电子测量第二章.ppt

1、第1章 复习 （1）测量的基本概念、基本要素。 （2）计量的基本概念，计量的三个特征，单位制，基准和标准，比对，检定，校准 （3）电子测量的定义、特点、内容。,第二章 测量误差理论与数据处理,2-1 测量误差的基本概念,真值：,误差的来源：,在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身 所具有的真实数值。,仪器误差,主要来源之一,(2),方法误差,理论误差,（3）,（1）,影响误差,（4）,人身误差,（5）,测量误差 =测量值真值,测量误差表示方法,一,1.绝对误差,（1）定义：,绝对误差,被测量的值,真值,实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。,绝对误差

2、,被测量的值,实际值,（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值 被测量的实际值,(1),相对误差,只有大小，符号，无量纲,示值相对误差,实际相对误差,A：实际值,适用误差较小的情况,只能说明x偏离A的程度，不能确切地 反映测量的准确程度,准确度高相对误差小,例：多级弹导火箭的射程为10000km，其射击偏离预定 点不超过0.1km，优秀射手能在距离50m远处准确地射击， 偏离靶心不超过2cm，试问哪一个射击准确度高。,解：火箭的命中目标的相对误差为：,射手的命中目标的相对误差为：,例 已知用电压表校准万用表时测得的两个电压值分别是100V、50V，而用万用表测得的

3、值分别是90V、40V，求两次测量的绝对误差、修正值、实际相对误差分别是多少？ 解：根据题意知，A1=100V，A2=50V， x1=90V， x2=40V。 第一次测量：x1=90V100V=10V C1=x1=10V A1=x1/A1100%=-10V/100V100%=-10% 第二次测量：x2=40V50V=10V C2=x2=10V A2=x2/A2100%=-10V/50V100%=-20%,（2）分贝误差相对误差的对数表示 电压增益的实际值为 其分贝值为,误差为,电压增益的测量值为,解：,【例2-1】某电流表测出的电流值为96 A， 标准表测出的电流值为100 A，求测量的相对误

4、差和分贝误差。,定义：用在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比,对于s级的仪表，,我国电工仪表共分七级：,方便计算和划分电表准确程度等级,（3）满度相对误差（引用相对误差）,例2-2：某电流表的量程为100 mA， 在量程内 用待定表和标准表测量几个电流的读数如表2-1所示。 试根据表中测量数据大致标定该仪表的准确度等级。,解： 由x=x-A计算出各点xi xm=80-78=2 mA xm=100 mA， 该表的最大满度相对误差为,例2-3：检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA，其他刻度处的误差均小于1.4mA，问这块电流表是否

5、合格？,解：,仪表量程内绝对误差的最大值,由,对于s级的仪表，测量的最大绝对误差绝对值,测量的最大相对误差绝对值,【例2-4】某1.0级电流表， 满度值xm=100A，求测量值分别为x1=100 A，x2=80 A，x3=20A 时的绝对误差和示值相对误差,最大绝对误差为xm=xms%=100(1.0%)=1 A测得值分别为100 A、80 A、 20 A时的示值相对误差是各不相同的， 分别为,第一块电压表测量的最大相对误差误差为：, 例2-5 如果要测量一个10V左右的电压，现有两块 电压表，其中一块量程为150V、1.5级，另一块量程 为15V、2.5级，问应选用哪一块表测量比较合适？,第

6、二块电压表测量的最大相对误差为：,答：应选用第二块电压表测量。,补充：电子仪器的容许误差,1、工作误差：,额定工作条件下，仪器误差极限值,缺点？,2、固有误差：,基准工作条件下测得的仪器误差,3、影响误差：,某一影响量在额定使用范围，而其它 影响量在基准条件，测得的仪器误差,例：温度误差、频率误差,4、稳定误差：,表示形式：,习惯以相对误差或注明最长连续工作时间,例DS-33型交流数字电压表的容许误差,二、 测量误差的分类,随机误差、系统误差、粗大误差,（一） 随机误差,1、定义,在同一测量条件下多次重复测量同一量时，每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差,符号：,2、根源,对测

7、量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成的,如：仪器、使用者、环境等的微小变化,特点,（1）对称性：,（2）有界性：,（3）抵偿性：,（4）单峰性：,（大部分误差呈现正态分布）,例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。,单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律,随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值（数学期望)之差,处理方法,求算术平均值,（由于随机误差具有抵偿性）,在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时，按

8、某种确定的规律而变化的误差,1、定义：,二、系统误差,系统误差,恒值系差：,变值系差：,误差的数值在一定条件下保持不变,在条件改变时，按某种确定的规律而变化,系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。,（1）设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪 表的安装、放置和使用不当等引起的误差,2、产生原因,（2）测量环境的变化：如温度、电源电压,（3）测量时使用的方法不完善,系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即,（三）粗大误差,1、定义,超过在规定条件下预期的误差,或一定测量条件下，测量结果显著地偏离真值,2

9、、原因：,读数错误、测量方法错误、测量仪器有缺陷等,3、处理方法：,剔除法,4.系差和随差的表达式 在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差 各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。 系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化,(2) 从随机误差i大小看： ixiE(x) 说明测量越精密， 即随机误差反映了测量的精密度， (3) 从随机误差i大小和系统误差大小共同看：,从系统误差大小看： E(x)A0 说明测量越正确， 即系统误差反映了测量的正确度,说明测量越精确， 即系统误差和随机误差共同反映了测量的精确度,以打靶来形容：

10、,处理方法：,（1）粗大误差剔除,（2）,（3）,a 采用一定的技术措施,b 对测量进行必要的修正,复习,绝对误差，相对误差，分贝误差，引用相对误差,随机误差，系统误差，粗大误差,2.3随机误差的统计特性及处理,随机误差的统计特性,有限次测量时测量值数学期望和标准偏差的估计,测量结果的置信问题,前提:等精度测量且排除系统误差和粗大误差,1）数学期望,（1）离散：,（2）连续：,E（X）能反映测量平均值的情况,但不能知道测量数据的离散程度,（精密度）,2.3.1 随机误差的分析和处理,1.随机变量的数字特征,例：有两批相同型号的灯泡，每批各抽10只，测得它们的寿命数据如下： 第一批 960 10

11、34 960 987 1000 1036 992 1023 1025 983 第二批 930 1220 655 1342 654 942 680 1176 1352 1051,灯泡的平均寿命,为考察X与E（X）的偏离程度，引入方差,2）方差,(1)离散,（2）连续,A 避免正负方向误差相互抵消,B 使个别较大的误差经平方后在和式中占的比例大,表示数据离散程度的还有：,标准偏差,大部分随机误差和测量数据服从正态分布,2. 随机误差的分布 1) 正态分布,根据中心极限定理内容：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和， 其中每一个随机变量对于总和只起微小作用， 则可认为这个随机变量服从

12、正态分布。,随机误差的概率密度函数为： 测量数据X的概率密度函数为： 随机误差的数学期望和方差为： 同样测量数据的数学期望 ，方差,结论：, 对称性： 绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。, 单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。, 有界性： 随机误差的绝对值不会超过一定界限。, 抵偿性： 当测量次数n时， 全部误差的代数和趋于零。,E（X）反映测量平均值的情况,标准偏差 的意义：代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。 值越小，则曲线形状尖锐，说明数据越集中； 越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,三 测量误差的非正态分布,测量误差呈非正态分布？,一种因素的影响

13、为主要的,如，均匀分布,或,: 最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。,二、有限次测量的数学期望和标准偏差,理论上需无穷多次测量,实际中,只能做有限次测量,只能用有限次的数据进行估计,如何估计被测量的数学期望和标准偏差？,用事件发生的频度代替事件发生的概率：当n时 则,则,适用与任何分布,不考虑测量值相同的情况，可获的n个测试数据xi(i=1.2,n) ，取得xi的次数都计为1 ,当n时，则,1、有限次测量值数学期望的估计值算术平均值,算术平均值的方差为：,既,或,适用与任何分布,和的方差等于方差之和,一系列的测量具有相

14、同的数学期望和标准偏差,（3）有限次测量数据的标准偏差的估计值,其中 为残差,或,测量平均值标准偏差估计值,实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：,【例】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中 标准偏差估计值 平均值标准偏差的估计值,二 测量结果的置信问题,1、置信概率和置信区间,（1）为确定测量结果在 附近某一确定范围的可能性有多大,置信区间,C：置信系数,置信概率,E(X),置信区间,两种P相等，见下图,两种置信概率,2、正态分布在对称区间的置信概率,若X服从正态分布，则,令,

15、由C或置信区间可知置信概率,方法：查表,二 测量结果的置信问题,1、置信概率和置信区间,（2）为确定测量结果在 附近某一确定范围的可能性有多大,置信区间,C：置信系数,置信概率,置信区间,（2）正态分布的置信概率,当分布和k值确定之后，则置信概率可定 正态分布,当c=3时,区间越宽， 置信概率越大,【例2-6】 已知某被测量x服从正态分布， (x)=0.2， E(x)=50, 求在Pc=99%情况下的置信区间。,PC=99%,查表得c=2.60， 置信区间则为,50-2.600.2， 50+2.600.2=49.48， 50.52,【例2-7】 已知测量值x服从正态分布，测量中系统误差可以忽略

16、。 分别求出测量值在真值附近E(x)(x), E(x)2(x),E(x)3(x)区间中的置信概率。,解: 由于测量中系统误差可以忽略，则被测量的真值就等于数学期望 置信区间分别为E(x)(x) ，E(x)2(x) ，E(x)3(x) 系数C分别为1，2，3 查表得：c=1时，Pc=0.683; c=2时，Pc=0.954; c=3时, Pc=0.997。,P|x-E(x)|(x)=68.3% P|x-E(x)|2(x)=95.4% P|x-E(x)|3(x)=99.7%,当误差为正态分布时， 置信系数一般取23， 其置信区间的对应置信概率为95.499.7。,3、应用t分布讨论的 置信问题,有

17、限次测量， 以 进行讨论， 只能用 代替,服从t分布，并非正态分布,这样在讨论置信问题时， 要以 kts()作为置信区间， 相应的置信概率为,正态分布下：,计算复杂，通常查表,【例2-9】 对某电感进行了12次等精度测量， 测得的数值(单位：mH)为20.46，20.52，20.50，20.52， 20.48， 20.47， 20.50， 20.49， 20.47， 20.49，20.51， 20.51， 若要求置信概率P=95%， 问该电感真值应在什么置信区间内？,解： 第一步： 求出及s()。 第二步： 查t分布表， 由v=n-1=11及P=0.95，查得kt=2.20。第三步： 估计电感

18、L的置信区间。 置信区间： L-kts(), L+kts()， 而 kts()=2.200.006=0.013mH,置信区间为20.48，20.51 mH，对应的置信概率为Pc=0.95,由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限 ，即误差的置信区间为 置信概率为100。,非正态分布的置信因子,例：均匀分布 有 故:,2.3 测量误差的分析和处理 随机误差的分析和处理 系统误差的判断及消除方法 粗大误差的分析处理,系统误差,恒值系差,变值系差,线性变化系统误差 周期性系统误差 复杂规律变化系统误差,2.3.2 系统误差的判断和消除,一 系差的判断,根据系差的分类,1、恒定系差的判断,

19、校准、比对、改变测量条件,仪器是系差的主要来源,2、变值系差的判断,1）残差观察法：将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。,（1）累进性系差的检查,利用马利科夫判据,则累进性系差存在,（2）周期性系差的检查,准则：阿卑-赫梅特判据,认为周期性系差存在,二 系统误差的通用处理方法,1. 从误差根源上减小系统误差,2、用修正方法减少系统误差,修正值误差=（测量值真值） 实际值测量值修正值,要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。 尽量减少或消除测量人员主观原

20、因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。,3、采用一些专门的测量方法,（1）零示法,测量时用指零仪表将被测量与标准量进行比较，并连续改变标准量使指零仪表指示为零。此时被测量等于已知标准量的数值,（2）微差法,优点：测量速度快和测量准确度高,通过测量被测量与标准量的微小差值，来获取被测量的方法,因此，指示仪器误差对测量的影响被大大削弱了,（4）替代法,先对被测量进行测量，保持测量条件不变， 用一个标准量代替被测量， 并调整标准量使仪器示值不变，此时被测量等于标准量的数值。,Rx=RN,（5）交换法,当估计某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，可通过交换被测量

21、在系统中的位置或变换测量方向进行两次测量，使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对上述两次测量结果取平均值，将大大削弱系统误差的影响。,第一次平衡 第二次平衡 上两式相乘、开方得：,例：在电桥中采用交换法测电阻,设R1=R2且其分别 有恒值系差 R1，R2,对称测量法：减少线性系差 半周期法：减少周期性误差,三、系差的可忽略不计的准则,系差不可能完全消除，会残留一部分,当 系差不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半，可舍去 不计,2.3.3,粗大误差的分析和处理,进行等精度测量，发现 误差的绝对值 特别大,正常现象还是粗差所致？,1.粗大误差的判别 基本思想是：给定一置信概率，确定

22、相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。,即 若,则表示xi粗差应剔除。,1、莱特检验法,适用条件：,（1）正态分布,(2)测量次数N较大（N10）,2、格拉布斯检验法,比莱特准则严格，可利用表格，计算方便,应注意的问题,所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。 若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。 在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。,计算残差填入表2-6， 最大， 是可疑数据。,【例3-3】 对某电炉的温度进行

23、多次重复测量，所得结果列于表3-7，试检查测量数据中有无粗大误差。,再对剔除后的数据计算得： s= 0.016 3s= 0.048 各测量值的残差V填入表2-6，残差均小于3 s 故14个数据都为正常数据。,用莱特检验法 |8|=0.104, 3s=30.033=0.099, |8|3s 故可判断x8 是粗大误差，应予剔除。, 计算得 s=0.033,(3) 用格拉布斯检验法计算： 取置信概率Pc=0.99， 以n=15 查表2-5, 得G=2.70。 由于Gs=2.70.033=0.09 |8|=0.104Gs， 故同样可判断x8是粗大误差， 应予以剔除。 剔除后计算同上， 再取置信概率Pc

24、=0.99， 以n=14查表3-6， 得G=2.66。 此时Gs=2.660.016=0.04， 可见除x8外都是正常数据。 ,2.4 测量误差的合成与分配 测量误差的合成 测量不确定度及其合成 误差分配及最佳测量方案,误差的合成,误差的分配,2-3 测量误差的合成与分配,一 测量误差的合成,（一）误差传递公式,设,y=f(x1,x2),泰勒级数展开，省略高阶,得,同理得M个分项,绝对误差的形式,2.4 测量误差的合成与分配,2.4.1 测量误差的合成,1.误差传递公式,设,y=f(x1,x2xn),泰勒级数展开，省略高阶,得,绝对误差的形式,下面分析相对误差的形式,相对误差的形式,若分项为和

25、差关系，宜先求绝对误差形式,若分项为积、商、平方、开方的关系，宜先求相对误差形式,当各分项误差的符号不能确定，采用保守的办法，取绝对值相加,【例2-11】 用间接法测量某电阻R上消耗的功率， 若电阻、 电压和电流的测量相对误差分别为R、 V和I， 问所求功率的相对误差为多少？ 解： 方法一 用公式P=IV进行计算。,功率的绝对误差为 则功率的相对误差为,方法二 用公式P=V2/R进行计算。,则功率的相对误差为 ,功率的绝对误差为,方法三 用公式P=I2R进行计算。 功率的绝对误差为,则功率的相对误差为,2. 系统误差的合成,得,若随机误差可忽略，则,（三）随机误差的合成,若各分项的系统误差为零

26、，则,两边平方，得,进行了N 次测量,当测量次数趋进与无穷时，第二项为零，得,则,前提条件：测量次数趋于无穷，各分项相互独立,二 测量误差的分配,两种分配原则：,1、等准确度分配：,指分配给给分项的误差彼此相同,适用范围：各分项性质相同，大小相近的情况,副线圈V1及V2的电压均约为440v，电压表最大量程为 有500v。,v1= v2= v/2,2、等作用分配,指分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但对 测量结果的影响程度相等，即,例：由欧姆定律间接测电流,U=12V,R=300 ，要求 电流测量的系统误差I500 A，问：电压和电阻的测量系统误差应限制在多大的范围内？,解：由,设等作用分配

27、，由,实际中,要使 rR=0.6% 困难，而 rU=0.6% 容易,调整 rR=0.8% , rU=0.4%,四 最佳方案的选择,最佳方案的选择，实际上就是选择总和误差最小的测量方案。,选择测量方案，在总和误差基本相同的情况下，需考虑测量工作的经济和简便,注意,四 最佳方案的选择,例：间接测功率,选择第一种函数形式可使误差最小,2.4.2 测量不确定度及其合成,1、 不确定度的概念和分类 不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。 可用标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。 （1）标准不确定度（u）： 用概率分布的标准偏差表示的不确定度 A类标准不确定度（uA）：用统计方

28、法得到的不确定度。 B类标准不确定度（uB）： 用非统计方法得到的不确定度,（2）合成标准不确定度（uC）： *由各不确定度分量合成的标准不确定度。 *合成标准不确定度仍然是标准偏差。 （3）扩展不确定度（U） *合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，即用包含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。 U=kUC,3. 不确定度的来源,被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。 测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。 测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。 计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算

29、法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。 在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。,1. 标准不确定度的A类评定方法 在同一条件下对被测量X进行n 次测量，测量值为xi(i=1,2,n) (A)计算样本算术平均值，作为被测量X的估计值，并把它作为测量结果。 (B)计算实验偏差 ( C) A类不确定度,自由度=n-1,2. 标准不确定度的B类评定方法 B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。 确定测量值的误差区间（-, ），并假设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子k，则B类标准不确

30、定度uB为 其中 a 区间的半宽度； k置信因子，通常在23之间。,表39正态分布时概率与置信因子的关系,表310几种非正态分布的置信因子k,【例2-12】 某校准证书说明的标称值为10 的标准电阻Rs的电阻值， 在23时为(10.0007420.000129)， 并说明其不确定度区间具有99的置信水平。 求解电阻的相对标准不确定度。,解： 由校准证书的信息已知=129 ， P=0.99， 假设为正态分布， 查附录得k=2.58。 电阻的标准不确定度为 相应的相对标准不确定度为,(1)输入量相关时,使用不确定度传播律 （2）输入量不相关时不确定度的合成 可写出函数关系式 Y（X1，X2，XN）

31、 ； 不能写出函数关系式,两个随机变量X和Y，其中一个量的变化导致另一个量的变化，那么这两个量是相关的。,3. 合成标准不确定度的计算方法,例: 电功率 P=V2/R ，,【例2-13】 某数字电压表在出厂时的技术规范说明: “在仪器校准后的两年内， 1V的不确定度是读数的1410-6倍加量程的210-6倍”。在校准一年后， 在1 V量程上测量电压， 得到一组独立重复测量的算术平均值为V=0.928 571V，并已知其A类标准不确定度为uA()=14V，假设概率分布为均匀分布， 计算电压表在1 V量程上测量电压的合成标准不确定度。,解： 已知A类标准不确定度uA ()=14V, B类标准不确定

32、度可由已知的信息计算， 首先计算区间半宽 =1410-60.928 571V+210-61V=15 V,于是合成标准不确定度为,假设概率分布为均匀分布， 则k=， 那么， 电压的B类标准不确定度为,4.扩展不确定度的确定方法 扩展不确定度U由合成标准不确定度C 与包含因子的乘积得到 UkuC 测量结果表示为YU ， 即 Y=y kuc y是被测量Y的最佳估计值 , k 由置信概率（常取0.95或0.99）和概率 分布（正态、均匀、t分布等）确定。,算术平均值,包含因子k是的选取方法有 : (A)无法得到合成标准不确定度的自由度，且测量值接近正态分布时，则一般取的典型值为2或3。 (B)根据测量

33、值的分布规律和所要求的置信水平，选取值。,(C)根据要求的置信概率Pc和计算得到的自由度veff，查t分布的t值，得k 。自由度的计算步骤如下： a)求A类不确定度分量的自由度 b)求B类不确定度分量的自由度 c)求合成不确定度的自由度,2.5 测量数据处理 有效数字的处理 测量结果的处理,例四次测量值分别为V1=38.71V，V2=38.68V，V3=38.70V，V4=38.72V。它们的平均值为,2-5 测量数据处理,一 有效数字的处理,对误差的规定：不得超过有效数字末位的一半,1、有效数字：,从左边第一个不为零一直到最后一位,3.142四位有效数字，极限误差0.0005 8.700四位

34、有效数字，极限误差0.0005 8.7103二位有效数字，极限误差0.05103 0.0807三位有效数字，极限误差0.00005,3、测量结果（或读数）的有效位数和不确定度的关系：,例如，某物理量的测量结果的值为63.44， 且该量的测量不确定度u0.4， 测量结果应表示为63.40.4。,引入“偶数法则”,2、对多余数字的处理,方法：,四舍五入,（1） 小于5舍去末位不变。 （2） 大于5进1在末位增1。 （3） 等于5时，取偶数当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。,例：将下列数据舍入到小数第二位。 12.4344 63.73501 0.69499 25.3250 17.6955 123.115,12.43,0.69,17.70,63.74,25.32,123.12,4、参与中间运算的有效数字的运算,（1）加法：以小数点后位数最少的为准，其余各数可多取一位,（2）减法：,两数相差远，多保留1-2位,两数相差近，尽量多保留,（3）乘除法：,取决与其中有效数字位数最少的项， 其余