科学计算与数学建模第5章 小行星轨道方程计算问题-线性方程组求解的直接法-5.1 小行星轨道计算问题与线性方程组直接解法概述-2017-01.pptx

1、,5.1 小行星轨道计算问题与 线性方程组直接解法概述,5.1.1 小行星轨道方程问题,天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，在轨道 平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量 单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上 的5个点的坐标数据如表所示。 轨道上的5个点的坐标数据,试确立小行星的轨道方程，并画出小行星的运动轨线图形。,由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的,一般方程为：，则只需要确定,，即可解决小行星轨道方程计算问题。,22,12345,a x2a xy a y2a x 2a y 10,系数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5,1 12

2、11314151,122223242522,2,14244,344454,255354555,a x2 2a x y a y2 2a x 2a y 10,a x2 2a x ya y2 2a x2a y10,a x2 2a x ya y2 2a x2a y10,a x2a x ya y2a x2a y10,a x2 2a x ya y2 2a x2a y10,15,将已知数据xi , yi , i 1, 2,3, 4,5 代入椭圆方程即得方程组：,11 1,11,1,2,22 2,2,2,2,4 4,4,4,5 555,x2x y,y2,2x y,y2,x2,2x y

3、,y2,2x2y,2x y,y2,x2y2,2x y2x2y ,2x2y ,2x2y ,Ax2, 33 333,4,4,x2,2x2y , 55,1,2,5,a,a ,a ,X a ,4 ,a ,1,1, b1,1, 1,3， ,3，,AX b,写成矩阵的形式即为 其中,从而求系数 a1,a2,a3,a4,a5 的问题，即决定该小行星轨道方 程问题便转化为解线性方程组的问题。,将5次观察数据代入即得,2.4040a2 ,1,54.878549.781811.289614.81606.7200a5 ,在科学与工程实际中，许多问题都可归结为解一般线性 方程组 AX b 的问题。可以说，求解线性方程

4、组的问题是科 学工程计算的核心问题。,5.1.1 线性方程组直接解法概述,直接法：利用一系列递推公式计算有限步，能直接得到方程 组的精确解。 事实上，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差 的积累有时甚至会严重影响解的精度 求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众 所周知的古老方法，消去法的基本思想是，通过将一个方程 乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐 步减少方程中变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元， 从而得出所求的解。,Gauss(高斯)消去法是广泛应用的方法，其求解过程分为 消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工 成上三角方程组。对三

5、角方程组再通过回代过程得出它的解。,a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,a21x1 a22 x2 a2n xn b2,an1x1 an2 x2 ann xn bn,(1)(1),1,(1) 11,1,(1) 12 (2),22,1n,(n),(n),a,a,b,a,x,a,b,x,(2) ,(2) ,a2n x2 b2, ,n ,nn ,n,a ,消元过程,回 代 过 程,x1 ,x ,n ,x2 ,解上三角方程组,Gauss消去法就是加减消元法，由于添加了回代的过程， 算法结构稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。,直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，即 使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而 有存储量大，程序复杂等不足。,？,Gauss消去法与方程组系数矩阵变化有什么关系？,5.1 小行星轨道计算问题与 线性方程组直接解法概述,弹幕问题： 1. 直接法就是根据