一元二次方程_313224.ppt

1、4.1一元二次方程,教学目标 1、通过探索实际问题中的数量关系及变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型。 2、通过观察，归纳一元二次方程的概念。,如图，正方形桌面的面积是2m2，求它的边长,解：设正方形桌面的边长是x m 根据题意，得 x2 =2,x2 =2,如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24m2。求花圃的长和宽。,解：设花圃的宽是xm，则花圃的长是 (19-2x)m 根据题意，得 x(19-2x)=24 整理，得 -2x2+19x=24,x2 =2,-2x2+19x=24,某校图书馆的

2、藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？,解：设平均每年增长的百分率是x 根据题意，得 5(1+x)2=72 整理，得 x2+2x=0.44,-2x2+19x=24,x2 =2,x2+2x=0.44,观察上面列出的x2=2、-2x2+19x=24、 x2+2x=0.44，3个方程，显然，这三个方程都不是一元一次方程。那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。,注：符合一元二次方程即符合三个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2；整式方程,任何一个关于x的一元

3、二次方程都可以化成下面的形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。,如果a=0，那么ax2 +bx+c=0就不是一元二次方程了。,说明：一元二次方程的一般形式ax2bxc=0（a0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。,例1：判断下列关于x的方程是否为一元二次方程： （1） 2（x21）= 3y （ ） （2） （x3）2=（x5）2 （ ） （3） mx

4、23x2 = 0 （ ） （4） （a21）x2（2a1）x5a = 0（ ）,例1：判断下列方程是否为一元二次方程： （1） 2(x21)=3y （ ） （2） (x3)2=(x5)2 （ ） （3） mx23x2=0 (m是常数) （ ） （4） (a21)x2(2a1)x5a=0 (a是常数) （ ）,例2：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次 项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项： （1）x2-x=2 （2）4x+1=x2 （3）2x2=-3x+1 （4）x(x+3)=-2,x2-x-2=0 x2 1 -x -1 -2,x2-4x-1=0 x2 1 -4x -4 -1,2x2+

5、3x-1=0 2x2 2 3x 3 -1,x2+3x+2=0 x2 1 3x 3 2,x2-x-2=0,x2-4x-1=0,2x2+3x-1=0,x2+3x+2=0,例3：方程(2a-4)x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一 元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？,解：当a2时是一元二次方程；,当a2，b0时是一元一次方程。,（三）、练习 1、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） 2(x21)=3x 解:一般形式为:2x23x-2=0； 二次项系数为2；一次项系数为-3；常数项为-2。 （2) 6y2=y 解:一般形式为:6y2y=0； 二

6、次项系数为6；一次项系数为-1；常数项为0。,解:一般形式为:2x23x-2=0； 二次项系数为2；一次项系数为-3；常数项为-2。,解:一般形式为:6y2y=0； 二次项系数为6；一次项系数为-1；常数项为0。,（3） (x-2)(x+3)=8 解:一般形式为:x2+x-14=0； 二次项系数为1；一次项系数为1；常数项为-14。 （4） (x+3)(3x-4)=(x+2)2 解:一般形式为:2x2+x-16=0； 二次项系数为2；一次项系数为1；常数项为-16。,解:一般形式为:x2+x-14=0； 二次项系数为1；一次项系数为1；常数项为-14。,解:一般形式为:2x2+x-16=0；

7、二次项系数为2；一次项系数为1；常数项为-16。,2、根据题意，列出方程： （1）剪出一张面积是240cm2的长方形彩纸，使它的长比宽多8cm，这张彩纸的长是多少？ 解：设这张彩纸的长是xcm，则宽是(x-8)cm 根据题意，得 x(x-8)=240 （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的1/9,求圆的半径。 解：设圆的半径是xcm 根据题意，得 x2 =9,解：设这张彩纸的长是xcm，则宽是(x-8)cm 根据题意，得 x(x-8)=240,解：设圆的半径是xcm 根据题意，得 x2 =9,（3）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到

8、1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 解：设这两年图书的年平均增长率是x 根据题意，得 (1+x)2 =1.44 （4）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。 解：设这个正方形的边长是xcm 根据题意，得 x(x+10)=600,解：设这两年图书的年平均增长率是x 根据题意，得 (1+x)2 =1.44,解：设这个正方形的边长是x厘米 根据题意，得 x(x+10)=600,3、关于的方程（m-3）x2+nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？,解：当m3时是一元二次方程； 当m3，n0时是一元一

9、次方程。,（五）小结： 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为ax2bxc=0（a、b、c是常数,a0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。,布置作业： 课本第82页习题1,如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。,解：设梯子滑动的距离是xm。根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m，则滑动后梯子的顶端离地面(4-x)m，梯子的底端与墙的距离是(3+x)m 根