算 或法则。例如： ，f 就是对自变量 x求平方。,思考：如何理解“ ”？,符号y=f(x)表示“ y是变量x的

5、函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。,思考：,当a为常数时，f(a)表示的是自变量 x=a时对应的函数值，是一个常数。,自变量的取值范围A叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.,思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：AB中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，xR？,例如：,定义域为0,1,2，值域为0,2,4,思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？,定义域、对应关系、值域；,定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数相等.,函数的值域由函数的定义域

6、和对应关系所确定；,下列可作为函数y= f (x)的图象的是,x,x,x,x,y,y,y,y,O,O,O,O,练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。,判断下列对应能否表示y是x的函数,（1） y=|x| （2）|y|=x （3） y=x 2 （4）y2 =x （5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1,(1)能,(2)不能,(5)不能,(3)能,(4)不能,(6)不能,例2、对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( ) y是x的函数 对于不同的x,y的值也不同 f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个

7、 D、4个,B,例3、给出四个命题： 定义域相同，值域相同的两个函数相等。 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 因f(x)=5(xR),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,C,下列例4、例5、例6是否满足函数定义,例4 若物体以速度v作匀速直线运动，则 物体通过的距离S与经过的时间t的关系 是Svt.,例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：,例6 设时间为t，气温为T()，自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图.,

8、t,2. 函数的三要素:,定义域A； 值域f(x)|xA； 对应法则f.,函数符号yf (x) 表示y是x的函数， f (x)不是表示 f 与x的乘积；,(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具 体含义不一样；,R,R,R,R,R,3.已学函数的定义域和值域,Back,3.已学函数的定义域和值域,实数集R,使分母不等于0的实数的集合,使根号内的式子大于或等于0的实数的集合,使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集),使实际问题有意义的实数的集合,例1 求下列函数的定义域：,例题讲解,解:(1)要使函数有意义，只需,即 ，所以函数 的定义域为 。,求下列函数的定义域 （1） （2）

9、（4） （5）,练习,解：,练习,例4 下列各组中的两个函数是否为相同的 函数？,（1）定义域不同。 （2）定义域不同。 （3）定义域和值域都不同。,练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相等的函数，并说明理由？,设a,b是两个实数，而且ab, 我们规定： (1)、满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b (2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b) (1)、满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 a,b)或(a,b,区间的概念,这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。,实数集R可以用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”。

10、满足x a,xa ,x b, xb的实数的集合分别表示为a, +)、(a, +)、(-,b、(-,b).,试用区间表示下列实数集 （1）x|5 x6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x2 （4） x|x -9x| 9 x20,注意：区间是一种表示连续性的数集 定义域、值域经常用区间表示 实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。,例6.已知函数,（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。,注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，

11、而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1x2，则2x+3 5 与f(x)的定义域相同。原因是我们在求f(x+3)的表达式时是用“x+3”整个代替f(x)表达式中的“x”。,变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5，求函数f(x+3)的定义域。 变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2，求函数f(x)的定义域。,解：(1) 因为f(x)的定义域为(2,5，所以2x+35， 得-1x2。所以函数f(x+3)的定义域为(-1,2。,（2）因为f(x+3)的定义域为(-1,2，所以-1x2， 得2x+35，所以f(x)的定义域为(2,5。,1.已知函数f(x)的定义域为-1,1