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1、第8章 应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,2,应力状态和强度理论,目 录,8.1 应力状态的概念 8.2 二向应力状态 8.3 三向应力状态 8.4 广义胡克定律 8.5 强度理论及其应用,8.1 应力状态概述,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,应力状态和强度理论,4,强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。,伽利略播下了第一强度理论的种子； 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 麦克斯威尔最早

2、提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。,材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。,应力状态和强度理论,三、单元体： 单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态和强度理论,x,y,z,s,x,sz,s,y,四、

3、剪应力互等定理 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。,应力状态和强度理论,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态和强度理论,8.2 二向应力状态,1、主单元体、主平面、主应力：,主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,应力状态和强度理论,(1)、三向应力状态（

4、ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 (2)、二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 (3)、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,应力状态和强度理论,2、应力状态类型,应力状态和强度理论,一、解析法,规定： 截面外法线同向为正； t a 绕研究对象顺时针转为正； a 逆时针为正。,图1,设斜截面面积为S，由分离体平衡得：,1、任意斜截面上的应力,应力状态和强度理论,图1,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：

5、,应力状态和强度理论,例2 一单元体如图所示，试的斜截面上 的应力。 解：已知 将其代入公式，可得斜截面上正应力 斜截面上切应力,应力状态和强度理论,2、极值应力,应力状态和强度理论,在剪应力相对的象限内， 且偏向于x 及y较大的一侧。,应力状态和强度理论,例3 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,O,应力状态和强度理论,破坏分析,铸铁,应力状态和强度理论,例4 单元体的应力状态如图所示。试求主应力并确定主平面位置。,解：已知 将其代入公式，可得,应力状态和强度理论,以 分别代入公式，得主应力 MPa MPa 可见在由 确定的主平面，作用着主应力 MPa；在

6、由 确定的主平面，作用着主应力 MPa。按照主应力的大小排列，单元体的三个主应力分别是,应力状态和强度理论,对上述方程消去参数（2），得：,3、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆 由德国工程师：Otto Mohr引入）,应力状态和强度理论,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,1、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态和强度理论,二、图解法,22,应力状态和强度理论,2、单元体与应力圆的对应关系,应力状态和强度理论,3、在应力圆上标出极值应力

7、,应力状态和强度理论,例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解法1图解法： 主应力坐标系如图, AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2, 在坐标系内画出点,应力状态和强度理论,s1,s2, 主应力及主平面如图,A,B,应力状态和强度理论,解法2解析法：分析建立坐标系如图,应力状态和强度理论,8.3 三向应力状态,1、空间应力状态,应力状态和强度理论,2、三向应力分析, 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b, 整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态和

8、强度理论,例6 求图a)所示单元体(应力单位为MPa)的主应力、最大正应力和最大切应力。,解 由图a)所示单元体可知，一个主应力为30 MPa。为求另外两个主应力，可分析与已知主应力平行的单元体斜截面上的应力情况。在 坐标面内，按选定的比例尺，由坐标(120，30)和(40，30)分别确定D、E两点(图b)，以DE为直径作圆即得所求应力圆。该圆与x轴交于A、B两点。量得OA130 MPa、OB30 MPa。由此可知单元体处于三向应力状态。,应力状态和强度理论,=130 MPa、 =30 MPa、 = 30 MPa 则 =130 MPa MPa,三个主应力为：,应力状态和强度理论,例7 求图示单

9、元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主平面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,50,40,30,A,B,C,应力状态和强度理论,8.4 广义胡克定律,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态和强度理论,三、复杂状态下的应力与应变间的关系广义胡克定律,依叠加原理,得:,sz,sy,sx,应力状态和强度理论,主应力与主应变间的关系,四、平面状态下的应力与应变间的关系:,方向一致,应力状态和强度理论,主应力与主应变方向一致。,应力状态和强度理论,例10 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=160

10、10-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处为平面应力状态,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,例11 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,p,O,图a,st,sm,应力状态和强度理论,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面

11、将容器截开，受力如图b所示，根据平衡方程,应力状态和强度理论,用纵截面将容器截开，取长为L的一部分为研究对象，受力如图c所示。,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,复杂应力状态的应变能密度,称为形状改变比能或歪形能。,应力状态和强度理论,例12 用能量法证明三个弹性常数间的关系。, 纯剪单元体的比能为：, 纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力状态和强度理论,45,8.5 强度理论及其应用,铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,组合变形杆将怎样破坏？,应力状态和强度理论,46,1、强度理论：是关于“构

12、件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。,伽利略播下了第一强度理论的种子； 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。,2、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。,应力状态和强度理论,一、材料的破坏形式,47,1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,（1）破坏判据：,（

13、2）强度准则：,（3）实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,应力状态和强度理论,二常见的强度理论及其应用,48,2、最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,12,（1）破坏判据：,（2）强度准则：,（3）实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,应力状态和强度理论,49,3、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,（1）破坏判据：,（3）实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,（2）强度准则：,应力状态和强度理论,

14、50,4、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,（1）破坏判据：,（2）强度准则,（3）实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,应力状态和强度理论,51,三、相当应力：（强度准则的统一形式）,其中，r相当应力。,应力状态和强度理论,52,四、强度计算的步骤,1、外力分析：确定所需的外力值。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。,应力状态和强度理论,53

15、,五、强度理论的选用原则,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：,4、破坏形式：还与温度、变形速度等有关！,1、脆性材料： 当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 2、塑性材料： 当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；其它应力状态时，使用第三或第四理论。,应力状态和强度理论,54,例1 有一铸铁制成的构件，其危险点处的应力状态如图所示(应力单位为MPa)。已知材料的许用拉应力 35 MPa，许用压应力为 120 MPa。试校核此构件的强度。 解 计算危险点处的主应力 由图可知： 将上述应力值代入公式，得,应力状态和强度理论,55,因为铸铁是脆性材料，又处于二向拉伸一压缩应力状态，且拉应力较大，故选用第一强度理论进行校核。 故强度满足要求。,所以,应力状