1.1.1正弦定理（约2课时）.ppt

1、主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继,1.1.1正弦定理,善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路， 勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路!,.,(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？,问题的引入：,(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.,A,B,BC的长度与角A的大小有关吗?,三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?,1.1.1 正弦定理,在RtABC中,各角与其

2、对边的关系:,不难得到:,C,B,A,a,b,c,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?,一、正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.,即,(1) 若直角三角形,已证得结论成立.,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,证明:,(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立,且,仿(2)可得,(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,正弦定理的向量证明,想一想：如何用向量法证明正弦定理？,BA在Y轴上的投影为,CA在Y轴上的投影为,（2R为ABC外接圆直径）

3、,2R,思考？,求证:,证明：,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,证明：,而,同理,ha,求证:,二、剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,已知两角和一边，求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,思考?,已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:,若A为锐角时:,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,ab,无解,a=b,无解,ab,一解,若A为直角或钝角时:,公式变形式：,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsi

4、nC,a:b:c=sinA:sinB:sinC,利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下,两类问题：,1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。,2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。,(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题),小结:,三、定理的应用,例 1,在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.,解：,且,19.32,=,已知两角和任意边，求其他两边和一角,14.14,=,a,练习1：,C,（2）在 中，若 ，则 是( ) A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三角形,（1）在 中，一定成立的等

5、式是（ ）,分析：由正弦定理 式子 可以写成,由二倍角公式sin2sin cos,有sin =sin sin,从而得到A=B=C,三角形是等边三角形,1.在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.,2.在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.,a= ,c= , ,练习1,例 2,已知a=16， b= ， A=30 ，求角B，C和边c,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,例3:在 中，已知 ，求 .,解：由,得, 在 中, A 为锐角,分析：这是属于已知两边和其中一边的对角问题,练习2,B=300,无解,(3),解：,，,解析：由题意得,选B,例5 在 中， ，求 的面积S,由正弦定理得,随堂练习,D,C,A,3或6,4、,5、,6、,7、,四、课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用