信道编码(黑白)

1、信道编码,Communication University of China,1、信道编码作用及要求,信息的可靠传输 为了提高整个系统的抗干扰能力,需要在载波调制之前对数字基带信号进行编码 要求: 编码效率高,抗干扰能力强; 对数字信号具有良好的透明性; 传输信号的频谱特性与传输信道的通频带有最佳的匹配性; 编码信号包含有数据同步信息和帧同步信息; 编码数字信号具有适当的电平范围; 发生误码，误码的扩散蔓延小;,2、信道模型,（1）随机信道 （2）突发信道 （3）混合信道 加性干扰 乘性干扰,3、误码的产生及误码率与信噪比关系,二元码误码的产生 误码率是指单位时间里误码数目占总的数据数目的比重

2、。 误码与信噪比的关系图,二、差错控制编码,为了消除误码造成接收端获取信息发生差错的影响，在信道编码中实施差错控制，使得出现误码时接收端能够检知并予以纠错。,1、差错控制编码方式,（1）反馈重发方式； （2）前向纠错方式； （3）混合纠错方式；,2、纠错编码的分类,纠错编码分类图,3、差错控制编码的几个基本概念,（1）信息码元和监督码元； （2）许用码组和禁用码组； （3）编码效率； （4）码重和码距； （5）最小码距与检错纠错能力的关系,最小码距与检错纠错能力的关系的结论,（1）在一个码组内为了检知e个误码，要求最小码距应满足d0=e+1； （2）在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应

3、满足d0=2t+1； （3）在一个码组内为了检知e个误码并同时纠正t个误码，要求最小码距应满足d0=e+t+1；,3、线性分组码,1、奇偶校验码 最简单的线性分组检错码 可检知奇数个误码，不能发现偶数个误码 奇校验：a+b+c+d+e=1; 偶校验： a+b+c+d+e=0;,2、线性分组码,（1）基本原理 在线性分组码中，信息码元与监督码元通过线性方程联系起来。 许用码组称为群码。 群码中线性方程的运算法则是以模2和为基础。,如果有r个监督码元，就有r个监督方程式和r个响应的校验字，可给出2r种状态。其中，2r-1种状态可指明2r-1个误码位置。 （n，k）线性分组码中，2r-1n，可以构建

4、出能纠正一位或一位以上误码的线性码。,Example,以汉明码分析线性分组编码 设汉明码（n，k）中k=4，要求能纠一位误码。 2r-1n 2rk+r+1， 监督码元r3，,（2）、扩展的汉明码和缩短的汉明码,（a）、扩展汉明码 （7，4）汉明码不能同时实现纠错和检错； （8，4）扩展汉明码可以同时实现检2错，纠1错；,（2）、Example,定时基准状态表,（3）、缩短的汉明码 汉明码基本码长n=2m-1，m2； 检2错，纠1错； 信息码元数k=2m-m-1，监督码元数为： r = n k = m，d0=3，e=2，t=1； n2m-1的码缩短的汉明码。（n-s，k-s）； （15，11）

5、（12，8） （7，4） （6，3）,四、循环码,1、基本概念 线性分组码中的另一重要的子码类； 纠检错性能较好（突发和随机）； n个码元的码组中k个信息码元在前，r个监督码元在后。 封闭性 循环性 用码元多项式表示,2、码元多项式按模运算,加法和乘法运算 两个多项式相除，得到商式和余式 F（x）=N（x）Q（x）+r（x）,3、循环码中的几个定理,（1）、在循环码中，若T（x）是一个长度为n的许用码组，则xi.T（x）在按模xn+1运算下也是一个许用码组。 xi.T（x）= T（x）mod xn+1,Example,设循环码T（x）=x6+x5+x2+1，码长为（1100101），给定i=3

6、，则有xiT（x）=x3（x6+x5+x2+1）=x9+x8+x5+x3 x5+x3+x2+x（modx7+1）；,（2）、在一个（n，k）循环码中，有唯一的一个r = n - k次多项式g（x） g（x）=1+g1x+g2x2+gr-1xr-1+grxr 每个码元多项式都能被g（x）整除,（3）、（n，k）循环码的生成多项式g（x）是xn+1的 一个因式 xn+1= g（x）h（x）,Example,求（7，3）循环码的生成多项式,4、循环码的编解码方法,（1）循环码编码方法 根据给定的（n，k）值选定生成多项式g（x），从xn+1的因式中选出一个n-k次多项式作为g（x）； M（x）为信息

7、码元多项式，其次数小于k； 用xn-k乘m（x），得到xn-km（x），次数小于n； 用g（x）除xn-km（x），得到余式r（x），次数小于n-k； 将余式r（x）与xn-km（x）相加，得到编码成的码组。,Example,（7，3）循环码，信息码元110,（2）循环码解码方法 接收码组与生成多项式项除，用余项是否为零来判别码组中有无误码； 可纠正的错误码组构成样式与特定余式相互对应。纠错步骤： 生成多项式g（x）除接收码组R（x）得商和余式； 根据余式查表或运算得到差错值E（x）； 从R（x）中减掉E（x），得到正确得原始码组T（x）；,五、RS码,RS码是Reed和Solomon的简称;

8、 非二进制的纠错码; 在(n, k)码组中,输入数据流划分成km比特一组,每组内包括k个符号,每个符号由m比特组成. 在数字电视中,每个符号通常由一个8比特的字节组成,m=8;,RS码参数,一个能纠正t个符号错误的RS码有如下参数: 码长n2m-1符号或是m(2m-1)比特 信息段k个符号或是km比特 监督段n-k个符号或是m (n-k)比特 最小码距d0=2t+1符号或是m(2t+1)比特 适合纠正突发误码 连续长度bi=(t-2i-1)m+2i-1比特的i串突发误码;,数字电视数据流信道编码: (204,188);t=8 (207,187):t=10 加一个同步字节 总共能纠正204个(或

9、207个)字节中发生的8个或10个有误码的差错字节,RS码纠错原理,1、有限域和本原多项式 （1）有限域GF（q） 有限域又称为伽罗华域（Galais），计为GF（q）。 元素q的个数必定是某一素数的幂，即q=pm。,二元域（m=1）和多元域（m1) 二元域内的加法和乘法运算具有封闭型； 群和域,2m元素有限域GF（2m） 非零元素的升幂序列都是域中的非零元素； 存在一个正整数k，使任一非零元素的k次幂等于1； 使非零元素的k次幂等于1的最小正整数k称为的阶； 域或群中元素个数称为域或群的阶。 阶为有限数值就称为有限域，有限域一般称为伽罗华域；,伽罗华域 伽罗华域GF（2m）=G（q）中有0和

10、1及其他q-2个非0元素，他们两两相异，非0元素的阶q-1。若某一元素a其aq-1=1，则称此元素为本原域元素，简称本原元。,Example,如看一个GF（22）的例子，q=4。假设该有限域的4个元素为A、B、C、D。4个元素中若A为零元素，B为本原元，4个元素可以表示为A，B，B2，B3。,（2）本元多项式,满足以下条件： p（x）不能再分解因式； p（x）可整除xn+1，n=2m-1； p（x）不能整除xq+1，qn;,Example,对于m=4时的x15+1，求其本原多项式。,2、多项式的根,求解x7+1的根 因式分解 x7+1=(x3+x +1)(x3+x2+1)(x+1) 求根-试探

11、法,M=8,x255+1=0的根,本原多项式p(x)=x8+x4+x3+x2+1,255个根为a0,a1,a2,a254,8个基数a0,a1,a2, a3,a4,a5, a6,a7分别表示a8,a9,a10,a254 a8=a4+a3+a2+1;,3、伽罗华域运算,（1）、GF(2m)域内加法运算 GF(23) a5+a4= a2+a+1+a2+a=1=a0 根据P125表5-3得出P127表5-5 GF(28) 表5-6规律符合P127表5-5,（2）、GF(2m)域内乘法运算,乘数与被乘数的a次幂相加,以2m-1为模,4、RS码的生成,（，k，t） C（x）=xr I（x）+Q（x） Q（

12、x）= xr I（x）Mod g（x） g（x）=（x+1）（x+a）（x+a2）（x+ar-1）,Example,（7，5）RS编码 码字：B4、 B3、 B2、 B1、 B0 101、100、010、100、111 a6、 a2 、 a1 、 a2 、 a5,电路实现,GF乘a3（a）,D,GF乘a5（a4）,D,GF乘a2（a6）,D,GF乘a1（a3）,D,GF乘a6（a2）,D,B4 B3 B2 B1 B0,K2,K1,六、RS码纠错原理,校验子 S0=B4+B3+B2+B0+Q1+Q0 S1=a7B4+a6B3+a5B2+a4B1+a3B0+a2Q1+a1Q0,Example1,B

13、4 （101a6） a7 B3 （100a2）（010a1） a6 B2（010a1） a5 B1 （100a2） a4 B0 （111a5） a3 Q1 （100a2） a2 Q0 （100a2） a1 S0= S1=,Example2,B4 （101a6） a7 B3 （100a2） a6 B2（010a1） a5 B1 （100a2） a4 B0 （111a5） （100a2） a3 Q1 （100a2） a2 Q0 （100a2） a1 S0= S1=,Example3,B4 （101a6） a7 B3 （100a2） a6 B2（010a1） a5 B1 （100a2） a4 B0

14、（111a5） a3 Q1 （100a2） a2 Q0 （100a2） （011a1+1） a1 S0= S1=,RS纠错的一般性分析,输入信息组A、B、C、D、E 监督码组为P，Q 每组各为3比特 S0=A+B+C+D+E+P+Q S1=a7A+a6B+a5C+a4C+a3E+a2P+a1Q 码生成多项式为g（x）=x3+x+1,P和Q产生原理,S0=A+B+C+D+E+P+Q=0 S1=a7A+a6B+a5C+a4C+a3E+a2P+a1Q=0,Example4,B4 （101a6） a7 B3 （100a2）（010a1） a6 B2（010a1） a5 B1 （100a2） a4 B0

15、 （111a5） （100a2） a3 Q1 （100a2） a2 Q0 （100a2） a1 S0= S1=,Example5（P/Q不同）,B4 （101a6） a6 B3 （100a2）（010a1） a7 B2（010a1） a1 B1 （100a2） a2 B0 （111a5） a3 Q1 （010a3） a4 Q0 （010a3） a5 S0= S1=,七、交织码,1 I+1 2I+1 3I+1 （L-1）I+1 2 I+2 2I+2 3I+2 （L-1）I+2 3 I+3 2I+3 3I+3 （L-1）I+3 I 2I 3I 4I LI,交织码纠错,1 2 3 4 5 6 7 8

16、 9 X X X X X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 X X X X X 34 35 36 37 38 39 40,1 6 X 16 21 26 X 36 2 7 X 17 22 27 X 37 3 8 X 18 23 28 X 38 4 9 X 19 24 X 34 39 5 X 15 20 25 X 35 40,交织码纠错,1 2 3 4 X X X X X X X X X X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40,1

17、 X X 16 21 26 31 36 2 X X 17 22 27 32 37 3 X X 18 23 28 33 38 4 X X 19 24 29 34 39 X X 15 20 25 30 35 40,交织码特点,突发误码分散为随机误码 引入延时，增加硬件电路 比特交织 符号交织 交织深度,补充作业,（7，5）RS码，A，B，C，D，E分别是101，100，010，100，111， 校验子 S0=A+B+C+D+E+P+Q S1=a5A+a6B+a7C+a1C+a2E+a3P+a4Q 求生成码的生成公式？ 求出P，Q码字 说明码字B错成（011）后的检错和纠错过程。,八、卷积码,（n，k，N-1） 当前码组内的n个码元的值取决于N个码组内的全部