拉普拉斯变换.ppt

1、工程科学控制原理2 .数学模型和传递函数2.2拉普拉斯变换，发表：周晓君办公室：机械副楼209-2室电子邮箱：办公室电话： 56331523，2.2拉普拉斯变换系统的数学模型以差分方程的形式表现输出和输入的关系。 经典控制论的系统分析方法：时域法、频率域法。 2、数学模型、传递函数、频率域分析法是经典控制论的核心，得到广泛应用，该方法间接使用系统的开环频率特性对闭环响应进行分析。 2.2.1复数和复素函数复数的概念复数s= j个实部和有一个虚部，和都是实数) 2个复数相等：时，仅在它们的实部和虚部分别相等的情况下。 一个复数为零：只有实部和虚部在云同步为零时。 2.2拉普拉斯变换被称为虚数单位

2、，复数的表示相对于复数s= j复数平面，由横轴(实轴)、纵轴(虚轴)构成的平面被称为复数平面或者s平面。 复s= j可由复数平面s中的点(，)表示：一个复对应于复数平面上的一个点。 2.2.1复数和复素函数、复数的向量表现法复数s= j可以用从原点指向点(，)的向量来表示。 矢量的长度称为复数的地震震级：2.2.1复数和复素函数，矢量和轴所成的角称为复数s的复角：复数的三角函数表现法和指数表现法根据复数平面的图，=r cos，=r sin复数的三角函数表现法： s=r (cos j sin复数的指数表现法：复素函数， 把以极点与零点的概念复数s= j为自变量构成的函数G(s )称为复素函数：

3、G(s)=u jv式中： u，v分别是复素函数的实部和虚部。 2.2.1复和复的函数，s=-zi时，G(s)=0，si=-zi称为G(s )的零点。 通常，在线性控制系统中，复合素函数G(s )是复s的单值函数。 也就是说，与s的规定值相对应，G(s )具有唯一决定的值。 的双曲馀弦值。 (s=-pj时，将G(s )、sj=-pj称为G(s )的极。 例如，在s= j时，求出复素函数G(s)=s2 1的实部u和虚部v。 2.2.1复和复素函数、复素函数的实部、复素函数的虚部、解： g(s)s2(j)21j(2)-21(2-21)j ()、2.2拉普拉斯变换、复变量、原函数、图像函数、拉氏变换编

4、码、拉普拉斯变换：在某个条件下，使实区域的实变量函数f(t )在复区域内等设有时间函数f(t )，在t 0时为f(t)0； t0中定义的函数f(t )的拉普拉斯变换取决于：拉氏变换是否存在取决于所定义的积分是否收敛。 当存在拉氏变换的条件是t0时，f(t )段是连续的，并且当只有有限数量的间断点t时，f(t )的增长速度没有超过某指数函数，就是说，没有超过2.2.2拉普拉斯变换的定义，并且复数平面上Res a的所有复s (Res是s的实数部分) 2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义：2.2拉普拉斯变换、(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义：2.2.3典型时间函数

5、的拉普拉斯变换、(3)单位速度(5)正弦信号函数正弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换，欧拉公式，正弦函数表示：(6)佰弦信号函数佰弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换，欧拉公式拉普拉斯变换简表(续1 )，2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换， 拉普拉斯变换简单表(续2 )、2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换简单表(续3 )、2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换、2.2.4拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理可选如果证明是2.2拉普拉斯变换、(2)平移定理若：2 .则f(0)是t=0时的f(t )值，同样，二阶

6、导数的拉普拉斯变换：(3)微分定理扩展到n阶导函数的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质，如果证明：(4)积分定理同样， 对于n重积分的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质，如果函数f(t )的所有多重积分的初始值为零，那么注意可以利用积分定理来计算时间函数的拉普拉斯变换使用微分定理和积分定理来将微分积分方程改变为代数方程。 (5)最终值定理：2.2.4根据拉普拉斯变换的基本性质，拉普拉斯变换的微分定理，写左式积分，(6)初始值定理：2.2 .证明存在2.2.4拉普拉斯变换的基本性质，式中：2.2.5拉普拉斯逆变换(1)拉普拉斯逆变换其公式：2.2拉普拉斯变换，对拉氏反变换

7、的求方法有几种方法，只要是简单的像函数，就可以直接检查拉氏变换表，对于复杂的，可以利用部分式展开法。 将f(t )的拉斯变换F(s )分为各部分之和，即2.2.5拉斯逆变换，则F1(s )、F2(s )、Fn(s )的拉斯逆变换，(2)部分式展开法在系统分析定问题中，F(s )总是2.2.5拉斯逆变换，式中并且，对于被称为有理真分式的影像函数F(s )，分母B(s )应该在利用部分分式展开法获得F(s )的拉斯逆变换函数之前进行因子分解。 分母B(s )称为因子分解：2.2.5拉普拉斯逆变换，式中，p1，p2，pn称为B(s )的根，或F(s )的极，只要这些个是可以是实数的多个，就必定是成对

8、共轭。 在A(s )的次数高于B(s )的情况下，首先用分母B(s )去除分子A(s )，由此得到s的多项式，加上具有分式形式的侗项，该分子s多项式的次数低于分母s的多项式次数。 (1)分母B(s )没有重根时，F(s )总是可以展开为简单的部分式之和。 即，式中，ak (k=1，2，2，n )是常数，系数AK被称为极点s=-pk中的留数。可用将方程式的两侧乘以(s pk )并代入s=-pk的方法来确定2.2.5加逆变换和ak的值。 即2.2.5加逆变换可由下式获得，因为除了在所有展开项中包括ak的项之外，其馀项已经消失。 这是因为当f(t )时间的实函数(例如p1和p2)是共轭复数时，馀数1

9、和2也必然是共轭复数。 此时，上式也可以直接应用。 在共轭复留数中，只要对一方的复留数1 (或者2 )进行修正，当然也知道另一方的复留数2 (或者1 )。 2.2.5拉斯逆变换，例题1求F(s )的拉斯逆变换，根据已知、解、馀数的校正公式，得到2.2.5拉斯逆变换，所以查尔斯变换表，得到，2 .即例题2求L-1F(s )，2.2.5拉斯逆变换我们知道2.2.5拉普拉斯，2.2.5拉普拉斯逆变换，2.2.5拉普拉斯逆变换，这样类推，当p1是k重根时，其系数是：例题3知道F(s )，求L-1F(s )。2.2.5拉普拉斯逆变换、上述式、2.2.5拉普拉斯逆变换、查尔斯变换表和2.2.5拉普拉斯逆变换之后的步骤： (1)通过将s作为变换的代数方程进行整理，获得差分方程要解决的变量的拉普拉斯式。 当对该变量获得拉氏逆变换时，获得时域(时间t为残奥仪表)中的差分方程解。 可使用拉尔斯逆变换的方法来确定线性估计常微分方程的全解(补