第1章：离散时间信号与系统新.ppt

1、第一章 时域离散信号和时域离散系统,张云 ,内容提要,1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法 1.5 模拟信号的数字处理方法,1.2 时域离散信号,1.离散时间信号序列的定义 2.常用的典型序列 3.序列的运算,返回本章,时域离散信号：离散时间信号是时间为离散变量的信号，是时间上不连续的序列。 表示方法：,简化,n是整数，不 是整数时没有 定义，不能认 为是零。,离散时间信号在nT点上的值，也就是序列的第n个采样。,1. 时域离散信号序列的定义,:,1、用集合符号表示序列,序列的表示方式,x(n)= xn , n= , 2, 1, 0, 1, 2, ,

2、x(n)=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,x(n)1, 2, 3, 4, 3, 2, 1,2、用公式表示序列,3、用图形表示序列,返回本节,x(n)=a|n|0a1, n,单位采样序列,注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数 的区别,2.常用的典型序列,单位采样序列和单位冲激信号,单位采样序列移位加权和的形式。,两种表述 方式,和 的卷积和。,用单位抽样序列表示任意序列,单位阶跃序列,注意与连续时间信号与系统中单位阶跃函数 的区别,单位采样序列与单位阶跃序列之间的关系：,令n-m=k,矩形序列,矩形序列与单位采样序列及单位阶跃序列之间的关系

3、：,实指数序列,实数,序列收敛,序列发散,实指数序列,复指数序列,或,正弦型序列,是幅度,是数字域频率,是起始相位,( : Hz; 0 : rad/s; : 采样频率, Hz ),定义：,数字频率,如果对于所有n，存在一个最小的正整数N，满足：,则称x(n)为周期性序列，周期为N。,下面讨论正弦型序列的周期性：,周期序列,如果,且,正弦序列为周期性序列，其周期满足,为整数时,N，k为整数。,Q、P为互素的整数，要使得 是最小正整数，只有使,（2）当 不是整数，而是有理数时，设 ，其中,分情况讨论：,（1）当 为整数时，则当 时 ， 为最小正整数，正弦序列的周期为 。,，为最小正整数。,（3）当

4、 为无理数时，任何k均不能使N 为正整数，正弦序列不是周期的。,无周期,?!,返回本节,主要 包括,时间尺度变换,移位,翻转,加,乘,3. 序列的运算,卷积和,序列的运算移位,整个序列移动,: 当前时刻,: 过去时刻,: 将来时刻,序列的运算翻转,设某一个序列 x(n) ，则x(n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,序列的运算加乘,注意：时刻对齐,序列的加法和乘法,序列的运算序列的尺度变换,（1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。,（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2，

5、x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。,x(n),1,2,1/2,-1,0,1,序列的运算卷积和,设两个序列为x(n)，h(n)，则序列x(n)和序列h(n)的卷积和定义为：,卷积和是求离散线性时不变系统输出响应(零状态响应)的主要方法。,翻转,移位,相乘,相加,1、图解法,例：,翻转,移位,y（1）=1/2,y（-1）=0,相乘,相加,列表法,一般对两个序列的卷积进行求解时，往往需要分成几个区域来考虑。仍依上面的例子为例来进行一下说明：,之所以要分段求解，是因为不同时间段上求和范围不同,2、解析法,分段考虑：,（1）n1时， x(

6、m)和h(n-m)相乘时处处为零，故 y(n)=0 n1,（2） 时，x(m)和h(n-m)有交叠相乘的非零项是从m=1到m=n,（3） 时， x(m)和h(n-m)有交叠相乘的非零项的m下限的 范围是变化的，n=4、5分别对应m的下限为m2、3；m的上限为3。,（4） 时， x(m)和h(n-m)没有非零的交叠部分，故,卷积和与两序列的先后顺序无关。,返回本节,卷积的性质,1.3 线性时不变系统,1. 离散时间系统的定义 2.什么是线性时不变系统 3.线性时不变系统的单位采样响应表示法 4.线性时不变系统的性质 5.系统的稳定性与因果性,返回本章,离散时间系统：在数学上定义为将输入序列x(n

7、)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为：,1.离散时间系统的定义,连续系统的描述：,微分方程, 卷积，转移函数（Laplace变换）, 频率响应（Fourier 变换）,返回本节,本课程讨论的“线性时不变系统”是时域离散系统,线性时不变系统：是指具有线性和移不变特性的系统。,(1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性,包含了两个性质：可加性和比例性（齐次性）,2.什么是线性时不变系统,含意：该系统满足迭加原理,【例1.3.1】证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表的系统是非线性系统。,因此，该系统不是线性系统。,证明:,(

8、2) 系统的时不变特性 系统的时不变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为: 即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如下图所示。,离散系统的移不变特性,含意： 时不变性质保证对给定的输入，系 统的输出与输入施加的时间无关。,【例1.3.2】检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是时不变系统，式中a和b是常数。,因此该系统是时不变系统。,证明:,(3) 线性时不变系统 线性时不变系统就是既满足迭加原理又具有时不变特性的系统，将其描绘如图所示：,线性时不变系统模型,返回本节,线性时不变系统可用它的单位采样响应来表示。,（1）单位采样响应：是指输入为单

9、位采样序列时，系统的输出。一般用h(n)来表示。即：,知道h(n)，就可以求出系统的输出。,3.线性时不变系统 的输入与输出之间的关系,（2）线性时不变系统的表示：设输入为x(n),输出为y(n),系统的输出y(n)可以表示成输入x(n)与单位采样响应h(n)的卷积和的形式。即：,下面我们来推导一下这个公式：,非常重要的公式,我们知道序列x(n)可以用单位采样序列来表示：,系统的输出y(n) 为：,叠加性 线性,时不变性,返回本节,(1) 交换律,(2) 结合律,4.线性时不变系统的性质,这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位采样响应为两系统单位采样响应的卷积和，且

10、线性时不变系统的单位采样响应与它们的级联次序无关。,(3) 对加法的分配律,返回本节,这就是说两个线性时不变系统的并联等式右端)等效于一个系统，此系统的单位采样响应等于两系统各自的单位采样响应之和(等式左端)。,(1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为： 如果x(n)对于一切n 则y(n)对于一切n,一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是：,输入有界 输出也有界,5.系统的稳定性与因果性,其中假设x(n)M。,证明：,先证明充分性,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足上式，即, 那么总可以找到一个或若干个有界的输入来引起

11、无界的输出，,例如：,令n=0, 有,上式说明n=0时刻的输出为无界，系统不稳定，证明了必要性。,(2)因果性,非因果系统,因果系统,含意：一个实际的物理系统，其当前时刻的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。,一个线性时不变变系统是因果系统的充要条件是当n0时其单位采样响应等于零,即 h(n)=0n0 这个充要条件可以从y（n） x(n)*h(n) 的解析式中导出。,【例1.3.7】设线性时不变系统的单位系统脉冲响应 h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解：由于n0时，h(n)=0，因此系统是因果系统。,只有当|

12、a|1时, 才有,因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。 系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。 如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。,【例 1.3.8】设系统的单位脉冲响h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)， 并检验系统的因果性和稳定性。,因为当nk0时，u(n-k)=0; nk0时，u(nk)=1, 因此，求和限为kn，所以,解：,上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。下面分析该系统的稳定性：由于,因此该系统是一个不稳定系统。自然地，该系

13、统是一个因果系统。,根据以上介绍的稳定的概念，可以检查系统是否稳定。实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定是一个重要问题，显然，不可能对所有有界输入都检查是否得到有界输出。 可以证明, 只要用单位阶跃序列作为输入信号，如果输出趋于常数（包括零），则系统一定稳定，否则系统不稳定。不必要对所有有界输入都进行实验。,题1:,如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？,？,线性！,则,所以： 系统对 的输出是,对 的输出是,而：,由于：,所以：,本系统不具备移不变性！,另外，系统,是因果的，但不是稳定的,？,题2：系统,?,均为非因果！,线性、移不变性、因果性、稳定性是对系统的基本要求。希望能掌握判断的方

14、法。非线性系统的研究不在本课的范围。,返回本节,1.4 时域离散系统的输入输出描述法,1.常系数线性差分方程 2.线性常系数差分方程的求解,返回本章,常系数线性差分方程：用来表示离散时间线性时不变系统的输入输出关系。常用以下形式表示：,常系数：ak，bm是常数。 阶数：未知序列y(n)的变量序号的最高值和最低值之差。 线性：y(n-k)，x(n-m)各项都只有一次幂，且不存在相乘项。,1.常系数线性差分方程,（1） 经典解法。这种方法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，它包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数。 （2） 递推解法。这种方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高

15、的线性常系数差分方程不容易得到封闭式（公式）解答。 （3） 变换域方法。这种方法是将差分方程变换到z域进行求解。,2.线性常系数差分方程的求解,由 ， 有,差分方程在给定输入和给定边界(起始)条件下，可用递推的办法求系统的响应。,例： ，初始状态为 ，求单位脉冲响应。,解：,依次迭代求得,所以系统的单位采样响应为,这样的系统相当于因果系统，若|a|1，则系统是稳定系统。,一个常系数线性差分方程，并不一定代表因果系统，例如边界条件假设不同，则可得到非因果系统。仍以上例为例：,仍设 ，但边界条件设为,这样的系统是非因果系统，若|a|1，则系统是稳定的。,同样，个常系数线性差分方程，只有当边界条件选

16、的合适时才相当于一个线性时不变系统。仍考虑上面给出的例题 当边界条件选为y(一1)0时，则该系统才相当于线性时不变系统。 当边界条件选为y(0)1时，则系统不是时不变系统，也不是线性系统； 当边界条件选为y(0)0时，则相当于线性系统，但不是时不变系统；,1.5 模拟信号数字处理方法,1.采样定理及A/D变换器 2.将数字信号转换成模拟信号,返回本章,对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 就是xa(t)与pT(t)相乘的结果。,1.采样定理及A/D变换器,图1.5.2对模拟信号进行采样,时：采

17、样序列 就变成冲激函数序列 ，各冲激函数准确地出现在采样瞬间上。这种情况下的采样就是理想采样。,理想采样输出 为：,采样前后信号的频谱有什么样的变化呢？在什么样的情况下才能由采样信号不失真的恢复出原模拟信号呢？,?,设信号xa(t)为限带信号，最高频率为,式中各项 的傅里叶 变换,傅里叶变换,的傅里叶变换为,为采样角频率,其中,由此可以看出，连续时间信号经采样后所得到的离散时间信号，其频谱以采样频率 为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。,任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高频率分量为 ，则当对它进行采样时，只要选择采样频率 等于或大于 ，就可以由这个采样序列xa (nT)来唯一准确地恢复x

18、a (t)。,我们将采样频率的一半称为折叠频率,采样定理奈奎斯特定理,将模拟信号转换成数字信号由模/数转换器(Analog/Digital Converter, A/DC）完成，模/数转换器的原理框图如图1.5.5所示。,图1.5.5模/数转换器原理框图,例如：模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50 Hz, 选采样频率Fs=200 Hz，将t=nT代入xa(t)中，得到采样数据：,当时，得到序列x(n)如下： x(n)= , 0.382 683, 0.923 879, 0.382 683, 0.923 879, 如果A/DC按照M=6进行量化编码，即上面的采样数据均用6位二进

19、制码表示，其中一位为符号位，则数字信号用表示： = , 0.01100, 0.11101, 1.01100, 1.11101, ,用十进制数表示的 为 = , 0.375 00, 0.906 25, -0.375 00, -0.906 25, 显然量化编码以后的 和原x(n)不同。这样产生的误差称为量化误差，这种量化误差的影响称为量化效应，这部分内容在第9章介绍。,用满足奈奎斯特定理的采样频率采样限带信号xa(t)，则被采样信号 通过理想低通滤波器，只要其截止频率h满足 ch(sc) 时，就可以恢复出原来信号。,2.将数字信号转换成模拟信号,理想低通滤波器特性,下面讨论如何由采样值来恢复原来的模拟信号,内插公式,内插函