第5章空间问题的有限单元法√

1、空间问题的有限元法、8节点等应变四面体单元空间和20节点等参单元空间的子结构法、4.1等应变四面体单元和位移模式在空间问题中，任意点的位移为、对于每个节点位移单元的节点位移函数，将节点坐标代入第一个公式、并用公式()代替，其中，类似地，位移v、W表示为： 通过上述推导，得到位移函数，应变、应力和单元刚度矩阵将表达式(2)代入几何关系，经过微分运算，得到单元的内部变换。 可以看出，这里Bl的每个元素都是由节点坐标决定的常数。因此，四面体单元中各点的应变是相同的，这是一个恒定应变单元。这类似于平面问题的简单三角形单元。因为假定单元的位移线性变化，由位移的一阶导数组成的应变自然是常数。其中应变矩阵b

2、为形状函数矩阵，b中任何子矩阵Bl的显式表达式应为：单元应变能，其中单元刚度矩阵和单元内应力按节点分成块，单元刚度矩阵可表示为，任何子矩阵为，如果三维弹性体中存在均匀分布的体积力(重力)，对于等应变四面体单元，可计算出单元的所有体积力，然后均匀分布为4。如果一个均匀的面积力(如气压)作用在单元的某个表面上，这个表面上的所有面积力也可以均匀地分布到相应的三个节点上，即每个节点分布到三角形表面上总面积力的1/3。如果体积力和面积力分布不均匀，它们就不应该均匀分布，而应该根据等效功原理分布。也就是说，Pe、Qe是由分布体积力和分布面积力分配给单元节点的载荷，n是形状函数矩阵，p、q分别是单位体积力和

3、单位面积力，Ve、se是具有分布力的单位体积和面积。4.2空间8节点等参元，空间问题中，四面体元，六面体元等。本节讨论的八节点六面体单元的形状函数如下：位移场用插值函数表示，插值函数可以用体积坐标法或随机法形成。将上述公式写成元素中点的坐标，也可以表示为形状函数is，应变is，其中应变矩阵的子块是由复合函数导出的。由微分几何可知，单元刚度矩阵是一个4.3空间的20节点六面体单元。用有限元法求解空间问题时，经常使用20节点六面体等参数化单元，不仅精度高，而且能适应曲面的边界。母细胞和真实细胞如图所示。除了8个顶点节点，每个边的中点都添加了一个节点。让位移函数为，位移场的选择如下图所示，取完全三次

4、多项式后，对称取四次多项式。根据上述推导过程，得出形状函数如下的有限元推导过程与上述方法一致，不再赘述。4.4子结构法，不仅适用于空间问题，也适用于平面问题和板壳问题。在本节中，当描述使用子结构方法处理问题的一般原理时，它没有具体提到单元的具体结构和形状。用有限元法求解弹性力学问题时，一个较大的结构可以分成几个较小的结构，每个较小的结构称为一个子结构。分别分析每个子结构，然后连接它们。这就是子结构法。图5所示的结构分为三个子结构，每个子结构的范围用红线表示。例如，对于每个子结构，其所有节点可分为边界节点(位于粗黑线EAF和红线EF)和内部节点(位于细实线)。边界节点的一部分(例如在EF上的节点

5、)与其他子结构共享，而假设第I个子结构的边界节点位移阵列为ai，内部节点位移阵列为bi。根据子结构的网格和外部载荷，可以建立它们的有限元方程，其中Ki和Ri分别是子结构的刚度矩阵和载荷向量。公式(15)是以块矩阵的形式写成的。为了消除公式(16)中内部节点的位移阵bi，首先将上述公式从第二个公式扩展并代入第一个公式，简称为边界刚度矩阵和I子结构的边界荷载阵。根据上述将单元刚度方程组装成整体刚度方程的方法，结构刚度方程由公式(18)组成，在求解方程组(19)之后，可以得到每个子结构的边界节点位移ai，然后通过将它们代入公式(17)可以得到每个子结构的内部节点位移bi，从而可以计算出结构中每个单元的应力。综上所述，所谓的子结构法，就有限元法理论而言，并无新意，但由于一次求解的方程的阶数大大降低，它可以用容量较小的计算机解决计算量大的问题。一般来说，子结