单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

1、4.1 单位圆与任意角的正弦函数、 余弦函数的定义,都昌三中 高一数学组,锐角的正弦、余弦函数的定义：,对边,邻边,斜边,以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆,下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数,任意角的正弦函数、余弦函数定义：,（1）v叫做的正弦，记作sin， 即sin=v；,（2）u叫做的余弦，记作 cos，即cos=u,如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：,三角函数 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.,角(弧度数) 实数,三角函数可以看成是自变量为实数的函数,一一对应,定义域,函数,1

2、.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数,v,u,全体实数,全体实数,2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号,方法规律：正弦上正下负，余弦右正左负。,3.任意角的正弦函数、余弦函数 (1)前提：设角的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半 轴重合，角终边上任一点Q(x,y). (2)结论：OQ的长度为 且sin =_，cos =_.,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)sin ,cos 中可以将“”与“sin”，“cos”分开.( ) (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( ) (3)角终边上有一点P(1，1)，故cos=1.( ),【解析】(1)错误.符号sin ,cos

3、 是一个整体，不能分开. (2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等. (3)错误.P(1,1),x=1,y=1, 故cos =,2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知角终边经过点 则角的最小正值是_. (2)角的终边经过点P(m,4)，且cos = 则m=_. (3)角满足sin 0,cos 0,则在第_象限.,【解析】(1) 所以的最小正值为 答案： (2)r= 因为cos= 解得m=3(舍去)，m=-3. 答案：-3,(3)当sin 0时,在第一、二象限及y轴正半轴，当 cos 0,cos 0时，在第二象限. 答案：二,【即时练】 当角=0时，sin =_；若角=-3，则s

4、in 的符号为_(填“正”或“负”). 【解析】当角=0时，sin =0；若角=-3，则角是第三象限角，所以sin 0. 答案：0 负,【题型示范】 类型一 任意角的正弦函数、余弦函数 【典例1】 (1)(2014石家庄高一检测)已知角与单位圆的一个交点坐 标是 则cos 等于( ) (2)已知角的终边经过点P(2,4)，求角的正、余弦函 数值.,【自主解答】(1)选D.因为 所以 故cos = (2)因为点P(2,4)在角的终边上，故u1=2， v1=4，可知r= OP = 所以sin = cos =,【变式训练】已知角的终边经过点P(2，-3)，则cos 的值 是( ) 【解析】选C.角的

5、终边经过点P(2，-3)，故 由三 角函数的定义知 故选C,【考题链接】(2013西安高一检测)已知角为第二象限的角. P(a,4)为终边上一点，且sin= 则sin+cos的值为_ .,【解析】|OP|=r= 由sin= 得 所以a=3. 又为第二象限的角, 所以a=-3,所以cos = 所以sin +cos =,类型二 三角函数值的符号的应用 【典例2】 (1)(已知角是第二象限角，则点P(sin ,cos )在第_ 象限. (2)确定下列各式的符号. cos200. sin160+cos(-40). sin210cos260.,【自主解答】(1)因为角是第二象限角，所以sin 0，cos

6、 0，所以点P的坐标符号是(+,)，所以点P在第四象限.,(2)200为第三象限的角，所以cos 2000. 160为第二象限的角，所以sin 1600.-40为第四象限的角，所以cos(-40)0,所以sin 160+cos(-40)0. 210为第三象限的角，sin 2100,260为第三象限的角， 所以cos 2600,所以sin 210cos 2600.,四,【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律,【变式训练】确定下列各式的符号. (1)sin 2 014. (2) (3)sin 4cos 4.,【解析】(1)2 014=3605+214,所以2 014为第三象限的角,所以sin 2

7、0140. (2) 为第四象限的角,所以cos 0. (3)4 所以4 rad为第三象限的角. 所以cos 40，sin 40. 所以sin 4cos 40.,【考题链接】（2014西安高一检测) sin(140)cos 740的值( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不确定 【解析】选C. 140是第三象限角，所以sin(140)0， 740=2360+20，所以740是第一象限角，所以 cos 7400，所以sin(140)cos 7400.,【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 【典例】(2014泰安高一检测)已知角的终边经过点 P(3m,m)(m0)，则sin =_.,【解析】由题意得： |OP|= 当m0时，|OP|= 则sin= 当m0时，|OP|= 则sin= 答案： 或,【类题试解】已知角的终边过点P(-3a，4a)(a0)，则 cos =_. 【解析】由题意可得：|OP|= 当a0时，|OP|=5a，则 当a0时，|OP|=-5a，则 答案： 或,课 堂 总 结,1、任意角三角函数的定义