3.2 矩阵及其运算.ppt

1、文 科 数 学,2 矩阵及其运算,一、矩阵的概念,二、矩阵的加法与数乘矩阵,三、矩阵的乘法,四、矩阵乘法的几何意义,五、矩阵的逆,六、nn 线性方程组的解,文 科 数 学,引例1. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线，如图所示的是四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B。 四城市间的航班图情况常用以下表格来表示,一、矩阵的概念,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1表示有航班，0表示没有航班,文 科 数 学,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,该表可用如下简单的矩形阵列（表）表示,文 科 数 学,引例

2、2. 假设某班前四号学生，期中考试四门课程的考试成绩如下表,上述两例说明：一组数据可按它们的所属种类，用矩形阵列（表）简明的表示出来，这种矩形阵列就称为矩阵。,文 科 数 学,由 mn 个数 aij (i=1,m; j=1, ,n) 排成的 m 行 n 列的矩形阵列（表）,简记为,称为 m 行 n 列矩阵或 mn 矩阵，,其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。,文 科 数 学,几种特殊矩阵 .行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵（Square Matrix）， aij (i=1, n) 称为主对角元素； .只有一行的矩阵 (a1, a2,an) 称为行矩阵（Row

3、Matrix）或 n 维行向量； 只有一列的矩阵,文 科 数 学,如果将一个矩阵的每一列看成一个列向量，则一个 mn 矩阵可认为是由有顺序的 n 个 m 维列向量所组成。,几种特殊矩阵 只有一列的矩阵 称为列矩阵（Column Matrix）或 n 维列向量，它也可记为,文 科 数 学,几种特殊矩阵（下述矩阵皆为方阵）,不全为0,.上三角矩阵,记作,下三角矩阵？,.对角矩阵（Diagonal Matrix）,文 科 数 学,几种特殊矩阵（下述矩阵皆为方阵）,.单位矩阵（Identity Matrix）,.数量矩阵（Scalar Matrix）,文 科 数 学,几种特殊矩阵,.元素全为零的矩阵称

4、为零矩阵，mn 零矩阵记为 Omn 或 O。,.对于矩阵 A(aij)，将 A 中各元素都变号得到的矩阵称为负矩阵，记为A，即,文 科 数 学,下图标出了a, b 两省各三个城市、c 省两个城市彼此之间的通路。由该图提供的信息，在 a 省和b 省之间，城市直接通路情况可用下列矩阵（通路矩阵）表示：,其中数字1和0表示相应城市间的直接通路数。写出 b省与 c 省、a 省与 c 省的通路矩阵。,文 科 数 学,二、矩阵的加法和数乘矩阵,矩阵之所以有用，不仅仅在于将一组数排成矩阵表本身，而主要在于我们可以对矩阵施行一些有实际意义的运算，从而使矩阵这个工具发挥更大的作用。,矩阵相等 对于矩阵 A 和

5、B，当其行数、列数都相同，且所有对应位置上的元素都相等时，称矩阵 A 与 B 是相等的，记作 AB,文 科 数 学,例如,则 AB 为,1. 加法运算,设有两个 mn 矩阵 A(aij)，B(bij)，将它们对应位置的元素相加而得到的 mn 矩阵，称为矩阵 A 与 B 的和（加法运算），记为 AB(aijbij),文 科 数 学,注意：只有当两个矩阵的行数和列数都分别相同时，才能进行加法运算。,由于矩阵的加法最终归结为它们对应位置元素的加法，即数的加法，而数的加法满足结合律和交换律，因此，矩阵的加法也满足这些性质。,文 科 数 学,此外，对任意 mn 矩阵 A，恒有 AOOAA 其中 O 为零

6、矩阵；且恒有 A(A)(A)AO 其中A 为 A 的负矩阵。 因此，利用负矩阵可以定义矩阵的减法运算 ABA(B),文 科 数 学,例如,则 A 为,2. 数乘运算,用数 乘 mn 矩阵 A(aij) 的每个元素所得的 mn 矩阵，称为 与矩阵 A 的数量乘积（数乘运算），记作 A( aij),文 科 数 学,由于矩阵的数乘最终归结为数的乘法，因此，利用数的加法、乘法适合的运算律，易知数乘矩阵满足以下运算律（ , 为常数）,矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算。,文 科 数 学,假设某班前两号学生，期中考试与期末考试三门课程的考试成绩，可分别表示为如下成绩矩阵,若期中和期末成绩，分别占总评

7、成绩的40和60，试用矩阵的运算，计算该两名学生每门课程的总评成绩。,文 科 数 学,引例：某公司经营甲、乙两家服装厂，每个厂生产衬衣和外衣。已知各厂用一卷布能生产出的衬衣和外衣的数量如下表：,设 x1, x2 分别表示甲、乙两厂所用的布卷数，求两个厂生产的衬衣和外衣的总量表。,解：由题意，两厂生产的衬衣、外衣总量表为,三、矩阵的乘法,文 科 数 学,而单卷产量表、各厂用布卷数和两厂生产总量表，可分别表示成如下矩阵 A（单产矩阵）、列向量 X（用料向量）和矩阵 B（总产矩阵）：,文 科 数 学,矩阵 B 的第一个元素是矩阵 A 的第一行与向量 X 的对应位置元素的乘积之和； 矩阵 B 的第二个

8、元素是矩阵 A 的第二行与向量 X 的对应位置元素的乘积之和。 因为总产量应是单卷产量与所用布卷量之积，所以总量向量可看作是单产矩阵与用料向量的乘积， 即表示为： BAX,单产矩阵,用料向量,总产矩阵,文 科 数 学,从矩阵运算角度看，这里 A 是23矩阵，X 是31矩阵，其乘积 B 则是21矩阵。 若衬衣和外衣的需求量分别为100和200，则可知各厂所用布卷数应满足以下线性方程组：,而此方程组可以表示为右上方的矩阵形式， 若用 B 表示右端的需求列向量，则方程组就可表示为非常简洁的形式： AXB,文 科 数 学,设矩阵 A(aij)ms，B(bij)sn，则以 cijai1b1jai2b2j

9、aisbsj 为元素的矩阵 C(cij) mn 称为 A 与 B 的乘积，记为 ABC,文 科 数 学,矩阵乘法运算的特点（ABC） .只有当 A 的列数与 B 的行数相同时，乘积 AB 才有意义； .乘积矩阵 AB 的行数为 A 的行数，列数为 B 的列数； .矩阵 AB 的第 i 行第 j 列元素 cij，恰是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。 注意：矩阵的乘法与数的乘法相比有明显的不同，它不是对应元素相乘，而是 A 的行与 B 的列的对应元素相乘再相加。因此，普通数的乘法的运算律不一定都适用于矩阵的乘法。,文 科 数 学,例如,不存在,文 科 数 学,(1).

10、设 A 是 32 矩阵，B 是22 矩阵，问AB，BA 是否都有意义？ (2). 设 A 是 23 矩阵，B 是32 矩阵，问 AB，BA 是否都有意义？并对有意义的矩阵，指出它们的行数和列数。 (3). 设,计算 AB，BA和 BC。,文 科 数 学,由上述思考题可以看出 (1). 矩阵乘法一般不满足交换律，即 ABBA； (2). 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵； (3). 矩阵乘法一般不满足消去律，即 BABC，且 BO，但可能 AC。,文 科 数 学,矩阵乘法满足的运算规律（ 为常数） .结合律： .分配律： .矩阵乘法与数乘还满足以下运算律：,文 科 数 学,计算下列矩阵的乘积,结论

11、：任何矩阵与其同型的单位矩阵相乘，此矩阵保持不变。,文 科 数 学,计算下列矩阵的乘积,矩阵乘法不满足交换律！,矩阵乘法不满足消去律！,文 科 数 学,由矩阵乘法知：,即矩阵乘向量，结果将一个向量变成另一个向量；因此，可以看成是矩阵对向量做了某种变换，换言之，矩阵可以看作一个变换。,四、矩阵乘法的几何意义,在直角坐标系 xoy 中，一个二维列向量 (x, y)T，对应着平面上唯一的一点，也对应着平面上唯一的一条从原点到此点的有向线段（平面向量）；反过来说也正确。,1.矩阵的几何意义,文 科 数 学,设,从几何上看：在矩阵 A1 的作用下，V1, V2 以原点为中心逆时针旋转了900；因此，矩阵

12、 A1 表示的是以原点为中心逆时针旋转900的变换。,文 科 数 学,说明以下矩阵是何变换,从几何上看：在矩阵 A 的作用下，V 以原点为中心顺时针旋转了900；因此，矩阵 A 表示的是以原点为中心顺时针旋转900的变换。,文 科 数 学,设,从几何上看：在矩阵 A2 的作用下，V1 向 y 轴正向压缩了0.5倍，V2 向 y 轴负向压缩了0.5倍；因此，矩阵 A2 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩0.5倍的变换。,文 科 数 学,讨论以下矩阵是何变换（, 0）,矩阵 A1 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换； 矩阵 A2 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换

13、； 矩阵 A3 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩倍、 y 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换。,文 科 数 学,矩阵变换的性质 由矩阵的线性运算性质，对于平面上的任意向量 U, V 及任意实数,，有 称满足上述性质的变换为平面向量的线性变换，即矩阵表示的是线性变换。,一般而言：任意一个 mn 矩阵 A 乘以一个 n1 列向量 X，得到一个 m1 列向量 AX，可以看作是 A 将向量 X 变换成了向量 AX，称向量 AX 为向量 X 的像，而向量 X 是向量 AX 的一个原像。,矩阵的几何意义,文 科 数 学,线性方程组的矩阵表示 利用矩阵乘法和矩阵相等的含义，对含 m 个方程，n 个未知

14、量的线性方程组（简称 mn 线性方程组）,令,文 科 数 学,则线性方程组可表示为矩阵形式,系数矩阵,未 知 列 向 量,右 端 项 列 向 量,求解线性方程组的本质：对给定的变换 A，从已知像向量 B，寻找原像向量 X。,文 科 数 学,设 A, B 是两个2阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，则对任一向量 U( u1, u2 )T，有,即对任一向量 U，先作变换 B，得一向量 BU，再接着对此向量作变换 A，得一向量 A(BU)；与对向量 U 直接作变换 AB，得一向量 (AB)U，其结果是相同的，因此，乘积矩阵 AB 表示的是先经 B，再经 A 的接连的线性变换。,2.矩阵乘法的几何意义,矩

15、阵乘法的几何意义,文 科 数 学,设,对 V 先作变换 A2 再作变换 A1表示：先将 V 向 y 轴负向压缩0.5倍，再以原点为心逆时针旋转900； 与对 V 直接作乘积变换 A1A2，所得结果完全一致。,文 科 数 学,如果将例3中的变换改为先对 V 作变换 A1，再作变换 A2，问所得结果与例3是否一致？,所得结果不一致。 说明：接连施行一些变换，所得结果与变换的次序有关，不能随意变更。 原因在于：矩阵乘法不满足交换律。,思考,文 科 数 学,五、矩阵的逆,1.逆矩阵的概念和性质 在数的运算中，若数 a0，则有 其中 a-11/a 为 a 的倒数，也可称 a-1 为 a 对乘法运算的逆元

16、素。 在矩阵的运算中，对矩阵方程AXB（A 是方阵），当 X 有解时，是否能表示成 XA-1B 如果可以，A-1 是何含义？,概念的引入：,能否推广到矩阵：,文 科 数 学,对 n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 B，使得 则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆（矩阵）。 易见：当 A 可逆时，其逆 B 也可逆，且 A 是 B 的逆。 若将矩阵 A 看作是线性变换，则他的逆 B 可看作是它的逆变换（还原）；反之，A 也可看作是 B 的逆变换。 若 A, B 互逆，则先作变换 B，再作变换 A，或先作 A，再作 B，相当于作了一个恒等变换 I。,文 科 数 学,设,变换 A 将任意向量

17、V 向 y 轴负向压缩0.5倍，得向量 WAU，而变换 B 又将向量 W 向 y 轴正向拉伸2倍，从而回到了原向量 UBW；反之，结果完全一致，所以变换 A, B 互为逆变换。 此外：从矩阵乘法上看，因为 所以矩阵 A, B 确实互为逆矩阵。,文 科 数 学,问题：如果 A 可逆，其逆是否唯一？ 若 B1, B2 都是 A 的逆，则 AB1B1AIAB2B2A 故 B1IB1=(B2A)B1B2(AB1)B2I=B2 所以，可逆矩阵 A 的逆是唯一的。 将矩阵 A 的逆记为 A-1，即 AA-1A-1AI 由矩阵可逆的定义知：单位矩阵 I 可逆，且其逆就是自身，即 I1I。,文 科 数 学,若

18、 A, B 是可逆矩阵，证明 AB 也可逆，且 (AB)1B1A1 并从变换的角度说明上式的准确性。,从变换的角度：先作变换 B、变换 A，之后再作变换 A 的逆变换 A1、变换 B 的逆变换 B1，从而又回到了原向量；反之，所得结果完全一致，相当于作了一个恒等变换。,练习,文 科 数 学,解：对任意2阶方阵 所以矩阵 A 不存在逆矩阵，即不可逆。 结论：并非任意非零方阵都有逆矩阵，因此在矩阵运算中，不能施行乘法运算的逆运算除法。,问题：对任意非零方阵，其逆是否一定存在？,问矩阵 是否存在逆矩阵?,文 科 数 学,从线性变换角度：对于变换 A，有 其中 k 为任意实数，这说明变换 A 将向量

19、(1, k)T， 都变为了向量 (1, 0)T。 显然：不可能存在一个矩阵 B，可将向量 (1, 0)T 同时变回到向量 (1, 1)T， (1, 2)T，因此变换 A 不存在逆变换，即矩阵 A 不存在逆矩阵。,问矩阵 是否存在逆矩阵?,文 科 数 学,证明矩阵,不是可逆矩阵，并说明它可将无穷多个向量变为同一个向量。,练习,文 科 数 学,2.逆矩阵的判别法则及其求法,为此，要解如下两个线性方程组,解：设,要求 ABI，即,问 是否可逆，如可逆，求出 A1?,文 科 数 学,相应的增广矩阵为,利用高斯消元法，可将上述矩阵分别化为,所以解为,文 科 数 学,从而求得矩阵 B 为,易于验证：ABB

20、AI，因此矩阵 A 可逆，且 A1B,所以解为,文 科 数 学,分析：上述两个方程组具有相同的系数矩阵 A， 为了简化计算，可将两个增广矩阵合并为 即将单位矩阵 I 放在矩阵 A 的右边，然后对此矩阵( A | I ) 做行初等变换，当 A 被化成单位矩阵 I 时，其中的 I 化成的 B 就是 A1。,文 科 数 学,由此可知：矩阵 A 可逆，且 该结果与例1完全一致。,文 科 数 学,后一个矩阵左边的第二行全为零，故不可能化为单位矩阵，所以矩阵 A 不可逆。 由上述讨论可以看出：对矩阵 ( A | I ) ，若用高斯消元法，能将其中的 A 化为 I，则其中的 I 化成的即为 A1；若 A 化

21、不成 I，则 A不可逆。,解：对矩阵 ( A | I ) 做行初等变换,问 是否可逆，如可逆，求出 A1?,文 科 数 学,问以下矩阵是否可逆，如可逆，求出其逆?,解：对矩阵 ( A | I ) 做行初等变换,文 科 数 学,文 科 数 学,文 科 数 学,文 科 数 学,求下列矩阵的逆矩阵,例习,文 科 数 学,设 n 阶方阵 A 可逆，则线性方程组 AXB 有唯一解 XA1B 证：存在性，将 XA1B 代入方程组左端，则 A(A1B)(AA1)BIBB 显然 XA1B 是方程组的解。 唯一性，设方程组还有一解 X1，使得 AX1B， 则两边同时左乘 A1，有 A1(AX1)(A1A)X1I

22、X1X1A1BX,六、nn 线性方程组的解,文 科 数 学,则方程组的矩阵形式为 由前面的例1知：A 可逆，且 所以方程组的解为 XA1B，即,解：令,利用逆矩阵，求解线性方程组,文 科 数 学,利用逆矩阵，求解线性方程组,例习,文 科 数 学,利用逆矩阵，求解线性方程组,例习,文 科 数 学,总结：前面曾指出，解方程组的问题就是对给定的线性变换 A，从已知像向量 B，寻找原像向量 X； 若系数矩阵 A 可逆，即线性变换 A 存在逆变换 A1，则像向量 B 在 A1 作用下，就可得到原像向量 X；由于 A1 唯一，所以原像向量也唯一，即此时方程组有唯一解。 问题：如果系数矩阵 A 不可逆，方程组的解会出现什么情况？,文 科 数 学,由前面的练习知：系数矩阵 不可逆。 (1).无解。方程组的第二行为矛盾组，在几何上： 直线空集空集 (2).无穷多解。在几何上： 直线任意点任意点 结论：系数矩阵不可逆时，线性方程组的解不一定。,判断下列线性方程组解的情况，并从几何上加以