二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

1、第二节 二次函数的图象与性质(1),北师大版九年级数学下册,第二章 二次函数,知识回顾,一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数.,(1)列表,(3)连线,(2)描点,2. 画函数图象的主要步骤是什么？,1. 二次函数的定义,3. 一次函数的性质,一次函数 y = kx+b (k、b为常数，且 k0)中，当 k0 时，y 随 x 的增大而；当 k0 时，y 随 x 的增大而.,增大,减小,思考,在二次函数 y=x2中，y 随 x 的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？,知识讲解,请你画出二次函数 y=x2 的图象.,(1) 观察 y

2、= x 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y值，完成下表：,0,0,9,4,1,9,4,1,3,2,1,-3,-2,-1,(2) 在直角坐标系中描点：,(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x 的图象.,议一议,对于二次函数 y=x 的图象.,(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.,(2) 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？,抛物线,图象与 x 轴有交点. 交点坐标是 (0，0),(3) 当 x0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x0 时呢？,x0 时，y 随 x 的增大而减小.,x0 时，y 随 x 的增大而增大.,(4)当 x 取什么值时，

3、y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？,当 x=0 时，y 的值最小. 最小值是 0.,因为抛物线上的最低点坐标是 (0，0 ),(5) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.,图象是轴对称图形. 它的对称轴是 y 轴.,对称点： (-3，9)与(3，9)关于 y 轴对称；(-2，4)与(2，4)关于 y 轴对称,总结新知,函数 y=x2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y 轴对称.,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.,二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数 y=x2 的

4、图象有什么关系？与同伴进行交流.,做一做,(2)在直角坐标系中描点：,(3) 用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=-x 的图象.,解：(1) 列表：,0,0,-9,-4,-1,-9,-4,-1,3,2,1,-3,-2,-1,(1)图象与 x 轴交于原点(0，0). (2)y0. (3)当 x0时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小. (4)当 x=0时，y最大值=0. (5)图象关于 y 轴对称.,议一议,说说二次函数 y=-x2 的图象有哪些性质,与同伴交流.,读一读,二次函数的广泛应用,教材第33页至34页内容,体会二次函数在实际生活中的应用,知识拓展,(1

5、)抛物线 y=2x2 的开口方向是怎样的？ (2)抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？ (3)当x为何值时, y 随着 x 的增大而增大； 当x为何值时, y随着 x 的增大而减小. (4)函数 y 有最大值还是最小值？为什么？,1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象 回答下列问题，,(4)因为抛物线开口向上，所以函数 y 有最小值.,(1)抛物线 y=2x2 的开口 方向是向上的.,(2)抛物线 y=2x2顶点 坐标为(0，0),对称轴 为y轴.,(3)当x0时,y随着x的增大而增大； 当x0时,y随着x的增大而减小.,C,2给出下列四个函数：,当 x0 时 y 随 x 的增大而

6、减小的函数有【 】,A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,2.二次函数 y=x2 的性质,(2) 顶点坐标与对称轴.,(1)位置与开口方向.,(3)增减性与最值.,课堂小结,1.二次函数 y=x2 图象的形状.,课本第3435页：习题2.2,布置作业,第二节 二次函数的图象与性质(2),北师大版九年级数学下册,第二章 二次函数,知识回顾,函数y=x和y=-x的图象,抛物线,抛物线,向上,向下,y 轴,(0，0),y 轴,(0，0),y=2x,y=-2x,画一画,在右图中画出 y=2x2 的图象.,y=x2,y=2x2,思考,二次函数 y=2x 的图象是什么形状？它与二次函数 y=x

7、的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和原点坐标分别是什么？,图象形状,开口方向,对称轴,顶点坐标,函数,y=2x,y=x,抛物线,向上,y轴,(0，0),抛物线,向上,(0，0),y轴,结论：,画一画,在右图中画出 y= x2 的图象.,思考,二次函数 y= x 的图象与 y=x、y=2x 的图象有什么相同和不同？,y= x2,抛物线,抛物线,抛物线,向上,向上,向上,y轴,y轴,y轴,(0，0),(0，0),(0，0),合作探究：,结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.,问题：它们与二次函数y=x和y=2x的图象又有什么异同？,在下列平面直角坐标系中，作出y=-x及y=-2x的图

8、象.,做一做,y=-x2,y=-2x2,抛物线,抛物线,抛物线,向上,向上,向下,y轴,y轴,y轴,(0，0),(0，0),(0，0),合作探究：,抛物线,向下,y轴,(0，0),函数y=3x及y=-3x的图象会有哪些特点？,抛物线,向上,y轴,(0，0),抛物线,向下,y轴,想一想：,(0，0),知识讲解,(1)y=ax2 (a0)的图象是一条抛物线,y=ax2(a0)的图象有哪些特征？,(2)顶点坐标是(0，0),(3)对称轴是y轴(也可写作直线 x=0),(4)当a0时，开口向上 当a0时，开口向下,(5)随着 的增大，开口将越来越小,二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=

9、2x2的图象有什么相同与不同？,动手验证一下你的想法.,探究,你是怎么想的？,y=2x2,y=2x2+2,y=2x2-2,二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位,解析,二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位,探究,二次函数y=-3x2+ , y=-3x2- 的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？,解析,二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=2x2的图象向上平移 个单位,二次函数y=-3x2- 由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位,二次函数y=ax2 (a0) 的图象与y=ax2+c (a0) 的图象有什么异同？,探究,y=ax

10、2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的. 当c0 时，向上平移c个单位； 当c0 时，向下平移c个单位.,抛物线,a0向上 a0向下,y轴,(0，0),抛物线,a0向上 a0向下,y轴,(0，c),y=ax及y=ax+c (a0) 的图象和性质,知识讲解,课堂练习,1. 将抛物线 y=-x2 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ). A. y=(x+2)2 B. y=-x2+2 C. y=-x2+2 D. y=-(x-2)2,A,2.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2-1 与 x 轴的交点的个数是( ) A3 B2 C1 D0,B,3坐标平面上有一函数y=24x248的图象

11、，其顶点坐标为( ) A. (0，2) B. (1，24) C. (0，48) D. (2，48),C,4将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_,y=x2-1,5小汽车刹车距离 s(m) 与速度 v(km/h) 之间的函数关系式为 ，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车 有危险(填“会”或“不会”).,会,课堂小结,(1)y=ax2的图象是一条抛物线.,(2)其顶点坐标是(0，0).,(3)对称轴是y轴(也可写作直线x=0).,(4)当 a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下.随着a的增大，开口将越来越小.,1.y=ax2(a0)的

12、图象的特征,2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a0)的图象的关系,y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当 c0 时，向上平移c个单位; 当 c0 时，向下平移c个单位.,课本第36页：习题2.3,布置作业,第二节二次函数的图象与性质(3),北师大版九年级数学下册,第二章 二次函数,知识回顾,1. 函数 的图象的顶点坐标是 ；开口方向是 ；最 值是 .,(0，3),小,向上,3,2. 函数y=-2x2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.,y=-2x2,上,3,3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_的图象.,y=-3x2-2,在同一坐标系中

13、画出下列函数的图象： (1) y=2x2 (2) y=2(x-1)2,探究,解：,(1) 完成下表：,观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？,(2) 在图中画出y=2x2与y=2(x-1)2的图象.,y=2(x-1)2,思考：它们的图象 之间有什么关系？,议一议,(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？,二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位得到的.,（2） 二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,开口方向： 向上,对称轴： 直线 x=1,顶点坐标： (1，0),x=1,(

14、3) 二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？,当x1时，y的值随x值的增大而增大；,当x1时，y的值随x值的增大而减小.,(4)你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？,二次函数y=2(x+1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位得到的.,y=2(x+1)2,二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象

15、向左平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.,想一想,由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？,由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位长度可得二次函数y=2x2- 的图象.,由二次函数y=2x2的图象向左平移 3 个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象.,由二次函数y=2x2的图象先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2- 的图象.,归纳总结,二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二

16、次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.,h0时，图象向左平移；h0时，图象向右平移.,k0时，图象向下平移；k0时，图象向上平移.,一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：,练一练,1.对于二次函数y=-3(x+2)2. (1) 它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,二次函数y=-3x2的图象向左平移 2个单位长度得到

17、函数y=-3(x+2)2的图象.,二次函数y=-3(x+2)2的开口方向向下、对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2，0).,对于二次函数y=-3(x+2)2. (2) 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？,当x-2时，y的值随x值的增大而增大；当x-2时，y的值随x值的增大而减小.,2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ). A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3,【解析】根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1

18、)知选项C符合.,C,3.将抛物线 向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_.,4.将抛物线 先向上平移 2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为 _,或,D,向上,直线x=h,(h，k),向下,直线x=h,(h，k),1. y=a(x-h)2+k的图象的特征.,2. y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.,课堂小结,课本第39页：习题2.4,布置作业,第二节 二次函数的图象与性质(4),北师大版九年级数学下册,第二章 二次函数,二次函数 y = -2 (x-3)2+5 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增

19、大；当 x时，y 随 x 的增大而减小. 它是由二次函数 y=-2x2 先向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到的.,向下,直线 x=3,(3，5),3,大,5, 3,3,右,3,上,5,知识回顾,二次函数 y =a(x-h)2+k (a0) 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小.,向上,直线 x=h,(h，k),h,小,k, h, h,二次函数 y=a (x-h)2+k (a 0) 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大

20、而减小.,向下,直线 x=h,(h，k),h,大,k, h,h,我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的 二次函数的图象和性质，你能研究二次 函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？,合作交流,请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.,解： y=2x2-4x+5 =2(x2-2x)+5 =2(x2-2x+1-1)+5 =2(x-1)2-2+5 =2(x-1)2+3,知识讲解,例 1：求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.,解析,要求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为 y=a(x-h)2+k 的形

21、式.,解： y=2x2-8x+7,=2(x2-4x)+7,=2(x2-4x+4)-8+7,=2(x-2)2-1,因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2，-1).,做一做,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y=3x2-6x+7 (2) y=2x2-12x+8,解： (1) y=3x2-6x+7 =3(x2-2x)+7 =3(x2-2x+1)-3+7 =3(x-1)2+4 因此，二次函数 y=3x2-6x+7 图象的对称轴是直线 x=1，顶点坐标为(1，4).,(2) y=2x2-12x+8 =2(x2-6x)+8 =2(x2-6x+9)-

22、18+7 =2(x-3)2-11,因此，二次函数 y=2x2-12x+8 图象的对称轴是直线 x=3，顶点 坐标为(3，-11).,例 2 ：求二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴和顶点坐标.,解：把二次函数 y=ax2+bx+c 的右边配方，得：,y=ax2+bx+c,=ax2+2 x+( )2-( )2+c,=a(x+ )2+,=a(x2+ x)+c,因此，二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=- ，顶点坐标为(- ， ).,求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式,探究,对于二次函数y=ax2+bx+c ，,对称轴为：直线 x=-,顶点坐标为(- ， ),1.如图2

23、-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？,随堂练习,解 (1)y= x2+ x+10 = (x+20)2+1 左侧钢缆最低点坐标为(-20，1) 钢缆最低点到桥面的距离是 15=5(m),(2)左、右两侧抛物线关于y轴对称 左、右两侧抛物线的最低点关于 y轴对称 左侧抛物线最低点坐标为(-20，1) 右侧抛物线最低点坐标为(20，1) 两条钢缆最低点之间的距离是 205+205=200(m),解(1)y=2x2-12x+3 =2(x-3)2-15 对称轴：直线x=3 顶点坐标：(3，-15),(2)y=-5x2+80 x-319 =-5(x-8)2+1 对称轴：直线x=8 顶点坐标：(8，1),2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标 (1)y=2x2-12x+3；(2)y=-5x2+80 x-319； (3)y=2(x- )(x-2)； (4)y=3(2x+1)(2-x).,(3)y=2(x- )(x-2) =2(x )