L7现代控制系统--反馈系统的稳定分析

1、7 反馈系统的稳定性分析,控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。,对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。,7.1 代数稳定性分析,7.1.1 稳定性定义,稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。,定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够

2、的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。,7.1.2 稳定的充要条件,稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半s平面。,根据系统稳定的定义，若 ,则系统是稳定的。,必要性：,充分性：,稳定判据,(1)必要条件,说明：,例1,不稳定,不稳定,可能稳定,7.2 稳定性判别方法,1、间接判别（工程方法） 劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。,2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点

3、的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。,频域稳定性分析,由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性,可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题,(2) 劳斯（Routh）判据,劳斯表,劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数,10,10,例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0,7.3 稳定裕度,时域（t）,稳定边界 稳定程度,频域（w）,稳定程度,虚轴,阻尼比 x,到(-1,j0)的距离,(-1,j0),稳定裕度,(开环频率指标),稳定裕度的定义,的几何意义,截止频

4、率,相角裕度(PM),相角交界频率,幅值裕度(GM),如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。,如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。,系统稳定，则 h1、0 。,含义,h含义,1) nyquist 格式1：nyquist(sys) re,im,w=nyquist(sys) 格式2：nyquist(sys,w) re,im,w=nyquist(sys,w) 格式3：nyquist(sys,iu,w) re,im,w=nyquist(sys,iu w) 说明： sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。w设定频率范围 省略时由

5、机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist曲线。对于带有返回参数的将不绘制曲线,返回参数re,im为开环G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw), im=Im(G(jw).,MATLB相关函数,2) bode 格式1： bode(sys) mag,phase,w= bode(sys) 格式2： bode(sys,w) mag,phase,w= bode(sys,w) 格式3： bode(sys,iu,w) mag,phase,w= bode(sys,iu w) 说明： bode函数的输入变量定义与nyquist相同 Bode图可用于分析系统的增益裕度、相位裕度、增益

6、、带宽以及稳定性等特性。mag和phase分别是幅值和相位数组。iu表示从系统第iu个输入到所有输出的Bode图,3) margin 格式1：margin（sys） 格式2：margin（mag,phase,w） 格式3：Gm,Pm, Wcg, Wcp=margin（sys） Gm,Pm, Wcg , Wcp=margin（mag,phase,w） 说明：margin函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度(不 是db)、相角裕度和剪切频率。 格式1 画出bode图，并标注幅值裕度和对应频率，相角裕 度和对应频率。 格式2 由给定的幅值mag、相位phase及频率w画出bode图 格式3：不画图，

7、返回幅值裕度Gm和对应频率Wcg ,相角裕度Pm和对应频率Wcp 。,4) nichols（sys）,for more see Matlab,especially ltiview() * Step * Impulse * Bode * Bode Magnitude * Nyquist * Nichols * Sigma * Pole-Zero * Root Locus,稳定裕度的手工计算,解法I：由幅相曲线求,(1)令,试根得,(2.1)令,可得,(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式,令,得,代入实部,由L(w):,得,解法II：由Bode图求,Z=;P=0 -2 -10; K=100;

8、sys=zpk(Z,P,K); margin(sys),Matlab计算,sys=tf(3.5,1 2 3 2);Gm,Pm=margin(sys) sys1=feedback(sys,1); step(sys1),7.4 幅相频率和对数频率特性,A() 称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,基本概念,幅频特性,一、频率特性 G(jw) 的定义,相频特性,定义I：,定义II：,二、频率特性 G(jw) 的表示方法,幅频,相频,. 频率特性,. 幅相特性(Nyquist),. 对数频率特性(Bode),. 对数幅相特性(Nichols),对数幅频,对数相频,三、典型环节的幅相频率特性

9、, 比例环节, 微分环节, 积分环节, 惯性环节,惯性环节幅相曲线绘制, 一阶复合微分,不稳定惯性环节, 振荡环节,不稳定振荡环节, 二阶复合微分, 延迟环节,五、Bode图介绍, 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；,纵轴,横轴,坐标特点,特点,按 lgw 刻度，dec “十倍频程”,按 w 标定，等距等比,“分贝”, 可在大范围内表示频率特性；, 利用实验数据容易确定 L(w),进而确定G(s),典型环节的Bode图, 比例环节, 微分环节, 积分环节, 惯性环节, 一阶复合微分, 振荡环节, 二阶复合微分, 延迟环节,开环系统的Bode图,绘制开环系统Bode图的步骤, 化G(jw)为

10、尾1标准型, 顺序列出转折频率, 确定基准线, 叠加作图,例3,0.2 惯性环节,0.5 一阶复合微分,1 振荡环节,基准点,斜率,一阶,惯性环节 -20dB/dec,复合微分 +20dB/dec,二阶,振荡环节 -40dB/dec,复合微分 +40dB/dec,w=0.2 惯性环节 -20,w=0.5 一阶复合微分 +20,w=1 振荡环节 -40, 修正, 检查, 两惯性环节转折频率很接近时, 振荡环节 x (0.38, 0.8) 时, L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec, 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分), j(w) -90(n-m)

11、,基准点,斜率,w=0.2 惯性环节 -20,w=0.5 一阶复合微分 +20,w=1 振荡环节 -40,Z=-0.5;P=0 -0.2 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i; K=40;sys=zpk(Z,P,K); bode(sys),基点,解 标准型, 转折频率, 基准线, 作图,斜率, 检查,L(w) 最右端斜率=-20(n-m)=0,转折点数 = 3,j(w) 最终趋于-90(n-m)=0,Z=0 0 0;P=-0.2 -1 -5; K=1;sys=zpk(Z,P,K); bode(sys),Nyquist图包围（1，j0）点2次，而原开环系统中没有不稳定极点，从而可以得出结论