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1、第四章,向量组的线性相关性,向量,n个有次序的数所组成的数组，称为n维向量。 第i个数称为的第i个分量。 实向量，复向量。 列矩阵 行矩阵,空间,点和向量一一对应。 向量构成空间 三维空间 平面 n维空间，超平面：,法向量,平面,向量组,若干个同维数的列（行）向量做组成的集合：向量组。 矩阵可以理解成n个列向量的向量组 也可以是m个向量组的向量组 齐次方程组的解集是包含无限个n维向量的向量组。,矩阵 向量组,有限的向量组可以理解成矩阵,线性组合、线性表示,给定向量组和一组实数表达式称为A的一个线性组合。 给定向量组 和向量如果存在一组数使称b能由向量组A线性表示。,定理1,向量b能由向量组 线

2、性表示的充要条件是： 和 有相同的秩。 回忆： 有解,定义3,如果B组中所有向量都能有向量组A表示，称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A和B能相互线性表示，称这两个向量组等价。,B可以用A线性表示,A、B等价,矩阵与向量组，线性表示与方程组,矩阵行等价； 行向量组等价 矩阵列等价； 列向量组等价 线性组合：方程组得到新的方程 向量组线性表示：得到新的方程组。 向量组等价：可以互推的两个方程组。,定理2：B能由A线性表示的充要条件是： 证明：,向量组线性表示的充要条件,向量组等价的充要条件,推论：A,B等价的充要条件 证明：,A、B等价,A,B同样张成2维空间。（维数=秩）,例1,b的线性表示,例2,定理3,B能由A线性表示，则： 证明：,B可以用A线性表示,B的维数不超过A的维数。（维数=秩）,等价说

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