一元二次方程教材分析.ppt

1、一元二次方程,解说教材,豫灵一中 田瑞妮,本章的地位与作用,有 理 式,整式方程,无理方程,一元一次方程七上,二元一次方程（组）七下,消元,降次,整式 七上,分式 八下,代 数 式,分式方程 化为一次方程,一元二次方程,无 理 式,一元二次方程是首次出现的高于一次的方程。 解二次方程的策略是将其转化为一次方程， 所以“降次”是本质。,站在哪？,去分母,与不等式等知识的结合章，在研究根的情况时需要我们利用不等式的知识，在研究对根的认识时也需要不等式的知识；,二次函数与直线y=a的交点.,二次不等式,高次方程,本章的地位与作用,一元二次方程的学习是研究二次函数与二次不等式的根基，同时为解决高次问题

2、提供策略。,新课程标准,能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程； 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.,课程学习目标,以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念； 根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法。有条件时可选学“一元二次方程的根与系数的关系”，拓展对一元二次方程的认识； 经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程

3、的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力.,中考的要求,本章教学时间约需13课时，具体分配如下 （仅供参考）：,221 一元二次方程 2课时 222 降次 7课时 223 实际问题与一元二次方程 2课时 数学活动小结 2课时,课时的安排,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,这节课是体会方程思想的继续，其核心是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.,第一节课的主要内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式（包括二次项系数、一次项系数和常数项）.,方程的数学本质是：引进适当的表示未知数的字母，建立未知量与已知量之间的相等关系，以及

4、研究这些相等关系的思想方法（解方程（组）的思想方法）.,它是在学习了一元一次方程和二元一次方程（组）的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的.,一般到特殊（演绎思维）， 从方程概念演绎得出一元二次方程概念； 特殊到特殊（类比思维）， 从一元一次方程或二元一次方程概念类比得出一元二次方程概念； 特殊到一般（归纳思维）， 若干现实问题数学模型概括得出一元二次方程概念. 课本提供的教学方式是第三种教学方式 这种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映内容的数学本质和最有利于学生的认知发展. 这就是课本的意图.,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,形成一元二次方程

5、的概念有三种教学方式：,问题：设计一个2米长的雷锋雕像，要求上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比,则下部应设计多高？,上部,下部,全身,列方程对学生来说是个难点，将现实问题转化为数学模型（列方程）时，可以采用填空的形式降低列方程的难度. （特别适用基础差的学生）. 本节课主要目的是体会方程思想，而不是发展列方程（数学化）的能力.,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,x,(100-2x)(50-2x)=3 600,问题1 如图，有一块长方形铁皮，长为100cm，宽为50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起

6、，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？,盼望孩子们能主动运用表格、图示的方式分析研究问题,A B C D ,A B C D ,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,华师大版,问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？,问题2：学校

7、图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到72万册求这两年的年平均增长率,x（x10）900，,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,北师大版,增加的问题,2x2=8,x2- 4=0,m的3倍的平方与m的2倍相等.,9m2 2 m = 0,4y2 与1的和等于（y+1)2与2y的差.,4y2 +1=（y+1)2- 2y,3y2 =0,在概括方程特点的教学中提问：这些方程有何共同特点？ 还可以追问：你是怎样发现这些特点的？ 如果学生说理有困难，可以启发学生观察比较的视角(多项式). 这能使学生经历思维过程中的站点，也能发展学生的科学素养,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课

8、时）,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,例1.判断下列方程是否为一元二次方程？,(1),(2),(3),(4),(5),(6),整式方程,看清二次项系数,整理化简,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,例2 把关于x的方程整理成一般形式， 并写出其中二次项系数、一次项系数和常数项,确定各项系数必须先把方程化为一般形式； 系数和常数项除了数值外，还必须带符号.,研究的对象是一元二次方程的系数问题， 通过研究解法以及根的情况体现出来,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,例3.当m为何值时,关于x的方程是一元二次方程,要关注各项系数有意义的条件,要强化二次项系数不

9、为零的意识,未知数的最高次数为二次,能由一元二次方程的概念确定二次项系数所含字母的取值范围,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,（2）一元一次方程.,教材教法建议-22.1一元二次方程（第一课时）,多种情况的讨论加深对方程概念的理解.,例5：当m为何值时，关于x的方程,（2）一元二次方程.,（1）一元一次方程.,教材教法建议-22.1一元二次方程（第二课时）,用赋值代数的方法估计根.,例 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0, 可以列表如下: 则方程x2+px+q=0的正数解满足: A.解的整数部分是0,十分位是5 B.解的整数部分是0,十分位是8 C.解的整数部分是1,十分

10、位是1 D.解的整数部分是1,十分位是2,使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。 只含有一个未知数的方程的解也叫做根,教材教法建议-22.1一元二次方程（第二课时）,例1 判断括号里的数是不是下列各方程的解,总结对比说明二次方程和一次方程解得区别（根的个数）.,教材教法建议-22.1一元二次方程（第二课时）,2.若关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根是，则a+b+c的值为 ; 若a-b+c=0，则此方程必有一个根 . 有4a-2b+c=0,你能确定方程的一个根吗？,1.若x=2是方程x2 2ax+8=0的一个根， 则a的值为 ;,例2,会由方程的根求方程中待定系数的值,教材教法建议-

11、22.1一元二次方程（第二课时）,例3,观察所求代数式与方程之间的联系，体会等式变形的一般方法,若m是方程x2 x 1 =0的一个根，求下列代数式值 5m2 5m+2004 2m3 4m 1,教材教法建议-降次，解一元二次方程（共7课时）,配方法、公式法早在公元前19世纪就已经为巴比伦人所知，而因式分解法的出现却迟了整整3500年。那么因式分解法最初是如何被数学家想到的？ 从哈里奥特的例子中，我们可以看出，他是先遇到了方程（x-b）（x+c）=0，将左边展开得到x2 -bx+cx-bc=0， 由此反过来想到用因式分解法来解一元二次方程的。在笛卡尔的几何学中，我们也可以看出这一点。他将一元一次方

12、程x-2=0和x-3=0相乘， 得一元二次方程x2-5x+6=0，它的两根为2和3。 从一元二次方程解法的发展历史来看， 我们在教学的安排顺序如下：1.直接开平方法，2.配方法，3.公式法，4.因式分解法。这样应该是更符合学生的认知发展规律。,解法的教学顺序,教材教法建议-降次，解一元二次方程（共7课时）,华师大版,配方法后置，对灵活选择适当方法解方程不利。,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,一元二次方程,学生自己举例，解方程,从特殊到一般，从简单开始,直接开平方法有效,把配方变成一种必然,用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,一元二次方程 的特殊

13、形式,用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.,拓展，练习直接开平方法,放手，让学生自己做,允许，让学生犯错误,指导，规范源于需要,“理解配方法”,学生若感觉困难再举例引导，建构解法之间的内在联系,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,课后可以加强配方的训练,填空练习,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.,避免出现二次项系数,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,北师大版,教材教法建议-一元二次方程（配方法）,教材教法建议-解一元二次方程（公式法）,用配方法解下列关于x的一元二次方程.,如果（1）和（2）中的条件m-1和m0去掉又如何解？,根据学生情

14、况可以做一些铺垫,教材教法建议-解一元二次方程（公式法）,设计让推导公式成为一种需要 求根公式使我们省略了每次重复的配方过程.（机器） 求根公式包含初中所学的六种运算,最美的公式 解方程本身就是变形的过程.,教材教法建议-解一元二次方程（公式法）,用配方法解方程,解：因为a0，两边同除以a，得,因为a0，,明确要求会判断方程根的情况. 开平方去绝对值是难点,教材教法建议-解一元二次方程（公式法）,说明：用公式法解一元二次方程，如果方程不是一般形式，必须先化成一般形式.,说明：对于不完全的一元二次方程，也可用公式法求解，此时所缺项的系数为0.,说明：如果方程的系数含有分数，先化为整数方便计算.,

15、运用公式法求一元二次方程的根,注意三点：,(1)必须先把方程化为一般形式,(2)务必认准所求题目中a，b，c的取值是多少,教材教法建议-解一元二次方程（公式法）,(3)会用判别式确定方程有无有实数解,能力在过程中生成 规范是痛苦后的选择 解题策略是不断探究不断失败后的经验,教材教法建议-解一元二次方程（因式分解法）,中学数学（日本的教科书）中在讲解因式分解法时 由最基本的( x + a) ( x + b) = 0 型 先给出四个方程( x - 2) ( x + 28) = 0,( x - 2) ( x - 28) = 0, x + 2) ( x - 28) = 0, ( x + 2) ( x

16、+ 28)= 0, 从中找出2与28都是解的方程,分析求解得出结论“如果AB = 0,得出A = 0或B = 0”. 到一般式ax2 + bx + c = 0 再到( x + b) 2 = 0, x ( x + b) = 0等特殊型, 这样由基本到一般再到特殊的过程是十分切合学生的认知过程的.,教材教法建议-解一元二次方程（因式分解法）,由上述过程我们知道：当一元二次方程的左边能够分解成两个一次因式的积，而右边等于0时，即可转化成两个一元一次方程求解，我们把这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.,强调：因式分解法解一元二次方程的前提是“方程右边必须是零”.,突出对方程的结构的把握,将因式分解

17、法看作是一种比配方更为简单的方法.提升变形能力。,教材教法建议-解一元二次方程（因式分解法）,x22axa2b2=0,培养数式感,教材教法建议-解一元二次方程（解法综合）,首选直接开方法.,其次考虑因式分解法.,再次对任何一元二次方程均 可用公式法.,有特殊要求时，采用配方法.,在灵活选用具体解法时，要把重点放在分析方程的形式特征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，强调其中的关键步骤所起的重要作用。让学生自己感受这样选择的优势。,理解二次产生原因 未知数运算生成二次的实际问题,归类整合应用情境,重视阅读能力,提高审题能力,教材教法建议-实际问题与一元二次方程,涉及几个量? 几个未知量?

18、 哪个条件可列得方程?,面积与勾股,由方程编应用题,有100米长的篱笆材料，想围成一个矩形露天仓库，要求面积为600平方米，在场地的北面有一堵长为50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米，宽10米的矩形仓库，但面积只有400平方米，不合要求，现请你设计矩形仓库的长和宽，使它符合要求,:（1）：矩形不靠旧墙。 设矩形仓库的宽为x米，则长为(50-x)米。 由题意的：x(50-x)=600 解得：x=20或 x=30 检验后知x=20符合要求。 （2）：矩形一边靠旧墙。 设矩形的宽为x米，则x(100-2x)=600,面积与勾股,1、直角三角形的周长 ，斜边上 的中线长为1，求这个直角三角形的

19、三边长,2、如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半,面积与勾股,北师大版,面积与勾股,参加一次聚会每两人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加聚会？,点与线段 线之交点 多边形对角线 交换礼物 比赛场次,握手问题,向阳村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率.,某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，求平均每次降价的百分率.,寻求有关增长率在应用中的规律 对所求出的量注意检验是否符合

20、题意. .,某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，求二、三月份平均每月增长率为多少？,注意审题，细心分析所给的量的变化.,增长率问题,（2009茂名）据茂名市某移动公司统计，该公司2006年底手机用户的数量为50万部，2008年底手机用户的数量达72万部请你解答下列问题：（1）求2006年底至2008年底手机用户数量的年平均增长率；（2）由于该公司扩大业务，要求到2010年底手机用户的数量不少于103.98万部，据调查，估计从2008年底起，手机用户每年减少的数量是上年底总数量的5%，那么该公司每年新增手机用户的数量至少要多少万部？（假定每年新增手机用户的数

21、量相同）,08年底手机用户是72万， 09年底手机用户应为72（1-5%)+x, （x为每年新增用户数量） 10年底手机用户为（72（1-5%)+x）*（1-5%)+x 即 （72（1-5%)+x）（1-5%)+x=103.98 解得x20万,增长率问题,列表帮助分析，打破思维定式,中考题考什么,2008,能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况,解含字母系数的一元二次方程、式的比较大小、函数概念、函数解析式的确定,2009,理解配方法,能选择适当的方法解一元二次方程,2009,由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围,2010,理解配方法,由方程根的情况确定方程中待定系数的取

22、值范围,2010,2010,解简单的数字系数的一元二次方程 确定二次项系数所含字母的取值范围,解关于x的方程：,小专题-解字母系数一元二次方程,小专题-配方法,说明符号 说明最值 与非负数性质相结合,已知4a2+b2-4a+10b+260求a、b的值,用配方法证明: x2-2x+3的值恒大于0 -x2+6x-10的值恒小于0.,小专题-一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的判别式的应用,(1)运用判别式，判别方程实数根的个数.,(2)利用判别式，建立等式、不等式， 求方程中参数值或取值范围.,(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.,(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解 的代数模型

23、，解几何性问题、最值问题.,(1)运用判别式，判别方程实数根的个数.,例1 不解方程,判断下列方程的根的情况:,两个相等的实数根,两个不相等的实数根,没有实数根,当m 0时,方程是一元二次方程, 0,故方程有两个实数根. 当m = 0时,方程变为一元一次方程, 此时若n 0, 则方程有一个实数解,若n = 0,则方程有无数个实数解.,(1)运用判别式，判别方程实数根的个数.,代 换,减元,达到化简的目的.,利用平方差 公式变形,(1)运用判别式，判别方程实数根的个数.,(2)利用判别式，建立等式、不等式，求参数取值范围.,各项系数有意义， 明确方程类型， 根的判别式建立不等式,有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？ 无实数根？ 有两个实数根？ 有实数根？,(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.,例8已知: a, b, c为ABC的三边,当m 0时,关于x的方程 有两个相等的实数根. 求证: ABC为直角三角形. 只要能证明ABC的三边a, b, c满足勾股定理的逆定理,(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何性问题、最值问题.,例9已知: a, b, c为ABC的三边,关于x的方程 有两个相等的实数根. 求证: A