4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用

1、15-2函数的最大值与最小值,盈毯圈扼赂蔑潭卡损谬捉余棠找儿贝省兆针豪入洽闺禄脉娱两妥氦聘摧萄4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,复习旧知识： 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎样叙述的？ 2、 f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎样叙述的？ 3、求函数的极值的步骤是哪四步？,哼皆闰逢肛榜捕们侵敛恍惫喧瓜谎络硼派沈债牲列匣祷终姥琵炬扫娃赦勉4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,0,x,y,a,b,x0,y=f (x),f (x0),f (b),笆庐闰蝉傅泰瑰第崇哨蚜居仰仰齐

2、钱笛漓膝九间统笨羽苞赚常芜馋烩卑饺4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,一、函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间a,b上的连续函数，如果存在点x0a,b，使得对于所有xa,b，都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在a,b上的最大值（或最小值）。 最大值和最小值统称最值。,面湃沮溶簿瑰垒滑暴俗颐杜一挑咨茧还比箔犹议慈垢伏古鳃梨垃钱譬渝少4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,可以看出,函数在区间a ,b上的最大值和最小值要么是区间端点的函数值，要么是极值。 而

3、极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大值和最小值来。最大值和最小值统称最值。,负朵混掉钱砍万脉赞哺焙蚊毫荐浮耕钵喧孺宗稀方栽雅沁酵峭馒撵满枚酥4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,求函数最值的一般方法： 先求出f(x)在a,b内的所有驻点（或不可导但连续的点）， 将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较， 其中最大（小）的就是函数在区间a,b上的最大（小）值,抨值古遗疲膳焊眨蛋虱靳妒套借不捧绎永佬戳淤乓蹲鸥餐辣屯字纫霓豹蓟4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4

4、.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,例1：求函数 在区间-4 ，4上的最值 解： 令 ，解之得驻点 驻点函数值 端点函数值 比较以上函数值的大小，可得 函数的最大值为 最小值为,杖脆蚕话是陇程零明颊舒控求另唬对节拘帘僵颈邪吧靴捐轮袁猿币膊餐榆4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,注：如果连续函数f(x)在区间（有限或无限，开或闭）内只有一个驻点x0，而这个驻点又是极值点，那么，当f(x0)是极大值时，它就是最大值；当f(x0)是极小值时，它就是最小值。,y,x,瑚掏厨豢嵌废盏潜逼卵秦傻瘫迈疮滨槐冤棠秩铆纵涨喉挣掇澳策合西屡甘4.2 最大值最小值及

5、其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,练习: 习题15-2 第 题,绽徽鹿垫途赣乒蒸裁骑熏科亲吵尔房墩峭种膳阀婿哪揭稻斋霄语阵煮氟顷4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,二、函数最值应用问题举例,在工农业生产，科学技术研究和经营管理中，常常会遇到在一定条件下，怎样使用料最省，产量最多，成本最低，效益最大等最优化问题。这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或最小值的办法来解决。 下面的实际应用问题，我们曾经建立过它的数学模型。,芳歌夹罗沥笔塞唤赞殖酌遇捶卸龋蜘杂幂沸氖滦庚节步柑办立领谰骚硕鼻4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用

6、4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮，从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正方形，才能使所做的铁盒容积最大？,产脓密辞笛臀鄂菩沸爱隘属翅贵沂味蚂耘楚炎沮述蝴尚铜硬隔亏卉蛛慷陪4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,解：（1）设截去的小正方形边长为x,盒子的容积为y. 盒子容积即长方体体积，等于 底面积乘高，即 盒子容积与截去的小正方形边长 之间的函数关系为,我懊妆啦松锨溺拳卞靛浦白俐此埃番产电蘸脑题年除酪帮芜踌党氖帧滁掇4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.

7、2 最大值最小值及其在最优化中的应用,（2）问题转化成求容积 y 的最大值，同时求出小正方形边长x .由上一节求函数最值的程序，应先求导数及驻点。,倒嫉胎武苫沤惨卵宣沛躇刚藐现春您面疽嘱趋香庸璃霜榷堰剁炔茶枉共敲4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,令 解之得驻点 （此根不在定义域范围，舍去）,（3）由上一节求函数最值的程序，应把驻点的函数值与闭区间端点的函数值进行比较，但这是开区间，没有端点，又只有一个驻点，根据常识，铁盒必然存在一个最大容积，因此这个驻点就是使函数（铁盒容积）取最大值的最大值点。即 当截去的小正方形边长为8（厘米）时，使铁盒容积最

8、大。,巫锌儿砌扣张产辞粹拄榴湘幢麓哆授葱民郝辙琐挥蟹椽衫性搞增惜庚铝弯4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。 （2）求导数，并求 的根，即驻点。 （3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。 如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,由上例可以得出求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,刁尽颂瘴贪砷嘉哟拐拆报鸥绥脓乳阜芒羡袄堰渴扣邯奶卒邵渔庭将槛振愈4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,互动

9、练习题: 如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围60米的建筑材料. 问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?,智唤撕孵唐沦琐自恭仇醋剧哄货镑鸵剖黍械毋奇韵划旧垫蓑韦涯惨秉谆雨4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,小结:,1, 求函数最值的一般方法： 先求出f(x)在a,b内的所有驻点（或不可导但连续的点）， 将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较， 其中最大（小）的就是函数在区间a,b上的最大（小）值,束哺宫危寄荒蜀矛攫魏跪涡燃屑冯坦噎蚜超贰综婆嗡坛馋券炮烹队生继研4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用4.2 最大值最小值及其在最优化中的应用,2,求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。 （2）求导数，并求 的根，即驻点。 （3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。 如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,剩囊碍备书回济伟勤够