3-1 矩阵的初等变换.ppt

1、第一节 矩阵的初等变换,矩阵的初等变换和线性方程组,一、高斯消元法解线性方程组,二、矩阵的初等变换,三、矩阵的等价关系,四、小结 思考题,返回,上页,下页,一、高斯消元法解线性方程组,引例,求解线性方程组,高斯消元法 适用于求解任一线性方程组 .,其基本思想是：通过消元变形，把方程组化为容易求解的同解方程组.,返回,上页,下页,返回,上页,下页,(阶梯形方程组),返回,上页,下页,从上述过程可以看出：高斯消元法的具体做法是对线性方程组反复施行如下三种变换：, 对换两个方程的位置，简称对换变换；, 用非零常数乘某一个方程，简称倍乘变换；, 把某个方程乘以常数在加到另一个方程上，简,以上三种变换统

2、称为方程组的初等变换.,即,称倍加变换.,返回,上页,下页,在本例中，阶梯形方程组中有恒等式 0=0，,这是因为：在原方程组中，,第方程乘2+第方程乘(1) 第方程,因此，满足方程的解必然满足方程，方程,是多余的(称为多余方程).,四个未知量满足三个有效方程，必有一自由未知量.,返回,上页,下页,用“回代法”求阶梯形方程组的解，得,(其中 x2 可任意取值),基本未知量,若令自由未知量 x2=c，,(其中 c 为任意常数),方程组的通解(一般解)可记作,返回,上页,下页,为了处理上的简便，线性方程组可以用系数和常数项构成的矩阵来表示.,即,该矩阵称为线性方程组的增广矩阵.,二、矩阵的初等变换,

3、返回,上页,下页,高斯消元法可以通过对增广矩阵进行相应的三类行的变换来实现.,方程组的增广矩阵为：,仍以引例 中的方程组为例.,此步骤表示：将方程和交换位置；将方程乘(1/2).,注 变换前后的矩阵用“” 或 “”相连，而不是等号.,返回,上页,下页,此步骤表示：利用方程，将中的 x1 消去.,此步骤表示：利用方程，将中的 x3 消去.,返回,上页,下页,此步骤表示：交换方程和.,以上形式的矩阵称为行阶梯型矩阵，,其特点是：,可画出一条阶梯线，线的下方元素都是零；,竖线后面第一个元素是该非零行的第一个非零元.,每个台阶只有一行；,台阶数=非零行的数目，,返回,上页,下页,在行阶梯形矩阵中，第

4、4 行为全零行，对应着恒等式0=0，这是因为原方程组有多余方程.,(行阶梯形矩阵),(阶梯形方程组),返回,上页,下页,为省去回代求解的步骤，对行阶梯型矩阵继续作行的变换：,(称为行最简形矩阵),行最简形矩阵是特殊的行阶梯型矩阵，其特点是：,各个非零行的第一个非零元皆为 1；,这些非零元所在列的其它元素皆为零.,(行阶梯形矩阵),返回,上页,下页,(行最简形矩阵),通常，将行阶梯形(或行最简形)矩阵中各非零行第一个非零元所在列对应的未知量作为基本未知量 (这里是 x1, x3, x4)，,其它未知量作为自由未知量(这里是 x2),说明 若存在自由未知量，其选择方式不是唯一的.,返回,上页,下页

5、,综上所述，高斯消元法解线性方程组，其消元步骤就是对增广矩阵作三类行变换：,将以上定义中的“行”换成“列”，即得矩阵初等列变换的定义:, ，称为对换变换；, ，称为倍乘变换；, ，称为倍加变换.,定义 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换.,返回,上页,下页,矩阵的初等变换是可逆的，且逆变换仍为同类型的初等变换.,对于初等行变换:,初等列变换也有类似结论.,返回,上页,下页,增广矩阵,行阶梯型矩阵,线性方程组,同解的阶梯型方程组,对应,利用增广矩阵实现消元法的步骤总结如下：,(或行最简形矩阵),返回,上页,下页,例 1 求解非齐次线性方程组,解,将方程组的增广矩阵化为行阶梯型矩阵：,返回,

6、上页,下页,(行阶梯型矩阵),返回,上页,下页,将行阶梯型矩阵进一步化为行最简形矩阵：,(行最简形矩阵),(行阶梯型矩阵),返回,上页,下页,对应着,(行最简形矩阵),即,令自由未知量 x3=c，,(c为任意常数),方程组的一般解可记作,返回,上页,下页,例 2 求解非齐次线性方程组,解,作初等行变换，化为行阶梯形,返回,上页,下页,故原方程组无解.,说明 在本例中，方程的左端等于方程左端之和，而右端不等于方程右端之和，表明方程和方程是矛盾的，故而无解.,含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组；,有解的方程组称为相容方程组.,返回,上页,下页,对非齐次线性方程组，,齐次线性方程组总是有解的

7、，,例 3 求解齐次线性方程组,在消元过程中，通过将增广,矩阵化为行阶梯形(或行最简形)矩阵，能清楚地揭示,出方程组中的多余方程和矛盾方程.,由于常数项全为零，,只需对系数矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形(或,行最简形)矩阵，,再求方程组的解.,返回,上页,下页,解,方程组的系数矩阵为,对应的方程组是,取 x1, x3, x4 为基本未知量,令自由未知量 x2=c1，x5=c2，,得,返回,上页,下页,一般解为,(c1, c2为任意常数),评析 此例中齐次线性方程组有无穷多解(即有非零解).,如果：未知量的个数 有效方程的个数,则，一定有自由未知量，从而有无穷多解.,(行阶梯形矩阵非零行的行数

8、),返回,上页,下页,三、矩阵的等价关系,返回,上页,下页,矩阵的等价关系具有如下性质：,返回,上页,下页,任何矩阵 Amn，总可以通过有限次初等行变换，变成行阶梯形(或行最简形)矩阵.,行阶梯形矩阵的形式不是唯一的；,但非零行的数目是唯一的.,行最简形矩阵的形式是唯一的.,以上结论，研究了矩阵的秩和向量的线性相关性的理论，才能给以严格的论证.,返回,上页,下页,对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵.,左上角为一个三阶单位矩阵，其余元素全为零.,返回,上页,下页,任何矩阵 Amn， 总可以通过初等变换，化为,矩阵 F 称为 A 的标准形.,所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的

9、一个集合，称为一,标准形 F 是这个等价类中最简单的矩阵.,其中 r 就是行阶梯矩阵中非零行的行数.,标准形 F 由 m、n、r 三个数唯一确定，,个等价类.,返回,上页,下页,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同.,四、小结,1. 矩阵的初等行(列)变换,性质：反身性；对称性；传递性.,返回,上页,下页,3. 高斯消元法解线性方程组,增广矩阵,行阶梯型矩阵(可判断是否有解),非齐次线性方程组,同解方程组,齐次线性方程组：,行最简形矩阵,总是有解，,初等行变换，化为行阶梯形或行最简形矩阵.,且只需对系数矩阵作,返回,上页,下页,思考题,(1) 解线性方程组Ax=b时，对增广矩阵施行的初等变 换 ( ),(A) 允许进行任一种初等列变换,(B) 允许进行任一种初等行变换,(C) 允许进行任一种初等变换,(2) 写出四阶矩阵的所有可能的标准形.,思考题答案,(1) 解线性方程组Ax=b时，对增广矩阵施行的初等变 换 ( ),(A) 允许进行任一种初等列变换,(B) 允许进行任一种初等行变换,(C)