极坐标与参数方程知识讲解

1、。参数方程和极坐标系统首先，知识的要点(a)曲线参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任意点的坐标x和y是变量t的函数，即对于每一个允许的t值，由方程组确定的点M(x，y)在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，与x和y之间的关系有关的变量就叫做参数变量。(2)常用曲线的参数方程如下：1.通过固定点(x0，y0)的直线，倾角为:(t是一个参数)其中参数t是以固定点P(x0，y0)为起点并对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM的数目，也称为点P与点M之间的有向距离.根据t的几何意义，得出以下结论。假设a和b是直线上的任意两点，它们对应的参数是t a和tB，那么=。线段AB中点

2、对应的参数值等于。2.圆心在(x0，y0)且半径等于r的圆；(是一个参数)3.以原点为中心并聚焦在X轴(或Y轴)上的椭圆：(是参数)(或)以点(x0，y0)为中心并聚焦在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4.以原点为中心并聚焦于X轴(或Y轴)的双曲线：(是参数)(或)5.顶点在原点且焦点在X轴正半轴的抛物线：(t是一个参数，p 0)直线的参数方程及参数的几何意义通过具有倾斜角的固定点P(x0，y0)的直线的参数方程是(t是参数)。J3.2极坐标系统1.定义：在平面上取一个固定点o，称为极点，引入一条光线Ox，称为极轴，然后选择一个长度单位和角度的正方向(通常是逆时针方向)。对于平面上的任意点m

3、，线段OM的长度用表示，从Ox到OM的角度用表示，称为点m的极径，称为点m的极角，有序数对(，)称为点m的极坐标。这样建立的坐标系称为极坐标系。2.极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及其方向。极坐标和直角坐标是一对有序的实数，用来确定平面上的一个点。在极坐标系统中，一对有序实数对应于一个唯一的点p(，)，但是平面中任何点p的极坐标都不是唯一的。一个点可以有无数的坐标，这些坐标有规则可循。p(，)的所有坐标(极点除外)都是(，)或(，)极坐标和直角坐标的区别在于，在直角坐标系统中，点和坐标一一对应，而在极坐标系统中，点和坐标对应不止一个，即一个点的极坐标不是唯一的。3.直线相对于极

4、坐标系统的几种不同位置方程如下： 4.圆相对于极坐标系统的几种不同位置方程如下： 5.极坐标和直角坐标的往复公式：示例(j3.1参数方程)例1。讨论以下问题：1.给定直线上两点与M(x，y)的比值，写出参数方程。2.直线的倾斜角(T是一个参数)是A.B.C.D.3.由等式(t是非零常数和参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线4.假定椭圆的参数方程是(作为参数)，椭圆上点p(，)的偏心角可以是正偏心距.例2给出了弹道曲线的参数方程转化成普通方程。例3。将下列方程转换成普通方程。、。例4。如果线3x-2y 6=0，让y=tx 6 (t是参数)。找出直线的参数方程。例5。已知的二次曲

5、线方程是(1)如果t是一个参数和常数，求曲线的一般方程和焦点到准线的距离；(2)如果它是一个参数，t是一个常数，求二次曲线及其偏心率的常微分方程。例6。在圆x2 2x y2=0上找到一个点，使其到直线2x 3y-5=0的距离最大化。例7。在椭圆4x2 9y2=36上找到点p，这样它到直线x 2y 18=0的距离是最短的(或最长的)。例8。已知直线；l:在点a和b与双曲线(y-2)2-x2=1相交，点p的坐标是p (-1，2)。寻找：(1)值| pa |。| Pb |(2)弦长| AB |弦AB的点m和点p之间的距离。例9。已知A(2，0)，点b和c在圆x2 y2=4上移动，并且存在用于找到重心

6、g的轨迹方程.例10。假设椭圆和圆x2 (y-6)2=5，在椭圆上找到一个P1点，在圆上找到一个P2点，这样|P1P2|达到最大值，就得到这个最大值。例11。已知直线l穿过固定点P(-2，0)，并在点a和B处与抛物线C: x2 y-8=0相交.(1)如果p是线段AB的中点，求直线l的方程；(2)如果l绕p旋转，求AB中点m的方程。例12。椭圆上是否有点p，因此从点p画到圆x2 y2=b2的两条切线相互垂直？如果存在，找出点p的坐标；如果不存在，请解释原因。示例(J3.2极坐标系统)示例1讨论了以下问题：1.在同一个极坐标系统中，与极坐标m (-2，40)相同点的极坐标是()(甲)(-2，220

7、)(乙)(-2，140)(丙)(2，-140)(丁)(2，-40)2.假设ABC的三个顶点的极坐标是A (4，0)，B (-4，-120)和C (2 2，30)，ABC是()。(a)正三角形(b)等腰直角三角形(c)直角非等腰三角形(d)等腰非直角三角形3.在笛卡尔坐标系中，极坐标系统是以原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立的。当极角在(-，范围内时，M点的极坐标为()(a)(，-argtg (-)(二)(-，阿格斯格(-)(三)(-，-阿格斯格)(四)(，-+阿格斯格)例2.将点的极坐标改为直角坐标。例3。将点的直角坐标改为极坐标。例4。在已知的正三角形ABC中，顶点a和b的极坐标分别为。试

8、着找出顶点C的极坐标.例5。舍入x2 y2-2ax=0的直角方程是极坐标方程。例6。将二次曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程。例7。讨论以下问题：1.在极坐标系统中，通过点m (4，30)并平行于极轴的直线方程是()(甲)=2(乙)=-2(丙)(丁)2.在极坐标系统中，如果已知两点M1(4，反正弦)，M2 (-6，-反正弦(-)，线段M1M2的中点极坐标为()(a) (-1，反正弦)(B)(1，反正弦)(丙)(-1，弧(-)(丁)(1，-弧)3.假设点P的极坐标为(1，)，穿过点P并垂直于极轴的直线的极坐标方程为()。(甲)=1(乙)=陪(丙)陪=-1(丁)陪=14.如果0，在下面的极坐标方程

9、中，直线是()。(甲)=(乙)共=(0)(丙)tg=1(丁)sin=1(0)5.如果点A (-4，)和B关于直线=对称，在 0，- 的条件下，B的极坐标为。6.直线 cos (-)=1与极轴之间的角度为。7.直线 cos (-)=1和直线 sin (-)=1之间的位置关系为。8.直线y=kx 1 (k0和k-)和曲线 2sin- sin2=0之间的公共点数为()。(甲)0(乙)1(丙)2(丁)3例8。讨论下列问题；1.如果圆的半径为1，圆心的极坐标为(1，0)，则该圆的极坐标方程为()。(一)=共(二)=辛(三)=2焦(四)=2辛2.极坐标方程为=cos ，=sin ，两个圆的圆心之间的距离为

10、()。(甲)2(乙)(丙)1(丁)3.极坐标系统中与圆=4辛相切的直线方程是()(甲)sin=2(乙)cos=2(丙)sin=4(丁)cos=44.圆=dcos -esin 与极轴相切当且仅当()(甲)德=0(乙)D2+E2=0(丙)丁=0，戊0(丁)丁0，戊=05.圆心2sin-2cos的极坐标为。6.如果圆的极坐标方程是=6cos，那么圆的面积是。7.如果圆的极坐标方程是=4sin，那么圆的直角坐标方程是。8.如果有一个半径为4的圆，并且它的中心在极坐标系统中的极坐标是(-4，0)，那么这个圆的极坐标方程是。例9。当a、b和c满足什么条件时，直线与圆相切？例10。尝试将极坐标方程转化为直角坐标方程，并讨论m值的变化讨论曲线的形状。例11。通过抛物线y2=2px的焦点f和倾斜角的弦长|AB|被证明是