张量分析答案完整版

1、黄克智版张量分析课后习题答案完整版 第一章 1.1求证：()()()=uvwu w vu v wuvwu w vu v wuvwu w vu v wuvwu w vu v w 并问：)(w w w wv v v vu u u u与w w w wv v v vu u u u ）（是否相等？w w w wv v v vu u u u、为矢量 证明：因为 u=( ,) xyz u uu; v=( ,) xyz v vv; w=( ,) xyz w w w; 左边=()uvwuvwuvwuvw=(,) xyz u uu(,) xyz v vv(,) xyz w w w =( ,) xyz u uu x

2、yz xyz ijk vvv www =( ,) xyz u uu() yzyz v ww v,() xzxz w vv w,( xyxy v ww v) =()() yxyxyzxzxz uv ww vu w vv w,()() zyzyzxxyxy u v ww vu u ww v, ()() xxzxzyyzyz uw vv wuv ww v 右边=()()u w vu v wu w vu v wu w vu v wu w vu v w =() xxyyzz u wu wu w+v v v v-() xxyyzz u wu wu w+w w w w =() xxyyzz u wu wu

3、w+(,) xyz v vv-() xxyyzz u wu wu w+(,) xyz w w w =()() yxyxyzxzxz uv ww vu w vv w,()() zyzyzxxyxy u v ww vu u ww v, ()() xxzxzyyzyz uw vv wuv ww v 所以：()()()=uv wu w vu v wuv wu w vu v wuv wu w vu v wuv wu w vu v w 同理可证：( )()()=u vwu w vvw uu vwu w vvw uu vwu w vvw uu vwu w vvw u 所以)(w w w wv v v vu

4、u u uw w w wv v v vu u u u ）（ 1.11 根据上题结果验算公式： i jji g=gggggggg 由上题结果：2=g g g g, , , , 1 1 () 2 = +gijkgijkgijkgijk, , , , 2 1 () 2 =+gijkgijkgijkgijk, , , , 3 1 2 =g g g g()+ijkijkijkijk 2 1 rs g rs = 当r=s 当 123123 111213 2ggg+=+gggggggggggggggggggggggg 211 ()()() 222 =+-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i

5、+ j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k 1 =j+ kgj+ kgj+ kgj+ kg 及： 123 1111213 ggg=+gggggggggggggggg 同理; ; 123123 212223 2ggg+=+gggggggggggggggggggggggg 121 ()()() 222 =+-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j

6、 -k 2 = g g g gi + ki + ki + ki + k 及： 123 2212223 ggg=+gggggggggggggggg 123123 313233 2ggg+=+gggggggggggggggggggggggg 112 ()()() 222 =+-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k-i + j+ ki - j+ ki + j -k 3 = g g g gi+ ji+ ji+ ji+ j 及： 123 3313233 ggg=+ggggggggggggggg

7、g 及验证： i jji g=gggggggg 正确 1.21 试证明若一张量的所有分量在某一坐标系中为零，则它们在任何其他坐标 系中亦必为零。 证明证明：不妨取三界张量 根据 P24 页所讲的分量表示法和坐标转换关系知识 T=T i jkg igjgk=Tijkgigjgk=Tij.kgigjgk=Ti.jkgigjgk= 其分量为：TijkTijkTij.kTi.jk 他们满足坐标转变关系，先将ijk用rst表示，我们可以得到 . . . . . . . ( ,1,2,3) . i j k i j k i j kijkrst rst rst rst ijk i jijtrs rst kk

8、iistr rst j kjk rstrsr rsttst i j ki j kj TT TT TT TT i j k T T T T TT T T = = = = = 都为零 等式左边在新坐标系下的张量分量都为零 即 . i k 全为零 n阶张量同理可证 当一张量在一个坐标系中所有分量都为零时， 则他们在任何坐标系中亦必为零 1.31 已知： k v为一矢量的协变分量。 （根据 P31页所讲的张量的对称与反对称知识来证明这个题目。 重点 ( .)(. )n mm n TT= ） 求证： m n n m xx 为一反对称二阶张量的协变分量。 证明： 令 m n n m nm xx T = ).

9、( 则由 vvv m m m mm x x m m = 可知: vm nm m n n n m m m n m xx x x x x v x x x v + = 同理可得： vn nm n m m m n n n m n xx x x x x v x x x v + = 则 vv n nm n m m m n n n m nm m n n n m m m m n n m nm xx x x x x v x x xx x x x x v x x x v x v T ).( + = = 由于： vv n nm n m nm m xx x xx x = 所以)( ).( m n n m n n m

10、m m n n m nm x v x v x x x x x v x v T = = 即 ).( ).( )( nm n n m mm n n m n n m mnm T x v x v T= = 所以的证： m n n m nm xx T = ).( 为二阶张量的协变分量。 当nm=时恒有0 ).( = nm T 又有 ( .)(. ) mn n mm n nm TT xx = += 综上可知： m n n m xx 为一反对称二阶张量的协变分量 1.41质量为 m、绕定点 O 以角速度 转动的质点（见图） ，其动量矩矢量 的定义为m=LrvLrvLrvLrv，其中，r r r r为定点 O

11、 至质点的矢径，v v v v为质点的线速度。 求证：=LILILILI ，式中I I I I为惯性矩张量，()m=Irr GrrIrr GrrIrr GrrIrr Grr 证明：()mm= =LrvrrLrvrrLrvrrLrvrr = ()()mrrr rrrr rrrr rrrr r此题为书上 P34 页（1.8）例题 iimik mk Lmr rr r= v v v v r r r r imik kmk mr rr r= ik k I = i 所以()m=Lr r GrrILr r GrrILr r GrrILr r GrrI 1.51 已知向量 1 与二阶反对称张量 1 ， 矢量 2

12、 与二阶反对称张量 2 分别互为 反偶。反偶？ 求证：1212 1 : 2 = 证明：由已知得 )( 4 1 )( 4 1 4 1 )()( 4 1 ):():( 4 1 ): 2 1 (): 2 1 ( 212121 21 21 21 2121 kj jk jk jk st jks k t j t k s j stjkrst ijk rst rsti jk ijk yx xytsr rst ml lm kji ijk gg gggggggggg = = = = = 已知 2 为反对称张量，故 jk jk kj jk 2121 = 所以 jk jk 2121 2 1 = 而 212121212

13、1 2: = jk jk m k l jlm jk ml lmkj jk gggg 得证 第二章 2.2 已知：二阶张量T与 T T互为转置（ T ijij TT=） 求证：T与S具有相同的主不变量。 证明：对于T： 123 () TTaTpa ii mm amamp JTJtr T TT T GT TJT T T GT T T = 对于S： 123 () TTTTTTaTTTTpa jjp mm amam JTJtr TTTTGT TJTTTGT T T = 得证。 2.3 已知：任意二阶张量A,B,且TA B,SB A=ii 求证：T 与 S 具有相同的主不变量。 . . ( )() (

14、)() ijmnabma jinmabam mnijabna nmjiaban tr Ttr A BA B GT g gT g gg g gT T tr Str B AB A GT g gT g gg g gT T TS =:=:= =:=:= 证明： 与 具有相同的主不变量。 T 1 S 1 2.4 求证： （1） w w w w v v v v u u u uw w w wT T T T v v v v u u u uw w w wT T T T v v v v u u u uw w w wv v v vu u u uT T T T T 1 =+ （2） c c c c b b b b a

15、 a a ac c c cT T T T b b b b a a a aT T T Tc c c cT T T T b b b bT T T T a a a ac c c cb b b bT T T Ta a a aT T T T T 2 =+ 证明： （1）式左边 = b b b ba a a ai i i i g g g gg g g gg g g g bai j w v j uT+ d d d dj j j j j j j j c c c c g g g gg g g gv v v vg g g g di j wT c u+ i i i i j j j j f f f fe e e e

16、g g g gw w w wg g g gg g g g i j f T v e u = iab baji j wvuT + cid djci j wvuT + cid jfei j wvuT = 6 1 jab jabiab baji j wvuT + 6 1 cjd cjdcid djci j wvuT + 6 1 efj efjefi jfei j wvuT =()w w w w v v v v u u u uw w w w v v v v u u u uw w w w v v v v u u u u i j i j i j i j T222 6 1 + =w w w w v v v v

17、 u u u u i j i i T =w w w w v v v v u u u u i i T=w w w w v v v v u u u u T 1 ，命题得证。 （2）式左边 = c j TTg g g gg g g gg g g g a a a ai i i i cba b i j c b a + a ba bi ji j d cT b g g g gg g g gg g g ga a a a T d + a ba be eji j cT b g g g gg g g gg g g ga a a a i T = iac cbj cbaT a b i j T + dia bjd cba

18、T a b i j T + iea bej cbaT a b i j T = () jbb jbbiea bejdjb djbdia bjdjbc jbciea cbj cbacbacbaT+ a b i j T 6 1 = ()()()c c c c b b b b a a a ac c c c b b b b a a a ac c c c b b b b a a a a b i j a b a i j b i j a b a i j b i j a b a i j T+ a b i j T 6 1 = ()c c c c b b b b a a a a b i j a b a j i TT

19、 a b i j a b i j TT 2 1 = ()c c c c b b b b a a a a a i i a a a i i TT 2 1 TT = c c c c b b b b a a a a T 2 命题得证。 2.5 111 N aa= 222 N aa= 21211 aN aaa= 12112 aN aaa= 上式左端相等， 1221 aN aaN a= 故其右端也相等，即( ) 1212 0a a= 注意到 12 12 0 0a a = 同理可得所以 123 ,a a a互相正交且唯一 ( ) ( ) ( ) ()()() 112212211331 123 2.622(2

20、)2(2) 122 220 200 1 2,() 122 1220 200 122 220214 20 i i i i j j j j i i i i j j j j Ne ee ee ee ee ee eNe ee ee ee ee ee eNe ee ee ee ee ee eNe ee ee ee ee ee e N N N N eeeeeeeeeeee N N N N =+ = = = + i i i ? ? ? ? ? ? ( ) ()()() 112233 123 112321233123 4 12 242 40;0;20 221122212 , 333333333 Ne ee e

21、e eNe ee ee eNe ee ee eNe ee ee e NGeNGeNGeNGeNGeNGeNGeNGeNGeNGeNGeNGe eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee =+ =+= = += +=+ iii ? ? 右手系）。化基主方向对应的正交标准 列）主分量（从大到小排求：（ 已知： (,)2( )1 132 354 2410 )(3)(25)(4107 . 2 321 332332133122122111 eee N eeeeeeeeeeeeeeeeeeN i j = += 2.8 求证对于任意二阶

22、张量求证对于任意二阶张量T有有 ( )()() . detdet iijj jjii TT= 证明：= 111 .1.2.3 222 .1.2.3 333 .1.2.3 TTT TTT TTT ，= .1.2.3 111 .1.2.3 222 .1.2.3 333 TTT TTT TTT 2.9 由题给出TTY,TTX TT = ()( )XTTTTTTX TT T T T TT = 同理 ()( )YTTTTTTY T T TT T TT = 因此 X,YX,Y均为对称张量，两相量分别用分量表示 m j m jm j i m j iT ggXggTTTTX = 因X X为对称矩阵 所以 j

23、i j i XX = = j i i m i m j i TTTT = j i j i X= j i j i j m m i ggYggTTY 则可知 XY 的特征多项式相同，特征值相等则显然= YX 即证得 ( )det()det(j ii j j ii j YX= 02.10 已知：任意二阶张量T T及其转置 T T T，任意矢量u u，求证： T T Tu uu uT T= 321 0 132 354 2410 ) 1 ( 解得： 令= = eN i j 证： ij ij ij k k ijk kji ij uTuTuTg gg gg gg gg gu uT T=

24、ij ij ij k k ij ij ijk kT uTuTTug gg gg gg gg gT Tu u= 原式得证。 2.11 无 2.12 已知：T为正则的二阶张量，u为一矢量，Tu=0 求证：u=0 证明:因为 1 T 存在，且不为零，将 1 T 、点积式Tu=0的左右两端，得 左端= 1 T Tu=Gu=u 右端= 1 T 0=0 故u=0 2.13 无 2.14 求证：( )() T T1 1 =T T T TT T T T (T T T T为正则二阶张量) 证明：对于映射量，转置和逆运算可也交换次序 ()()() TT T T T TT T T TI I I II I I IT

25、T T TT T T TT T T TT T T T= 1 T T 1T T 1 从而 ()()0 1 1 = TT T T T T TT T T TT T T T 两边右乘( ) 1 T T 有：( )() T T1 1 =T T T TT T T T 2.15 已知：A B 为正则的二阶张量。 求证：( ) 1 11 A BBA - - ? 证： () () -1 11 A BA BGBAA B - ?= ? ()() () () () 1 11 1 11 1 11 0 0 0 = A BBAA B AB A B A BBA A BBA - - - - - - ? ?= 和为正则的二阶张量

26、， 即 故命题由此得证 2.16 (1)已知T T T T为任意二阶张量。求证：0,0T TTTT TTTT TTTT TTT ii (2)已知：T T T T为正则的二阶张量。求证：0,0T TTTT TTTT TTTT TTT ii 解：设u u u u为任一非零矢量，它与二阶张量T T T T的点积u Tvu Tvu Tvu Tv=i v v v v也是一矢量 () TT T TT TT TT TT TT TT TT T=ii,所以 T T TT TT TT Ti为对称二阶张量。 ()()()() () 2 TT 0u TTuu TT UT uT uvu TTuu TT UT uT uv

27、u TTuu TT UT uT uvu TTuu TT UT uT uv=iiiiiiiii 故由定义:0u N uN uuu N uN uuu N uN uuu N uN uu=ii，0T TT TT TT T i。同理可证0T TT TT TT T i。 若T T T T为可逆二阶张量， T T TT TT TT Ti为对称二阶张量。只有当u u u u为零矢量的时候()T uT uT uT ui才 是零矢量。现在一直u u u u为非零矢量，故 ()()()() () 2 TT 0u TTuu TT UT uT uvu TTuu TT UT uT uvu TTuu TT UT uT uv

28、u TTuu TT UT uT uv=iiiiiiiii 由定义:0u N uNuuu N uNuuu N uNuuu N uNuu=ii，0TTTTTTTT i。同理可证0T TT TT TT T i。 2.17 已知：正交张量Q。 求证： 1T QQ=亦为正交张量 证明：Q是正交张量，则满足 1T QQ= 1 .(). TTT QQQQG = 11 ().(). TT QQQ QG = 则 1T QQ=亦为正交张量 2.18 已知：对于任意矢量 u,v,均成立（Qu）（Qv）= uv 求证： 1,T QQQ = 为正交张量。 证明： () ()() ()() () () ()() TT i

29、jmnij jimnji ijnij jinji ijnij jinji jn nj Tijnij jinji ijijijij jiijjiji ii ji Q UQ VQ VQ UQ VU Q Q g gV gU gQ g g Q V g U gQ g g Q V U gQ g g Q V UQ Q VQ UQ V gU gQ g g Q V g U Q gQ V U Q Q V U Q = = = = = = = = iijjiiii ijiiiiii nmn nmn Q VU QUV Q Q U VU g V gU V = = 所以： ii ii Q Q =1即 Q 为正交矩阵 2-1

30、9 证明： () ()()()WW jmn inm Q VQQ VQQ V g Q W g= j j j j i ： opqmjnopqmjnq opqnopqimnimq g g gQ Q V WgQ Q V Wg = jjjjjjjj ii ()det mqjnsq jnq nsjmss qqimq ss Q Q QV W g V Wg QQ = j j j j i () () det q s q s VW Q = 02.20 已知：矢量已知：矢量wv、，正则的二阶张量，正则的二阶张量B。求证：。求证： () ()()()() 1 det T B vB wBBvw =

31、iii 证明：所证命题等价于 () ()()()() 1 det T B vB wBBvw =iii 则可得： () () () . detdet imq jnb imjnqb jnb jnb B vB wB B V W Bg BV W gB v w = = ii 即原命题成立。 得证，其他类推 2.21 ()()() ()() = TT TTTTT TTTTTTTTTTT T TY TT QT TQQTQTQTQTTQQTTQ QTTTX Q = = T T -1 求证X=T与之间互为正交相似张量。 即存在正交张量Q，使X=Q Y Q 证明：Q Y Q 注：正交张量存在如下性质：Q 故命题得

32、证 2.24 已知：二阶张量 1 11 22 1223 3 13 3 22 Te ee ee ee ee e=-+-+ 求（1） 进行加法分解 （2) 进行乘法分解 加法分解 13 0 22 310 003 T - - =- () 1 2 jji iij NTT=+ 所以 13 0 24 31 0 42 3 00 2 N - =- （2）乘法分解 13 0 22 310 003 T - - =- ，其中 - 1 00 2 010 003 200 =010 1 00 3 13 0 -1-30 20022 =010310=3-10 1003001 00 3 T TQH HH T Q =? - -

33、- = 1 - 1 - 1 设 正 张 量为， 其 中 所 设满 足 正 张 量 所 以 H 则 QH 所 求 Q 张 量 满 足 Q为 正 交 张 量 2.25 对于以下三种应力状态的应力张量s， 将其分解为球形张量 和偏斜张量 S。求 123 , SS JJS s v与J ，以及偏斜张量 的角。 （1）单向拉伸： 1223 =0=0ssss ， （2）单向压缩； 12o =0=-0ssss=- 解： ： () () 0 123 11230 2 3 123 123 1 0 0 0 22 00 =000 000 =+= 1 =0 2 det0 1 +1 3 3 0 2 00 3 1 =00 3

34、 1 00 3 1 illi ilil i j DN JTTT JT TT T JT TTTij J ij JJ s s s s s s s s s s ? ? -= = = = = - - =- 由题意得应力张量 所以 又因为N=P+D 当 P 当 所以偏斜张量D 所以 () () 2 2 10 3 33 33121 2 1 =- 33 27122 3=-= 3 32727 2 2 N D DNNNN D J J JJJJJCOS J s sv=-+=， （2）由题意得应力张量 00 00 0 00 11 -0000 33 0 00 11 = 0 00=0-0=00 33 0 0 - 12

35、00-00 33 PD ss sss s ss ，球形张量，偏斜张量 所以 () 123 11230 2 3 =+=- 1 =0 2 det0 illi ilil JTTT JT TT T JT s s s s ? -= = () () 2 2 2210 3 33 33121 2 11 =- 33 27122 -3=-= 3 32727 2 2 DNN D DNNNN D JJJ J JJJ JJCOS J s sv =- =-+=， （3）由题意得应力张量 000 0 00 0 = 00 0= 0 0 0= 0 0 0 00 0 00 0 PD o tt s tt - ， 球 形 张量， 偏

36、 斜 张量 () 123 1123 2 3 =+=0 1 = 2 det0 illi ilil JTTT JT TT T JT s s s t ? -= = 所以 () () 2 221 3 3 33121 2 1 = 3 2712 03=-=0 3 327 2 2 DNN D DNNNN D JJJ J JJJ JJCOS J t v =- =-+= ， 2.26 题 证明： 1 1 1 = = = = = = ，的特征值为，的特征值为又已知 ，即 得，两边乘以 得，又 为一正交张量得：由已知条件 TT TQQT QQTQQT Q QTQT QTQT QQ Q T T 2.27 ij aa

37、= i .j M 所以，其主方向相同。 有相同的特征向量，和所以， 所以有因为 NMM N NMM,NM MMM 2 2i .j i .j i j. i j. 2 2 i .j i .j 2 = = = = = i i iijj a a aaaa 2.28 已知：A A A A为二阶张量，Q Q Q Q为任意正交张量，对于一切Q Q Q Q，均有 T =i iQ A QAQ A QAQ A QAQ A QA 求证：A A A A为球形张量 证明：设二阶张量A A A A在一组正交标准基 123 ,e e ee e ee e ee e e中的并矢展开式为 11 1 112 1213 1 3212

38、 1 2222232331 3 132323333 AAAA AAAAA =+ + Ae ee ee ee eAe ee ee ee eAe ee ee ee eAe ee ee ee e e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e 由于Q Q Q Q为任意正交张量，取正交张量 1 12233 +Q = -e ee e +e eQ = -e ee e +e eQ = -e ee e +e eQ = -e ee e +e e 则， 11 1 112 1213 1 3212 1 2222232331 3 13232333

39、3 T AAAA AAAAA = + i iQ A Qe ee ee ee eQ A Qe ee ee ee eQ A Qe ee ee ee eQ A Qe ee ee ee e e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e 由题知 T =i iQ A QAQ A QAQ A QAQ A QA 则有： 1212 0AA= =， 1313 0AA= =， 2121 0AA= =， 3131 0AA= = 同理，取正交张量 1 12233 Q = e e -e e +e eQ = e e -e e +e eQ = e e

40、 -e e +e eQ = e e -e e +e e 可得： 2332 0AA= 则有： 11 1 122223333 AAA=+Ae ee ee eAe ee ee eAe ee ee eAe ee ee e 证得A A A A为对称张量 取正交张量 2 11233 Q = e e -e e +e eQ = e e -e e +e eQ = e e -e e +e eQ = e e -e e +e e 有 11 1 122223333 T AAA=+i iQ A Qe ee ee eQ A Qe ee ee eQ A Qe ee ee eQ A Qe ee ee e 由 T =i iQ A

41、 QAQ A QAQ A QAQ A QA 得 1122 AA= 同理，取正交张量 1 13223 Q = e e +e e -e eQ = e e +e e -e eQ = e e +e e -e eQ = e e +e e -e e 可证： 2233 AA= 故： () 111 12233 A=+Ae ee ee eAe ee ee eAe ee ee eAe ee ee e是球形张量。 2.29 解 =+= 312 123 231 T Tr(T)=j i T Tr( 2 T)=j i Ti j T Tr( 3 T)=j i T k j Ti k T 因主不变量与坐标的变换无关，因此可以将

42、上试与矩阵中的元素分别对应 Tr(T)= 321 NNN+ Tr(T)= 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 222+NNN Tr(T)=P83 页 2.23 第三章 3.1 已知： 为矢量。求： 2 fe=是否为 的各向同性函数，并说 明理由。 答：是的。 3.2 已知：T T T T为二阶张量。求：下列函数是否为T T T T的各向同性标量 函数，并说明理由。 （1）在某一特定的笛卡尔坐标系中 33 2 11 () ij ij fT = = （2）: T f= TTTTTTTT 答： （1）是。: T f= TTTTTTTT是T T T T的不变量。 （2）是。 * 2 ii

43、ji fT T = 3.4 已知：二阶张量T T T T。求：下列张量函数是否为T T T T的各向同性标量 函数，并说明理由。 （1） T =HTHTHTHT （2）=HT A THT A THT A THT A Ti i 答： （1）是。 ( )() () =TQ T QQ T QTTQ T QQ T QTTQ T QQ T QTTQ T QQ T QTi iii （2）不是。 () =T A TQ T Q A Q T QT A TQ T Q A Q T QT A TQ T Q A Q T QT A TQ T Q A Q T Qi ii ii ii i，一般 Q A QAQ A QAQ A

44、 QAQ A QAii 3.4 已知：二阶张量T T。 求：下列张量函数是否为T T的各向同性函数，并说明理由。 解： （1）是 。)()()( T TTT T T T TQ Q Q QT T T TQ Q Q QQ Q Q QT T T TQ Q Q QT T T T T T T TT T T T = (2)不是。 T Q Q Q QT T T TQ)Q)Q)Q)A A A A(Q(Q(Q(QT T T TQ Q Q QT T T TA A A AT T T T T T T T =,一般，A A A AQ Q Q QA A A AQ Q Q Q T T T T 3.5 已知：二阶张量T T的

45、张量函数T T T TA A A AH H H H=（A A为二阶常张量） 。 求：A A满足什么条件时，H H是T T的各向同性函数。 解：当A A是球形张量时，T T T TA A A AH H H H=是T T的各向同性函数。 T T T TA A A AH H H H=是T T的各向同性函数即T T T TQ Q Q QA A A AQ Q Q QT T T TA A A AH H H H T T T T =)(,所以A A A AQ Q Q QA A A AQ Q Q Q T T T T = 设二阶张量A A在在一组正交标准化基 1 e e e e， 2 2 2 2 e e e e，

46、 3 3 3 3 e e e e中的并矢展开式为 333323321331322322221221311321121111 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eAAAAAAAAA+=A A A A 先证A A是对称张量。若取正交张量 332211 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e+=Q Q Q Q(为关于 2 x， 3 x 平面的

47、镜面反射)，则 333323321331322322221221311321121111 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eAAAAAAAAA+= T T T T Q Q Q QA A A AQ Q Q Q 由于A A A AQ Q Q QA A A AQ Q Q Q T T T T = 故可证得，0 1212 =AA,0 1313 =AA,0 2121 =AA,0 3131 =

48、AA 同理若设 332211 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e+=Q Q Q Q 可证得0 3223 =AA 故 333322221111 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eAAA+=A A A A是对称张量。 再证A A是球形张量。即证 332211 AAA= 若取 33211 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e2 2 2 2+=Q Q Q Q（即绕 3 x转动 90） 333311223211 e e e ee e e ee e e ee

49、e e ee e e ee e e eAAA+= T T T T Q Q Q QA A A AQ Q Q Q 由于A A A AQ Q Q QA A A AQ Q Q Q T T T T =，故可证得， 2211 AA= 同理，若设 32231 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e1 1 1 1+=Q Q Q Q，可证得 3322 AA= 故G G G GA A A A 1133221111 )AA=+=e e e ee e e ee e e ee e e ee e e e(e(e(e(e是球形张量。 3.15 设 ijij ijij TT=Tg

50、 gg gTg gg gTg gg gTg gg g 则( ) ij ij f f T = HTg gHTg gHTg gHTg g T T T T的正交相似张量 ijij ijij TT=Tg gg gTg gg gTg gg gTg gg g 其中 ii =gQ ggQ ggQ ggQ gi ii =gQ ggQ ggQ ggQ gi 由于( )fT T T T是各向同性标量函数， ( ) ( )ff=TTTTTTTT 故 ( ) ()() ijij ijIJ ff f TT = Tg gQ gQ gTg gQ gQ gTg gQ gQ gTg gQ gQ g ii ij IJ f T =

51、 * Q g g QQ H QQ g g QQ H QQ g g QQ H QQ g g QQ H Q iiii 因此，( )f=HTHTHTHT是各向同性张量函数。 3.16 设 ii ii = gggggggg 其旋转量 ii ii = gggggggg 其中 ii =gQ ggQ ggQ ggQ gi， ii =gQ ggQ ggQ ggQ gi 因为 ( )F 是 的各向同性矢量函数，故： ( )( )FF= Q Q Q Q i 设( ) ( ) i i F F = H H H H g g g g 故 ( ) ( ) ( ) ii ii F F F = Q Q Q Q gQ ggQ g

52、gQ ggQ g i i ( ) i i F = * Qg QQ H QHQg QQ H QHQg QQ H QHQg QQ H QHiiii 3.18 求() m Tdet的导数（T 为二阶张量） 。 () () Tm T Tgm 1 3 3.19 求 dT dT T （ T T为二阶张量 T 的转置张量） 。 i j j i gggg 3.20 求 () dT Td T 2 （ T T为二阶张量 T 的转置张量） () i s s j s j i s j i ggggggggT+ 3.21 求det()GTGTGTGT对及对T T T T的一阶、二阶导数（T T T T为二阶张量） 。 解

53、： 2 12 det()32 TT d d =+GTGTGTGT 2 1 2 det()62 T d d =GTGTGTGT 2*2* 121 det()()()() TTT d d = +GTG +TTGTG +TTGTG +TTGTG +TT T T T T 2*2 * 11 2* () det()()() TT ddd ddd =+ TTTTTTTT GTGGGTT GGTGGGTT GGTGGGTT GGTGGGTT G TTTTTTTTTTTT 3.22 已知：矢量v v v v的标量函数 2 e= v v v v ， 求： （1） d d v v v v （2）是否为各向同性函数，

54、并说明理由。 解： 2 2 v ve。是各向同性矢量函数。 第四章第四章 4.5已知：为标量场函数， 为矢量场函数 求证：()() () += 证明：()()() () g g g g g g g g g g g g i i i ii i i ii i i i += + = = iii xxx 4. 4. 4. 4.6 6 6 6已知： , , , ,均为矢量场函数。 求证：() ()() += 证明： ()()()()() gwgwgwgww w w w w w w w g g g gw w w w g g g gw w w w g g g gw w w w g g g g

55、w w w w i i i ii i i ii i i ii i i i += += + = = iiii xx w xx 4. 4. 4. 4.7 7 7 7已知： 为矢量场函数，a a 为任意适量。 求证：()a a a a a a a a =curl 证明： () ()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a i i i i g g g g a a a a i i i i g g g ga a a aa a a a g g g ga a a a i i i i = = = i x i x x curl i 4. 4. 4. 4.8 8 8 8已知： u, u, u, u,为矢量场函数。 求证：()()()()()u u u u u u u uu u u u u u u u u u u u+= 证明： ()()()() ()() ()()()() ()() u u u u