九年级数学上册第一章特殊平行四边形第2节矩形的性质与判定课件（新版）北师大版.ppt

1、北师大版九年级上册,第二节：矩形的性质与判定,第一章：特殊平行四边形,第一课时 矩形的性质,下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,这些平行四边形中都有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。,平行四边形,有一个角 是直角,矩形,矩形是特殊的平行四边形,1.矩形的定义,木门,纸张,电脑显示屏,生活中的矩形图片,（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？,（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同

2、伴交流。,矩形,边,角,对角线,对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,（1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？,用矩形纸片折一折，回答下列问题：,矩形是轴对称图形，矩形是中心对称图形.,O,2.矩形的性质,（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质 边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直； 角：四个角是直角； 对角线：相等且互相平分,已知:如图,四边形ABCD是矩形，ABC=90，对角线AC与BD相交于点O, 求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90； （2）AC=BD. 分析:(1)由矩形的定义, 利用对角相等,邻角

3、互补可使问题得证. (2)根据矩形的性质,可转化 为全等三角形(SAS)来证明.,定理:矩形的四个角都是直角，两条对角线相等。,证明：(1)四边形ABCD是矩形， ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角相等）， ABC+BCD=180， 又ABC=90， BCD=90， ABC=BCD=CDA=DAB=90，,(2)四边形ABCD是矩形， AB=DC(矩形的对边相等）， 在ABC和DCB中， AB=DC,ABC=DCB,BC=BC ABCDCB AC=DB.,矩形的特殊性质：,性质1、矩形的四个角都是直角,性质2、矩形的两条对角线相等,几何语言:,四边形ABCD是矩形,DAB=ABC=BC

4、D=CDA=90,AC = BD,仔细观察RtABC，BO是RtABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？,BO是斜边AC上的中线， BO等于AC的一半.,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,例1.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD的长是（ ）,C,解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.,A.1 B. C.2 D.,例2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果BAF=60，那么DAE等于（ ） A.15 B.30 C.45 D.60,A,解析：根据矩形的四个角都是直角，得到BAD=90

5、，根据已知可以计算出FAD=30，再由折叠的性质可以得到DAE=15.,例3如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE,解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4. 答案：4,4,例4.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,AOD=120,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.,解:,四边形ABCD是矩形.,BD=2AB=22.5=5(cm).,AC=BD,DAB=90.,AOD=120.,ODA=OAD=,OA=OD,定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

6、,求证:ABC是直角三角形.,已知:CD是ABC边AB上的中线,且,分析:要证明ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.,证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.,四边形ACBE是平行四边形.,AB=2CD,CE=2CD., AC=DB.,四边形ACBE是矩形., AD=BD,CD=ED.,ACB=90.,ABC是直角三角形.,课堂总结,请各位同学回忆一下矩形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析.,边,角,对角线,对称性,矩形的两组对边平行且相等,矩形的邻边垂直,矩形的四个角都是直角,矩形的对角线互相平分,矩形的对

7、角线相等,矩形是中心对称图形，对称中心是两条对称轴的交点,矩形是轴对称图形，对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.,1.习题2.1：知识技能第2，3两题 2.预习第二课时.,第二课时 矩形的判定,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,3.矩形的特殊性质,1.矩形的定义,（）矩形的四个角都是直角,（）矩形的对角线相等,2.矩形的特征,矩形是一个轴对称图形和中心对称图形,我们可以怎样判定一个四边形是矩形？,制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？,探究1,当 时

8、，平行四边形为矩形。,有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形.,定义：,几何语言：,四边形ABCD是平行四边形且A=90,四边形ABCD是矩形,矩形的判定1：定义法,矩形的性质“两条对角线相等”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质。,由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形 的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩 形。”,除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？,工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？,对角线相等的平行四边形是矩

9、形 。,如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明： 四边形ABCD是矩形,证明：, 四边形ABCD是平行四边形, AB=DC,AB/DC,又BC=CB,AC=DB, ABCDCB, ABC=DCB,平行四边形ABCD是矩形,AB/DC ABC+DCB=180， ABC=DCB=,分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.,对角线相等的平行四边形是矩形。,在ABCD中，AC=BD, ABCD是矩形,矩形的判定2：,几何语言：,一同学用“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？,猜想：有三个

10、角是直角的四边形是矩形 。,你能证明上述结论吗？,已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.,分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.,证明:, A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.,ADBC,ABCD.,求证:四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是矩形.,三个角是直角的四边形是矩形.,在四边形ABCD中 A=B=C=90,四边形ABCD是矩形,矩形的判定3：,几何语言：,矩形常用的判定方法： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形.,例

11、1.判断题： （1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形。 （ ） （4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ ） （5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。 （ ）,例2.如图所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有（填写序号）., ,解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义. 答案： ,例3.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.,分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一

12、个角是直角或对角线相等即可； 根据题意可得AMBDMC，从而有A=D,再结合AB/CD，得到A=90，即得证.,证明：四边形ABCD是平行四边形 AB/DC，AB=DC， A+D=180， M是AD的中点 AM=MD MB=MC AMBDMC(SSS) A=D A+D=180 A=90 平行四边形ABCD是矩形.,例4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.,巩固练习,1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（） A.AB=CD B.OA=OC，OB=O

13、D C.ACBD D.ABCD，AD=BC,解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形 故错误 B、OA=OC，OB=OD， 四边形ABCD是平行四边形， AC=BD， 四边形ABCD是矩形故正确 C、由ACBD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误 D、由ABCD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误,B,2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s

14、），当t= _ 时，四边形APQD也为矩形,解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形此时，4t=20-t，解得t=4（s） 故答案是：4,4,3.如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为 _ ,解：连接AP， 在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， 即BAC=90 又PEAB于E，PFAC于F， 四边形AEPF是矩形， EF=AP， AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4， EF的最小值为2.4.,2.4,4.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AEBC，过点

15、D作DEAC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）求四边形AEBD的面积,分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形 （2）在RtADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长宽=ADBD，即可得出结果,（1）证明：AEBC，BEAC， 四边形AEDC是平行四边形 AE=CD 在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高， ADB=90，BD=CD BD=AE 四边形AEBD是矩形 （2）解：在RtADC中， ADB=90，AC=5，BD=CD= BC=3， AD=

16、 四边形AEBD的面积=BDAD=34=12,(1)对角线相等的四边形是矩形吗?,(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗?,归纳：,对角线相等且互相平分的四边形是矩形, AC=BD 且OA=OC OB=OD 四边形ABCD是矩形,等腰梯形,拓展提高,例：已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。,证明： 四边形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO,又 AE=BF=CG=DH,OE=OF=OG=OH,四边形EFGH是平行四边形,又EO+OG=FO+OH,即EG=F

17、H,四边形EFGH是矩形,一个角是直角,对角线相等,有三个角是直角,五种判定方法,四边形,矩形,矩形的判定方法：,1.习题2.2：知识技能第1，2两题 2.预习第三课时.,第三课时 矩形的判定与性质的应用,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,2.矩形的特殊性质,1.矩形的定义,（）矩形的四个角都是直角,（）矩形的对角线相等,3.矩形的判定,(A).有一个角是直角的平行四边形是矩形. (B).对角线相等的平行四边形是矩形. (C).有三个角是直角的四边形是矩形.,23 July 2020,4、直角三角形的性质及判定方法：,角：,直角三角形两锐角互余。,线段：,边角关系：,1、勾股定理：两直角边

18、的平方和等于斜边 的平方。,2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线 等于斜边的一半。,1、直角三角形中，30角所对的直角边 等于斜边的一半。,2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30。,A,B,C,D,矩形性质和判定的应用,例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AEBD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.,分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AEBD，可得AB=AO,从而有ABO是等边三角形，求出ADE=30，在RtADE中，即可求出AE的长.,解：四边形ABCD是矩形， AO=BO=CO= BD(矩形

19、的对角线相等且互相平分）， BAD=90（矩形的四个角都是直角） ED=3BE, BE=OE 又AEBD, AB=AO， AB=AO=BO, 即ABO是等边三角形 ABO=60 ADB=90-ABO=90-60=30， 在RtAED中， ADE=30， ,例2.ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分MAC，CEAN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.,分析：（1）根据等腰三角形性质可得ADBC,AD平分BAC，又因为AN平分MAC可得DAE为90，再加上CEAN就可证明四边形ADCE是矩形. （2）证得矩形后，可得O点是AC中点

20、，那么OD是ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。,解：(1)AB=AC,AD是中位线， ADBC,AD平分BAC， ADC=90， 又AN平分MAC，,又CEAN， CEA=90， 四边形ADCE是矩形；,(2)OD/ AB, 理由： 四边形ADCE是矩形， OA=OC， 又D是BC边中点， OD是ABC的中位线， OD/AB, .,1如图，矩形ABCD的对角线AC10，BC8，则图中五个小矩形的周长之和为_,解析：AC=10,BC=8 根据勾股定理 ,28,图中的五个小矩形的周长之和 即大矩形的周长 2(AB+BC)=2(6+8)=28.,2如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，B

21、D相交于O，AEBD于E，若DAEBAE31，则EAC的度数是() A18 B36 C45 D72,C,解：四边形ABCD是矩形， BAD=90， DAE=3BAE，BAE+DAE=BAD， BAE=22.5，DAE=67.5，,AEBD， AEB=90， ABO=AEB-BAE=90-22.5=67.5， 四边形ABCD是矩形， AC=BD，OA= AC，OB= BD，,OA=OB， OAB=ABO=67.5， CAE=67.5-22.5=45， 故选C.,3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四 边形的周长是20 ，则矩形的对角线长 为 ，面积为 。,解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20 菱形的边长为5， 故矩形的对角线的长为10， 矩形的另一边= 矩形的面积=68=48.,10,48,4.如图，在ABC中，ABAC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作ABDE，连接AD，EC. (1)求证：ADCECD； (2)若BDCD，求证：四边形ADCE是矩形,解：(1)四边形ABDE是平行四边形， ABDE，ABDE， BEDC， ABAC， ACDE，BACB，,EDCAC