福建省福州三中高三高考考前模拟数学理试题含

1、20132014 学年福州三中高三数学（理科）考前模拟试卷2014.05.24 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 答卷前，考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密 封线外。 请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置， 并认真检查以防止漏答、 错 答。 考试中不得使用计算器。 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 2i(1i) 1.计算的值等于（） A.-4B.2C.-2iD.4i 2B x | x x 0 ，则

2、A B 等于（） A x | 1 x 1 2.已知集合， A. x | 0 x 1 Bx | 0 x 1Cx | 0 x 1D.x | 0 x 1 2 2a、b、c R,若a b,则ac p 3.原命题： “设 bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题共有（）个. A.0B.1C.2D.4 1 P(, y0) 4.已知角的终边与单位圆 x y 1 交于 2 ,则cos2等于（） 22 311 A 2 B 2 C 2 D1 5.函数 y 3 1 1 y 6 x 2 O 6 1 x O 2 31 y 1 O 62 1 3 x 2 1 6O 1 y 3 x y sin2x ， 3 在区间

3、 2 的简图是（） 6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） f (x) A xcosx f (x) ( x ) x B x22 2x1 f (x) x 22f (x) x ln(x 1) 2 1 CD 7设 x 为非零实数，则 p : A充分不必要条件 x 1 2 x 1 x 是 q :成立的 () B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 x2 y21 22x y 1 ， 且曲线C1的焦点分别为 F 1、F2， 点 M 是 C 1 CC 3 128.已知曲线:和: 和 C 2的一个交点，则 MF 1F2的形状是（） A锐角三角形 D都有可能 B直角三角

4、形C钝角三角形 xxf (x) e ae aR 9.设， 函数的导函数 f (x) 是奇函数， 若曲线 y f (x) 的一条切线 3 的斜率是2，则切点的横坐标为() ln2ln2 A 2 Bln2C. 2 Dln2 10. 设 m 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 ， 则 在 直 角 坐 标 平 面 xOy 上 满 足 x24y2100 的点 P(x, y) 所形成的图形的面积为（） A.10B. 12C. 10D. 12 第二卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置 567 4(1 x) (1

5、x) (1 x) 11在的展开式中，含 x 的项的系数是_ 12.若等差数列 an的前 n 项和为 S n，且S3 15,a 1 2 ，则a4 _. 正视图 侧视图 、B、C 所对的边分别为 a、b、c 若13. 已知 ABC 的三个内角 A ABC 的面积 S b2c2a2 ，则 tan A 的值是。 14.若一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为 2 的等边三角形，则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_ 15.已知集合 在 俯视图 M (x, y) y f (x) ,使得 ，若对于任意实数对 (x 1, y1)M,存 第 14 题 (x 2 , y 2 )Mx 1x2 y 1

6、y 2 0 成立，则称集合M为“正交点集”，给出下列集合： 1 M (x, y) y M (x, y) y x21M (x, y) y cosx x ； 1 M (x, y) y x x ； M (x, y) x y 1 . 则满足条件的“正交集合”有：_（写出所有满足条件的集合的序 号） 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 13 分） f (x) Asin(x) B(A 0, 0,| 某同学用“五点法”画函数 内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： ) 2 在某一个周期 （）请求出上表中的 x 1,x2 ,x 3，并直接写出

7、函数 f (x) 的解析式； 2 （）将 f (x) 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到函数 g(x) ，若函数 g(x) 在 x0,m （其中 m(2,4) ）上的值域为 3, 3 ，且此时其图象的最高点和最低点分别为 P,Q ， r uuu r uuu 求OP与 OQ 夹角的大小。 17 （本小题满分 13 分） 我国政府对 PM25 采用如下标准： PM2.5 日均值 m（微克/立方米） 空气质量等级 m 35 35 m 75 一级 二级 超标 m 75 PM2.5 日均值 （微克/立方米） 282 3821 445 638 77 某市环保局从 180 天的市区 PM25 监测数据

8、中，随机抽取 l0 天的数据作为样本，监测值 如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶) (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列； (III) 以这 10 天的 PM25 日均值来估计这 180 天的空气质量情况，其中大约有多少天的空 气质量达到一级 18.（本小题满分 13 分） 如 图 ， 平 面 ABEF 平 面 ABC ， 四 边 形 ABEF 为 矩 形 ， F FE E AC BC O 为 AB 的中点，OF EC （）求证：OE FC； A A B B O O C C 第 18 题图 AC3 2 时，

9、求二面角F CE B的余弦值（）若 AB 19 （本小题满分 13 分） x2y2 E : 2 2 1 2 F ,F ar a 设椭圆的焦点在 x 轴上,12分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆 在第一象限内的点，直线 （）当r 1时， F 2 P 交 y 轴与点 Q ， 3 (i)若椭圆E的离心率为 2 ，求椭圆E的方程； F PFQ (ii)当点 P 在直线 x y 1上时，求直线 1与1的夹角; (II) 当 r r 0时，若总有 F 1P F1Q，猜想:当 a 变化时，点P是否在某定直线上，若是写出 该直线方程（不必求解过程）. 20.（本小题满分 14 分） 2 C n : x2 y2

10、 R n (R n 0)ynN , 设圆与轴正半轴的交点为M， 与曲线 y x 的交点 为 N(x n , y n ) x n表示 ，直线 MN 与 x 轴的交点为 和 A(a n ,0) . (I)用 R n a n (II)若数列xn满足 (x n 1)2 (x n1 1)(x n1 1)(n 2),x 1 3,x 2 15 a pa n(i)求常数 p 的值，使得数列n1成等比数列； (ii)比较 a n与2 3的大小. n 21本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题做答，满分 14 分。 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡

11、上把所选题目对应的题 号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换 1 a b 0a,bR 的 变 换 把 直 线 l : x y 1 0 变 换 为 另 一 直 线设， 若 矩 阵 A l: x2y1 0 （1）求 a,b 的值； （2）求矩阵 A 的特征值 （2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 x x cos， y y sin （为参数）已知曲线 C1：，曲线 C2： 2 t 2， 2 2 t 2 （t 为参数） （1）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明C1 与 C2 公共点的个数； （2）若把 C1，C2 上各点的纵

12、坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C 1 ，C 2写出 C 1 ，C 2的参数方程 C 1与 C 2公共点的个数和 C1 与C 2公共点的个数是否相同？说明你 的理由 （3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 对于 xR，不等式|x1|+|x2| a 2+b2 恒成立，试求 2 a +b的最大值。 20132014 学年福州三中高三数学（理科）考前模拟试卷2014.05.24 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 答卷前，考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密 封线外。 请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷

13、上的指定位置， 并认真检查以防止漏答、 错 答。 考试中不得使用计算器。 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 2i(1i) 1.计算的值等于（） A.-4B.2C.-2iD.4i 【解析】B 2B x | x x 0 ，则 A B 等于（） A x | 1 x 1 2.已知集合， A. x | 0 x 1 Bx | 0 x 1Cx | 0 x 1D.x | 0 x 1 【解析】A由 B 得0 x 1，因此选 A 2 2a、b、c R,若a b,则ac p 3.原命题： “设 bc ”以及它

14、的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题共有（）个. A.0B.1C.2D.4 【解析】C.考虑 C=0 的情形，只有逆命题和逆否命题正确，选C 22 P( 1 , y 4.已知角的终边与单位圆 x y 1 交于 2 0) ,则cos2等于（） 11 2 3 AB 2 C 2 D1 1 【解析】 2 5.函数 y 1 y 1 3 x O 2 2 O 31 6 x 1 6 yy 1 1 O x 6 2 6 1 3 O 2 x 1 3 y sin 2x 3 ， 在区间 2 的简图是（） f () sin 3 【解析】A 2 3 2 , 排除、， f () sin2 0, 663 排除.也可由五点法作

15、图验证.应选 A 6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 f (x) A xcosx f (x) ( x ) x B x22 2x1 f (x) x 22f (x) x ln(x 1) 2 1 CD f (x) 【解析】 C.根据程序框图知输出的函数为奇函数， 并且此函数存在零点 经验证： x x 2x1cosx f (x) x f (x) 22f (x) x ln(x 1) 2 1 的 x 不存在零点；不存在零点；为偶函数， 且 2x1 f (x) xf (x) f (x)2 1 ，定义域为全体实数， 且， 故此函数为奇函数， 且令得 x 0 ， 函数 f (x) 存在

16、零点，答案 C 7设 x 为非零实数，则 p : A充分不必要条件 不必要条件 x 1 2 x 1 x 是 q :成立的 () B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也 【解析】B若 p 成立， q 不一定成立，如取 x 0.5 ，反之成立，故 p 是 q 的必要不充分 条件，故选 B x2 y21 22x y 1 ， 且曲线C1的焦点分别为 F 1、F2， 点 M 是 C 1 CC 3 128.已知曲线:和: 和 C 2的一个交点，则 MF 1F2的形状是（） A锐角三角形 D都有可能 【解析】B. B直角三角形C钝角三角形 xxf (x) e ae aR R 9.设， 函数的导函数 f

17、(x) 是奇函数， 若曲线 y f (x) 的一条切线 3 的斜率是2，则切点的横坐标为() ln2ln2 A 2 Bln2C. 2 Dln2 (x) exaex f 【解析】D 由于，故若 f (x) 为奇函数，则必有 f (0) 1a 0 ，解得 a 1 ，故 f (x) exex .设曲线上切点的横坐标为 x 0，则据题意得 f (x 0 ) ex0ex0 x 0 ln2 3 2 ，解得ex0 2 ，故切点横坐标 .故选 D 10. 设 m 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 ， 则 在 直 角 坐 标 平 面 xOy 上 满 足 x24y2100 的点 P(x, y)

18、所形成的图形的面积为（） A.10B. 12C. 10 D. 12 【解析】B 第二卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置 567 4(1 x) (1 x) (1 x) 11在的展开式中，含 x 的项的系数是_ 444 4 【解析】55 x 的项的系数是C5 C 6 C 7 55 ，因此填 55 12.若等差数列 【解析】11 a n的前 n 项和为 S n，且 S 3 15,a 1 2 ，则 a 4 _. 、B、C 所对的边分别为a、b、c13. 已知ABC的三个内角 A 若 ABC 的面积 S b2c2a2 ，

19、正视图 侧视图 则 tan A 的值是。 b2c2a21 222sin A 4S bcsin A b c a 2bc2 【解析】得得 tan A 4 。 俯视图 14.若一个四棱锥的三视图如图所示， 其中正视图与侧视图都是边长为2 的等边三角 形，则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_ 【解析】由三视图可知该四棱锥的四个侧面是底边长为2，高为2 的全等的等腰三角形，所 以每条侧棱长都等于 5 ，所以四条侧棱长之和为4 5， 15.已知集合 得 第 14 题 M (x, y) y f (x)，若对于任意实数对(x 1, y1)M,存在 (x 2 , y 2 )M ,使 x 1x2 y 1 y 2 0

20、成立，则称集合M为“正交点集”，给出下列集合： 1 M (x, y) y M (x, y) y x21M (x, y) y cosx x ； 1 M (x, y) y x x ； M (x, y) x y 1 . 则满足条件的“正交集合”有：_（写出所有满足条件的集合的序 号） 【解析】 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 13 分） f (x) Asin(x) B(A 0, 0,| 某同学用“五点法”画函数 内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： ) 2 在某一个周期 （）请求出上表中的 x 1,x2 ,x 3，并直接写出函

21、数 f (x) 的解析式； 2 （）将 f (x) 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到函数 g(x) ，若函数 g(x) 在 x0,m （其中 m(2,4) ）上的值域为 3, 3 ，且此时其图象的最高点和最低点分别为 P,Q ， r uuu r uuu 求OP与 OQ 夹角的大小。 【解析】 17 （本小题满分 13 分） 我国政府对 PM25 采用如下标准： PM2.5 日均值 m（微克/立方米） 空气质量等级 m 35 35 m 75 一级 二级 超标 m 75 PM2.5 日均值 （微克/立方米） 282 3821 445 638 77 某市环保局从 180 天的市区 PM25

22、监测数据中，随机抽取 l0 天的数据作为样本，监测值 如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶) (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列； (III) 以这 10 天的 PM25 日均值来估计这 180 天的空气质量情况，其中大约有多少天的空 气质量达到一级 解:(I)10 天的中位数为（38+44）/2=41（微克/立方米）-2 分 (II)由 N 10,M 4,n 3 ,的可能值为 0，1，2，3 k3kC 4 C 6P( k) 3C 10利用 (k 0,1,2,3) 即得分布列： p 0123 1 6 1 2

23、 3 10 1 30 -10 分 2 2 B180, 5 , 得 到(III) 一 年 中 每 天 空 气 质 量 达 到 一 级 的 概 率 为 5 ， 由 E 180 2 72 5 (天) ， 一年中空气质量达到一级的天数为72 天.-13 分 18.（本小题满分 13 分） 如图，平面 ABEF 平面ABC ，四边形 ABEF 为矩形， AC BC O 为 AB 的中点， OF EC F FE E A A O O B B C C 第 18 题图 （）求证：OE FC； AC3 2 时，求二面角F CE B的余弦值（）若 AB 在的直线分别为 x, y,z 轴，建立空间直角坐标系， uuu

24、 ruuu r 则 F(0,1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C( 2,0,0), 从而 CE ( 2,1,1),EF (0,2,0), 设平面 r n (x, y,z) 的法向量 FCE uuu r r CEgn 0 r r uuu r EFgn 0 ，得 n (1,0, 2) ，由 r u r ngm1 cos r u r n m 3 -9 分 u rr u r m (1, 2,0) ，设 n,m 的夹角为，则同理可求得平面CEB的法向量 F CE B ， 为钝二面角，则余弦值为由于二面角 1 3 -13 分 19 （本小题满分 13 分） x2y2 E : 2 2 1 2 F

25、 ,F ar a 设椭圆的焦点在 x 轴上,12分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆 在第一象限内的点，直线 （）当r 1时， F 2 P 交 y 轴与点 Q ， 3 (i)若椭圆E的离心率为 2 ，求椭圆E的方程； F PFQ (ii)当点 P 在直线 x y 1上时，求直线 1与1的夹角; (II) 当 r r 0时，若总有 F 1P F1Q，猜想:当 a 变化时，点P是否在某定直线上，若是写出 该直线方程（不必求解过程）. 【解析】 2 22 （）(i) b 1a ，c 2a 1 ， 2a21 c34 a2 ，解得a2 5 .故椭圆 E 的方程为 5x2y2 =1 44 . -4 分 (i

26、i)设 P(x 0 , y 0 ) ， F 1(c,0) F 2 (c,0) 2x c ， ，其中c 2a 1 .由题设知0， x 0 a2, y 0 1a2P(x 0 , y 0 )y 1 x 将直线代入椭圆 E 的方程， 由于点在第一象限， 解得 -6 分 y 0 y 0 k x c ，直线 F2P 的斜率 k F2P x 0 c ，则直线 F1P 的斜率 F 1P 0 y 0 cy 0(xc) c x 0， x c 故直线 F2P 的方程为 y0当 x0 时，y (0, 即点 Q 坐标为 cy 0 y 0) c x 0.因此，直线 F1Q 的斜率为 k F 1Q c x 0. y 0 y

27、 0 kk x c c x 01.所以 F 1P F 1Q 0 所以 F1PF1Q，-10 分 （3）点 P 过定直线，方程为 20.（本小题满分 14 分） 2 C n : x2 y2 R n (R n 0)ynN , 设圆与轴正半轴的交点为M， 与曲线 y x 的交点 x y r 0-13 分 为 N(x n , y n ) x n表示 ，直线 MN 与 x 轴的交点为 和 A(a n ,0) . (I)用 R n a n (II)若数列xn满足 (x n 1)2 (x n1 1)(x n1 1)(n 2),x 1 3,x 2 15 a pa n(i)求常数 p 的值，使得数列n1成等比数

28、列； (ii)比较 a n与2 3的大小. 2 2222 x 与圆 C n交于点 N ，则Rn x n y n x n x n，即 R n x n x n.由题可知， n 解：(I) y xy 1 (0,R )N(x n , y n )aR n，n点 M 的坐标为从而直线 MN 的方程为n， 由点在直线 MN 上 x n y n1 2R x y x n aR n x n n得n，将 n，n代入， 得 x n x n1 2 a n x n x n, a n x n x n 1 x n 11 1 x n 1 x n 即 知， a n 1 x n 1 x n-4 分 (II)由 公 (x n 1)2

29、 (x n1 1)(x n1 1) 为4，故 x n 1 为等比数列，由 ，所 1 x 1 41 x 2 16 ，知， 比 1 x n 44n1 4n 以 a n 4n4n 4n2n -5 分 (i) a n1 pa n . (4 p)4n(2 p)2n, a n2 pa n1 . (164p)4n(4 2p)2n, 令 a n2 pa n1 q(a n1 pa n ) 得 (164p)4n(42p)2n q(4 p)4n(2 p)2n nn(164p)2 (42p) q(4 p)2 q(2 p) 由等式 对于任意nN成立，得 164p q(4 p) p 2 p 4 42p q(2 p)q 4

30、q 2 -8 分 解得或 a pa n故当 p 2 时，数列n1成公比为 4 的等比数列； a pa n当 p 4 时，数列n1成公比为 2 的等比数列.-9 分 (ii)由(i)知 a n 4n 2na 1 6 321a n 4n 2n 23n. n 1n 2 ，当时，；当时，事 nnn1n1f (x) (x1) x (x 0)f (x) n(x1) x 0 故实上，令，则 f (x) (x1)n xn(x 0) 是增函数，所以 f (3) f (2) ，即4n 3n 3n2n 即 a n 4n 2n 23n .-14 分 21本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题做答，满分 14 分。 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换 1 a b 0a,bR 的 变 换 把 直 线 l : x y 1 0 变 换 为 另 一 直 线设， 若 矩 阵 A l: x2y1 0 （1）求 a,b 的值； （2）求矩阵 A 的特征值 【解】 （1）设直线l : x y 1 0上的任一点 P(x, y) 在变换作用下变成了 P (x , y ) ，则有 x 1 a