3.1.1方程的根与函数的零点课件.ppt

1、3.1.1 方程的根与函数的零点,问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？,我们知道，令一个二次函数,的函数值y0，就得到一元二次方程,问题引入,方程,函数,函 数 的 图像,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。,结 论:,2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。,若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系

2、，上述结论是否仍然成立？,问题2,有两个不等的 实数根x1，x2,有两个相等实数根x1=x2,没有实数根,一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a0）的图像有如下关系：,(x1,0)， (x2,0),(x1,0),没有交点,二次函数的图像与 轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？,结论：,1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。,2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。,对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数零点的定义：,等价关系

3、,注意：函数的零点不是点！它是数，它是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.,函数的零点不是点，它是数,练习：求下列函数的零点： （1） ;（2） .,思考：函数 有几个零点？能用解方程的办法解决吗？,问题6：如果将定义域改为区间a,b观察图象 说一说零点的情况，有什么发现？有零点的 区间有何特征？,函数 的图象在闭区间a,b上 连续不断,才能保证有零点。,问题8：满足上述两个条件，能否确定零点 个数呢？,有零点，至少有一个，但不确定个数， 即存在零点。,问题9：不满足上述条件，是否就没有零点 呢？,不满足条件时不能判断有没有零点,零点存在定理,注意:,3

4、、不能判断零点个数，条件不满足时不能判断有没有零点！,由表和图可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。,由于函数f(x)在定义域 (0,+)内是增函数，所以 它仅有一个零点。,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 和图象,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例题1 求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。,零点存在定理结合单调性就可以判断零点个数！,思考：例1能否不用计算器解决呢？,法二：,零点存在定理结合单调性就可以判断零点个数！,思考：例1能否不用计算

5、器解决呢？,法三：,练习：P88,1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：,（1）x23x50；,（2）2x(x2)3；,（3） x2 4x4；,（4）5 x2 2x3 x2 5.,2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,（1）f(x)= x33x+5；,（2）f(x)=2x ln(x2)3；,（3）f(x)=ex1+4x4;,（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.,(1)解：令f(x)=x23x5, 作出函数f(x)的图象，如下：,它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根。,1、(1) x23x50,(2)解：2x(x2)3可化为 2x

6、24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函数f(x)的图象,如下：,它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。,(2) 2x(x2)3,(3)解：x2 4x4可化为x24x 40，令f(x)= x24x4，作出 函数f(x)的图象，如下：,它与x轴只有一个交点，所以方程x2 4x4有两个相等的实数根。,(3) x2 4x4,(4)解：5x2 +2x3x2 +5可化为 2x2 2x50，令f(x)=2x2 2x5 , 作出函数f(x)的图象， 如下：,它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x3x2 +5有两个不 相等的实数根。,(4) 5 x2 2x3 x2 5,(1)解：

7、作出函数的图象，如下：,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。,2、(1) f(x)= x33x+5,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,(2)解：作出函数的图象，如下：,因为f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,(2) f(x)=2x ln(x2)3,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,(3)解：作出函数的图象，如下：,因为f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。,(3) f(x)=ex1+4x4,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,(4)解：作出函数的图象，如下：,因为f(4)40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一个零点。,(4) f(x)=3(