高等代数矩阵.ppt

1、第五章 矩阵,5.1 矩阵的运算,5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,5.3 矩阵的分块,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。 华罗庚,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.1 矩阵的运算,一、内容分布,5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置,二、教学目的,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。 掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。,三、重点、难点,矩

2、阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.1.1 认识矩阵,矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩阵., 矩阵的应用非常广泛.,设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.1.2 矩阵的运算,定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,A和B加法定义为:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,A和B的乘法定义为,注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果的形状

3、?,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.1.3 矩阵的运算性质,矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6) 数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.1.4 方阵的多项式,方阵A的方幂:,规定:,设多项式,那么,在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.,宁波工程学

4、院理学院高等代数课程组制作,5.1.5 矩阵的转置,设,转置有下面的性质:,(9),(10),(11),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式,一、内容分布 521 可逆矩阵的定义 522 可逆矩阵的性质 523 初等矩阵的定义、性质 524 矩阵可逆的判别 525 逆矩阵的求法 526 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2.1 可逆

5、矩阵的定义,定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.,例：,A与B互为逆矩阵.,注1 有零行或零列的矩阵不可逆.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2.2 可逆矩阵的性质, A可逆，则A的逆矩阵唯一。,证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C,证 注意到 即得.,证 注意到 即得., A可逆，则, A，B可逆，则AB也可逆，且 .,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2.3 初等矩阵的定义、性质,定义2 由

6、单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,n = 4,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如,1、交换A的i ，j 行相当于用 .,如,2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且,引理1 ，则 . （初等变换不改变可逆性）.,定理3 任一mn矩阵A总可以通过初等变换化为,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,证 由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为,对（*）作第三种列变换即可化为,宁波工程学院

7、理学院高等代数课程组制作,5.2.4 矩阵可逆的判别,n 阶矩阵A可逆,则 可逆， 无零行，即 . 反之，若AI，由I可逆知A可逆.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作, AI，即IA 即存在初等矩阵 使,注 A可逆,则A可经初等行变换化为I., 由 AI，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2.5 逆矩阵的求法, 行初等变换法,A可逆，由 ，即存在初等矩阵 ，使,即,例1,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作, 公式法,设,则由行列式的依行依列展开公式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,，有,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,即,若A可逆，则|A|0，从而,即,宁波工程学院

8、理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3：求矩阵 的逆矩阵.,解法一 利用公式,因为,计算每个元素 的代数余子式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,解法二 行初等变换法.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例4 解矩阵方程 其中,解 显然A是可逆的.先求出,再在原方程两边左乘 得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,5.2.6 矩阵乘积的行列式,引理5

9、.2.6：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作, 若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且,定理：设A，B为n 阶矩阵，则 |AB| = |A| |B|,证, 若A为对角矩阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,从而,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推广,相当于对 作第三种行初等变换. 故,定理 A，B为mn及np阶矩阵，则秩（AB）秩A，秩（AB）秩B. 特别当A可逆时，秩（AB）= 秩B.,宁波工程学院理学院高等代

10、数课程组制作,推论：,例5 A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵P，Q，使 PAQ = I,证：A可逆，则,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,一、内容分布 5.3.1 分块矩阵的概念 5.3.2 分块矩阵的运算 5.3.3 特殊的分块矩阵 二、教学目的 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算 2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式 三、重点、难点 利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题,5.3 分块矩阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,在行列式 中任意取定了 行.由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 .,复习:拉普拉斯

11、(Laplace)定理,一、分块矩阵的概念,定义,将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,1. 线性运算,（加法与数乘）,二. 分块矩阵的运算,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,2. 乘法运算,符合乘法的要求,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例1 设,为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里I 是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵.,按照分块矩阵的乘法，我们有,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3. 转置运算,宁波工程学院理学

12、院高等代数课程组制作,1. 准对角阵,则,三. 特殊的分块阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,求A的行列式及逆。,解 将矩阵分块,例2,2. 分块三角阵,证明:,解：将矩阵分块,例3,解：将矩阵分块,例3,3. 分块次对角阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,小结: 一.分块矩阵的概念 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。 注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且 子块也是矩阵。 作用：简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,二.分块矩阵的运算: 1. 线性运算 2. 乘法运

13、算 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求 相应的子块间也应符合运算的要求 3. 转置运算. 注意：大块小块一起转,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,三. 特殊的分块矩阵 准对角, 分块三角阵 分块次对角 一些重要公式,课外作业: P215. 习题1, 习题2,习题4.,第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 -皮尔斯(S.Peirce,18381914

14、) 不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) -柏拉图(Plato，约公元前427年前347年) 不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 -匿名者,向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：,向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.,6.1向量空间的定义和

15、例子,引例定义产生的背景. 向量空间的定义抽象出的数学本质. 进一步的例子加深对定义的理解. 一些简单性质.,1. 引例定义产生的背景,A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) OA=A A+(-A)=O,a(A+B)= aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1AA,例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式， 类似的问题许多，有必要总结它们的共性：,涉

16、及两个集合（其中一个集合）. 涉及两种运算（什么样的运算？）. 满足8条运算性质.,2. 向量空间的定义抽象出的数学本质,定义1设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：,闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V.,加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o

17、, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.,乘法的性质：,(m1),(m2),(m3),(m4) 1u= u 对所有u属于V.,3. 进一步的例子加深定义的理解,例4 数域F上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.,证明：根据多项式加法和数乘的定义，,(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) ,(a3) 0向量就是零多项式.,(a4) f(x)的负向量为（- f(x)）.,例5 Ca,b表示区间a,b上连续实函数按照通常的加

18、法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明：比照例3，给出完整步骤.,例6 （1）数域F是F上的向量空间.（2）R是Q上的向量空间，R是否为C上的向量空间？,例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：,证明：,注3：运算可以是通常的，可以重新定义的.如何理解运算？ 注4：取数乘为通常的乘法如何？，向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.,证明：留作课外练习.,4.简单性质,（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.,（5）,6.2 子空间,一、内容分布,6.2.

19、1 子空间的概念,6.2.2子空间的交与和.,二、教学目的,1理解并掌握子空间的概念.,2掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间.,3掌握子空间的交与和的概念.,三、重点、难点,子空间的判别，子空间的交与和,6.2.1 子空间的概念,设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.对于W 中任意两个向量，它们的和+是V中一个向量. 一般说来，+不一定在W 内.如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量和数域F中任意数a，a仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的.,定理6.2.1,设W是数域F上向量空间V的一个非空子集

20、.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.,定义1,令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间.,由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。,例1,向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合0显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。,一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。,例2,是不是 的子空间？ 是不是 的子空间？,解 U中的矩阵是

21、上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是 的 一个子空间。,不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 I W，但,在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。,例3,例4,中一切形如,的向量作成 的一个子空间。,例5,F x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F x的一个子空间。,例6,闭区间a,b

22、上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。,例7,设,(1) 把满足AX = 0的解X表示为 ，,显然 。并记AX = 0的解集为,证明 是向量空间 的一个子空间。,(2) 记AX = 的解集为 是否也是 的一个字空间？这里,证明 （1）首先，,，且A0 = 0，所以， 。,其次，如果 那么 所以 ，对于任何 。故 对于 的两种运算封闭， 是向量空间 的一个子空间。,定理6.2.2,向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要且只要对于任意a,bF和任意,W，都有a+bW,（2）可以知道，在0 的时候， 不一定是 的子空间。因为对任何 ，都有A (X + Y) = AX +AY =+，故

23、对 的加法不封闭。,6.2.2子空间的交与和,设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1W2也是V的一个子空间.,一般，设 Wi 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.,作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来不是子空间，现在考虑V的子集。,由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此W1+W2。设a, bF, ,W1+W2, 那么, 因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是,这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与W2 的和.,图6-2-1,图6-2-2,图6-2-3,

24、例8 在 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便，也说W就是过原点的直线 l ，直线 l 是 的子空间（图6-2-1）。这样， 中过原点的直线都是 的子空间。同理， 中以过原点的平面上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是 的子空间（图6-2-2）。,两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子空间的情形.设W1,W2,，Wn是V 的子空间.容易证明,一切形如 的向量作为V 的一个子空间,这个子空间称为子空间W1,W2,，Wn的和,并且用符号W1+W2+Wn来表示.,不过原点的直线不能作成 的子空间，如图6-2-3所示， 为不过原点的直线，

25、以 上两点A，B为终点的向量，的和+按平行四边形法则 ，其终点C不在 上，因此 不能作成 的子空间。同样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。,6.3向量的线性相关,一、内容分布,6.3.1 线性组合与线性表示,6.3.2 线性相关与线性无关,6.3.3 向量组等价,6.3.4 向量组的极大线性无关组,二、教学目的,1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别,2理解向量组的等价及极大无关组的概念,3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法,三、重点、难点,线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明,6.3.1 线性组合与线性表示,定义1,设 是向量空间V的r个向量， 是数

26、域F中任意r个数. 我们把和,叫做向量 的一个向量组合.,如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合，我们也说可以由 线性表示.,零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为,6.3.2 线性相关与线性无关,定义2,设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得,（1）,那么就说 线性相关.,如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向量 线性无关.,例1,令F是任意一个数域。 中向量,1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）线性相关。,例2,判断 的向量,1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,

27、-7,9）是否线性相关。,例3,在向量空间F x里，对于任意非负整数 n ,线性无关。,命题6.3.1,向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示.,命题6.3.2,如果向量可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么可以由 线性表示.,命题6.3.3,如果向量组 线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关.,命题6.3.4,设向量组 线性无关,而 线性相关.那么一定可以由 线性表示.,定理 6.3.5,向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.,6.3.3 向量组等价,等价的概念显然

28、具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价.,定理6.3.6 (替换定理）,设向量组 线性无关,并且每一 都 可以由向量组,线性表示,那么rs, 并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换后所得的向量 与 等价.,推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。,6.3.4 向量组的极大线性无关组,(1) 线性无关；,(2)每一 ，j = 1, n,都可以由 线性表示。,例5,看F3的向量组,在这里 线性无关，而 ,所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出， ， 也是向量组 的极大无关组。,推论6.3.8,等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别

29、，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。,6.4 基和维数,一、内容分布,6.4.1 子空间的生成元,6.4.2向量空间的基与维数,6.4.3 维数定理,6.4.4余子空间与子空间的直和,二、教学目的,1掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法,2理解基在向量空间理论中所起的作用,三、重点、难点,基和维数的概念及求法、维数定理,6.4.1 子空间的生成元,设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合.其次,设,那么对于任意,仍是 的一个线性组合,因此, 的一切线性组合作成V的一个子间.,例1,看 如下的n个向量:,这里除

30、第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令,是 中任意一个向量。我们有,因此, , 而 是 的一组生成元.,例2,F X在里,由多项式 所生成的子空间是,就是F上一切次数n不超过的多项式连同零多项式所生成的子空间.,设 是向量组 的一个极大无关组.由命题6.3.2,子空间 的每一个向量都可以由 线性表示.另一方面， 的任意一个线性组合自然是 中的向量.,定理6.4.1,设 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组.那么,根据这个定理,如果子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一个线性无关的生成元生成.,6.4.2 向量空间的基,定义1,设V是数域F上一个向量空间.V中

31、满足下列两个条件的向量组 叫做V的一个基:,（1） 线性无关；,（2）V的每一个向量都可以由 线性表示.,根据这个定义，向量空间V的一个基就是V的一个组线性无关的生成元。,例3,由例1可得， 中向量组 是 的一组生成元。显然这组向量是线性无关的，因此 是 的一个基。这个基叫做的标准基。,例4,在空间 里，任意两个不共的向量 都构成一个基；在 里，任意三个不共面的向量 都构成一个基。,定义,一个向量空间的基所含向量的个数叫做的维数,零空间的维数定义为,空间的维数记作dim,这样，空间的维数是；的维数；n的维数是n；上一切mn矩阵所成的向量空间是维数是mn,如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那

32、么它自然也不能由有限个线性无关的向量生成在这一情况，就说这个向量空间是无限维的,定理.,例5,x作为上向量空间，不是有限生成的，因而是无限维的.,设 是向量空间的一个基那么的每一个向量可以唯一地被表成基向量 的线性组合,定理.3,n维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关,定理.,设 是n维向量空间中一组线性无关的向量那么总可以添加 n r 个向量 ，使得 作为的一个基特别，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基,6.4.3 维数定理,定理.,设和都是数域上向量空间的有限维子空间那么也是有限维的，并且,dim（） dimdimdim（）,6.4.4 余子空间与子空间的直和,定理. 6

33、,设向量空间V是子空间W与W的直和 . 那么V中每一向量 可以唯一地表成, W W,定理 6.4.7,n 维向量空间V的任意一个子空间W都有余子空间 , 如果W是W的一个余子空间 , 那么,dimV = dimW + dimW.,6.5 坐 标,一、内容分布,6.5.1 坐标的概念及其意义,6.5.2 过渡矩阵,6.5.3坐标变换公式,二、教学目的,1.理解向量空间中坐标的概念及其意义.,2.掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质.,三、重点、难点,坐标变换公式，过渡矩阵,6.5.1 坐标的概念及其意义,定义1,设 ， 是V的一个基,则 称为 关于基 的坐标.,例1,的向量 关于标准基的坐标就

34、是,例2,例3,的向量 关于标准基 的坐标是 .,（i） 关于基 的坐标是；,注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关于不同基的坐标一般是不同的 .,6.5.2 过渡矩阵,定义2,设 ， 、 是V的两个基，若关于基 的坐标是 ，则矩阵,叫做基 到基 的过渡矩阵,1基 到基 的过渡矩阵是T，则基 到基 的过渡矩阵是,设 ， ，则,2基 到基 的过渡矩阵是，即,基 到基 的过渡矩阵是，即,例4,考虑中 以下两组向量：,证明： 和 都是的基求出由基 到基 的过渡矩阵。,证明：易知 ，这里 是 的标准基。所以 。因此，由基 到 的过渡矩阵是,6.5.3 坐标变换公式,定理6. 5. 2,设 关于基

35、的坐标是 ，即,关于基 的坐标是 ，即,(1),(2),基 到基 的过渡矩阵是T，即,(3),由（2）和（3）得,(4),比较（1）和（4）得,例5,取 的两个彼此正交的单位向量 ,它们作成 的一个基令分别是由旋转角所得的向量那么 也是 的一个基 到 的过渡矩阵是,这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式,例6,考虑 的向量,证明： 构成 的一个基，并且求出向量 (4,12,6)关于这个基的坐标,易知,，这里,所以 ，向量(4,12,6)关于这个基 的坐标是,证明：,6.6向量空间的同构,一、内容分布,6.6.1 同构映射,6.6.2 同构映射的性质,6.6.3向量空间的同构,二、教学目的,1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义.,2.掌握有限维向量空间同构的充要条件.,三、重点、难点,向量空间同构的概念，同构的判别.,6.6.1 同构映射,定义1,设 、 是两个向量空间。V 到W的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果,（i）f 是V到W的双射；,（ii） ；,（iii） .,6.6.2 同构映射的性质,1. 设f 是V 到W 的同构映射，则 是W 到V 的同构映射。,（i）,（ii）,（iii）,3. 设 、 是两个向量空间， 是V的基，f 是V到W的同构映射，则 是W的基.