函数的奇偶性[高考数学总复习][高中数学课时训]

1、函数的奇偶性 基础自测基础自测 0 0 1（. . 2008 福建理，福建理， 4） 函数 f （x） =x3+sinx+1 （xR R） ， 若 f （a） =2， 则 f （-a） 的值为 . 答案答案 答案答案 答案答案 2.已知定义在 R R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，则 f(6)的值为 . 3.设偶函数 f(x)=log a|x-b|在（-,0）上单调递增，则 f(a+1) f(b+2)(用“” ， “” ， “” ， “”填空). 4.已知 f（x）= 答案答案1 a(2x1)2 2x1 是奇函数，则实数 a 的值为 . 5.函数 f(x),g(x)在区间

2、 -a， a(a0） 上都是奇函数， 则下列结论： f(x)-g(x)在 -a,a 上是奇函数； f(x)+g(x) 在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数；f(0)+ g(0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案答案4 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x21 1 x2; (2)f(x)=log 2(x+ x21) (xR R); (3)f(x)=lg|x-2|. 解解 （1）x -10 且 1-x 0,x=1,即 f(x)的定义域是-1，1. f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故 f(x)既是奇函数又是偶

3、函数. （2）方法一方法一易知 f(x)的定义域为 R R， 又f(-x)=log 2-x+ (x)21=log 2 f(x)是奇函数. 方法二方法二易知 f(x)的定义域为 R R， 22 1 x x21 =-log 2(x+ x21)=-f(x), 又f（-x）+f（x）=log 2-x+ (x)21+log 2(x+ x21)=log 21=0,即 f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （3）由|x-2|0，得 x2. f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数. 例例 2 2 已知函数 f(x),当 x,yR R 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y

4、). (1)求证：f(x)是奇函数； （2）如果 xR R ，f（x）0,并且 f(1)=- + + 1 ,试求 f(x)在区间-2，6上的最值. 2 （1）证明证明函数定义域为 R R，其定义域关于原点对称. f（x+y）-f（x）+f（y） ，令 y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0, f(0)-f(0)+f(0),得 f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得 f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （2）解解方法一方法一设 x,yR R ，f（x+y）=f（x）+f（y） ， f（x+y）-f（x）=f（y）.xR R ，f（x）0, f(x+y)-f(x)0

5、,f(x+y)f(x). x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值. f(1)=- 1 ,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, 2 + + f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2） =-3. 所求 f(x)在区间-2，6上的最大值为 1，最小值为-3. 方法二方法二设 x 1x2,且 x1,x2R R. 则 f(x 2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). x 2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即 f(x)在 R R

6、 上单调递减. f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=- 1 ， 2 f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2） =-3. 所求 f(x）在区间-2，6上的最大值为 1，最小值为-3. 例例 3 3（16 分）已知函数 f(x)的定义域为 R R，且满足 f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若 f(x)为奇函数，且当 0 x1 时，f(x)= （1）证明证明 f（x+2）=-f（x） ， 11 x,求使 f(x)=-在0，2 009上的所有 x 的个数. 22 f（x+4）=-f（x+2）=-f（x） =f（x

7、） ， 2 分 f（x）是以 4 为周期的周期函数， 4 分 （2）解解当 0 x1 时，f(x)= 1 x, 2 11 （-x）=-x. 22 设-1x0,则 0-x1,f（-x）= f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）, -f（x）=- 故 f(x)= 11 x，即 f(x)=x. 7 分 22 1 x(-1x1) 8 分 2 又设 1x3,则-1x-21, f(x-2)= 1 (x-2), 10 分 2 又f（x-2）=-f（2-x）=-f（ （-x）+2）=-f（-x） =-f（x） ， -f（x）= f（x）=- 1 （x-2） ， 2 1 （x-2） （1x3）. 11 分 2

8、 1 x 2 f（x）= 1 (x2) 2 由 f(x)=- (1 x 1) 12 分 (1 x 3) 1 ,解得 x=-1. 2 f（x）是以 4 为周期的周期函数. f(x)=- 1 的所有 x=4n-1 (nZ Z). 14 分 2 10051 n, 42 令 04n-12 009,则 又nZ Z，1n502 （nZ Z）, 在0，2 009上共有 502 个 x 使 f(x)=- 1 . 16 分 2 1.判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2） （2）f（x）= 2 x ； 2 x ； lg(1 x2) | x22|2 x2 （3）f（x）=0 x2 解解 （1）由 (x

9、 1), (| x|1), (x 1） . 2 x 0，得定义域为-2，2） ，关于原点不对称，故 f（x）为非奇非偶函数. 2 x 2 1 x 0， （2）由得定义域为（-1，0）（0，1）. 2 | x 2|2 0. 这时 f（x）= f（-x）=- lg(1 x2) (x22)2 lg1(x)2 (x)2 lg(1 x2) x2 2 . lg(1 x ) f (x),f（x）为偶函数. x2 （3）x-1 时，f（x）=x+2，-x1, f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）. x1 时，f（x）=-x+2， -x-1，f(-x)=x+2=f(x). -1x1 时，f（x）=0，-

10、1-x1， f（-x）=0=f（x）. 对定义域内的每个 x 都有 f（-x）=f（x）. 因此 f（x）是偶函数. 2.已知函数y=f(x)的定义域为 R R， 且对任意 a,bR R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)， 且当 x0 时， f(x)0 恒成立， f(3)=-3. (1)证明：函数 y=f(x)是 R R 上的减函数； （2）证明：函数 y=f(x)是奇函数； （3）试求函数 y=f(x)在m,n （m,nZ Z）上的值域. （1）证明证明设x 1，x2R R，且 x1x2,f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1). x 2-x10,f(x2-x1

11、)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故 f(x)是 R R 上的减函数. （2）证明证明f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，可令 a=-b=x,则有 f（x）+f（-x）=f（0） ， 又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.从而xR R，f（x）+f（-x）=0， f（-x）=-f（x）.故 y=f(x)是奇函数. （3）解解由于 y=f(x)是 R R 上的单调递减函数， y=f（x）在m，n上也是减函数，故 f(x)在m，n上的最大值 f(x) max=f(m),最小值 f(x)min=f(n). 由于 f(n)=f(1+(n-1)

12、=f(1)+f(n-1)=nf(1),同理 f(m)=mf(1). 又 f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1,f(m)=-m, f(n)=-n. 函数 y=f(x)在m,n上的值域为-n,-m. 3.设 f（x）是定义在 R R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意 x 1、x20， =f（x 1） f（x2） ，且 f(1)=a0. （1）求 f( 11 )及 f() 24 1 都有 f（x 1+x2） 2 （2）证明：f（x）是周期函数； （3）记 a n=f(2n+ 1 )，求 a n. 2n 1 （1）解解对 x 1、x20, ， 2 都有 f（x 1+x2）=f（x

13、1） f（x2） ， f（x）=f( xxxx ) f ( ) f ( )0，x0，1. 2222 2 1111 1 f（1）=f() f ( ) f ( ) f ( ), 2222 2 11111 1 f() f () f ( ) f ( ) f ( ). 24444 4 2 11 f(1)=a0, f() a2, f ( ) a4. 24 （2）证明证明y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称， f（x）=f（1+1-x） ，即 f（x）=f（2-x） ，xR R. 又由 f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x） ，xR R， f（-x）=f（2-x） ，xR R. 将上式中-x 用 x

14、代换，得 f（x）=f（x+2） ，xR R. 这表明 f（x）是 R R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期. （3）解解由（1）知 f（x）0，x0，1. 11 f() f (n) 22n 1 1 1 f (n1) =f() 2n2n 2n n 1 1 1 f (n1) 2n 11 .11111 1 =f() f ()f() f ().又 f() a2, f () a2n 2n2n22n2n 2n 11 f（x）的一个周期是 2，a n=f(2n+ )=f(),a n=a 2n . 2n2n 1 一、填空题一、填空题 1.f(x),g(x)是定义在 R R 上的函数，h(x)=f(x)+

15、g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的条 件. 答案答案充分不必要 2.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则 a= . 答案答案-1 3.已知函数 f（x）是 R R 上的偶函数，g（x）是 R R 上的奇函数，且 g（x）=f（x-1） ，若 f（0）=2，则 f（2 008）的 值为 . 答案答案2 4.已知函数 y=f(x)是定义在 R R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（填序号）. y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x. 答案答案 5.(2009 徐州六县一区联考徐州六县一区联考)设 f(x)是定义在 R

16、R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)=2 -3， 则 f(-2)= . 答案答案-1 26.已知 y=f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x -2x，则在 R R 上 f(x)的表达式为 . 答案答案 f(x)=x(|x|-2) 7.已知函数 f(x)=g(x)+2,x-3，3 ，且 g(x)满足 g(-x)=-g(x),若 f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则 M+N= . 答案答案4 8.f(x)、g(x)都是定义在 R R 上的奇函数，且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(-a)= . 答案答案 -b+4 二、解答题二、解答

17、题 9.已知 f(x)是实数集 R R 上的函数，且对任意 xR R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)已知 f(3)=2，求 f(2 004). （1）证明证明f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f(x1)1 f (x1) f (x) f (x) f (x1) f (x) f (x1). f(x+3)=f(x1)2 f(x1)1 f (x). f(x+6)=f(x3)3 f (x3) f (x). f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解解f(2 004)=f(3346

18、)=f(0)=-f(3)=-2. 10.已知 f(x)是 R R 上的奇函数，且当 x(-,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解解f（x）是奇函数，可得 f(0)=-f(0),f(0)=0. 当 x0 时，-x0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x） ， x xlg(2 x) 即 f（x）=-xlg（2+x） （x0）.f(x)= xlg(2 x) 即 f(x)=-xlg(2+|x|) (xR R). (x 0), (x 0). 11.已知函数 f(x)=x +|x-a|+1,aR R. (1)试判断 f(x)的奇偶性； （2）若- 11 a，求 f(x)的最小值. 22 2 2 解解 (1)当 a=0 时，函数 f(-x)=(-x) +|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数.当 a0 时，f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1, f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当 xa 时,f(x)=x -x+a+1=(x- a 2 22 1 2 3 ) +a+, 24 2 1 ,故函数 f(x)在（-，a上单调递减， 2 从而函数 f(x)在（-，a上的最小值为 f(a)=a +1. 当