2.2.3因式分解法

1、第2章 一元二次方程,第2章,一元二次方程的解法,2.2,2.2.3,因式分解法,返回,问题1：因式分解的意义是什么？因式分解的方法有哪些？,一、复习回顾：,因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: 平方差公式a2b2=(a + b) (ab) 完全平方公式 a22ab+b2=(ab)2,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.,问题2：请你试利用因式分解的方法解下列方程，并说明你的解法的依据是什么？,例1 解方程：,例1 解方程：,上面这样的方程可以用什么方法来解呢？,这个方程可以用公式法来解，也可以用配方法来解。可是好像用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较

2、麻烦。公式法相对简单些，而且c等于0。再想一想还有没有更简单的方法呢？,像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.,例1 解方程：,观察这个方程的左侧，发现可以因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为： x(x-3)=0,x(x-3)=0,若ab=0，则a=0或b=0,x=0 或 x-3=0,即 x1=0， x2=3.,利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.,练习 用因式分解法解下列方程： （1） x (x 5 ) = 3x ； （2） 2x( 5x 1) = 3( 5x 1)； （3） (352x )2 900 = 0

3、.,解：把方程因式分解， 得 x （ x - 8 ） = 0， 由此得 x = 0 或 x - 8 = 0. 解得 x1 = 0 ， x2 = 8.,（1） x (x 5 ) = 3x,（2） 2x( 5x 1) = 3( 5x 1),解：原方程可化为 2x (5x 1) 3( 5x 1) = 0， 把方程左边因式分解， 得 (5x 1)( 2x 3) = 0， 由此得 5x - 1 = 0或2x - 3 = 0. 解得 x1 = , x2 =,（3） (352x )2 900 = 0,解: 原方程可化为(35 - 2x )2 - 302 = 0. 把方程左边因式分解， 得 (352x + 3

4、0)(35 - 2x 30) = 0. 由此得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0. 解得 x1 = 32.5， x2 = 2.5.,例8 用因式分解法解下列方程：,x2 - 10 x + 24 = 0.,解 配方， 得x2 - 10 x + 52 - 52 + 24 = 0， 因而 (x - 5 )2 - 12 = 0， 把方程左边因式分解， 得 (x - 5 + 1 )( x - 5 1) = 0， 即 (x 4)(x 6) = 0， 由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0. 解得 x1 = 4， x2 = 6.,举 例,从例8可以看出， 我们能把方程 x2 -

5、10 x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成 x2 - 10 x + 24 = (x - 4 )(x 6)= 0， 则4和就是原方程的两个根.,一般地， 若我们能把方程x2 + bx + c = 0的 左边进行因式分解后， 写成 x2 + bx + c = (x - d )(x h)= 0， 则d和h就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根.,反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根，则方程的左边可以分解成 x2 + bx + c = (x - d )(x h)= 0，,我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要

6、根据方程的特点，选择合适的方法来求解.,下列方程用哪种方法求解较简便？ 说说你的理由.,（1）,（3）,举 例,由此得 或,（1）,解得,所以 ，,因此， 原方程的根为,（2）,（3）,解得,如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？,公式法适用于所有一元二次方程. 因式分解法（有时需要先配方）适用 于所有一元二次方程.,配方法是为了推导出求根 公式，以及先配方，然后用因 式分解法.,解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即降次， 其本质是把ax2 + bx + c = 0（ a0 ）的左端 的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2 + bx + c =a（x-x1）（x-x2）， 其中 x1和x2是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根.,小结：,1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？,2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？,例,（南充2012）方程x(x-2)+x-2=0的解是（ ） （A）2 （B）-2,1 （C）1 （D）2,1 考点： 解一元二次方程-的解法因式分解法。 分析： 先利用提公因式