全称量词与存在量词

1、全称量词与存在量词,1.4.1 全称量词,思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的xR，x3； (4)对任意一个xZ，2x+1是整数。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,全称量词、全称命题定义： 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。,常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。,全称命题举例：,全称命题符号记法：,命题：对任意的nZ，2n+1是奇数； 所有的正方形都是

2、矩形。,通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),表示，变量x的取值范围用M表示，那么，,解：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题。,例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。,小 结：,需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立,只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可 （举反例）,练习：,1 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）,真,假,假,1.4.2 存在量词,思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间

3、有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0Z，x能被2和3整除。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,存在量词、特称命题定义： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。,常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。,特称命题举例：,特称命题符号记法：,命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。,通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),表示，变量x的取值

4、范围用M表示，那么，,解：（1）假命题； （2）假命题； （3）真命题。,例2 判断下列特称命题的真假： （1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。,小 结：,需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。,只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 （举例证明）,练 习：,2 判断下列特称命题的真假： （1） （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）,解：（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题。,小结：,2、全称命题的符号记法。,1、全称量词、全称命题的定义。,3、判断全称命

5、题真假性的方法。,4、存在量词、特称命题的定义。,5、特称命题的符号记法。,6、判断特称命题真假性的方法。,同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：,表述方法,1.4.3 含有一个量词 的命题的否定,探究一：,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.,一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论：,全称命题p: xM ,p(x)，,全称命题的否定是特称命题.,它的否定p: x0M,p(x0),结论,例1 :写出下列全称命题的否定,并判断其真假： （1）p：x R, x-x+0; （2）q：所有的正方形都是矩形.,假,假,答:（1）p： xR, x-x+0;,（

6、2） q：至少存在一个正方形不是矩形;,例题,答:（1）p：存在一个能被3整除的整数不是奇数;,例2 :写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x0Z, x0的个位数字不等于3.,（2）p：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆;,（3）p： x0Z, x0的个位数字等于3.,例题,探究二：,否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数;,2)每一个平行四边形都不是菱形;,3),这三个特称命题的否定都变成了全称命题.,一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论：,特称命题p: x0M ,p(x0)，,特称命题

7、的否定是全称命题,它的否定p: xM,p(x),结论,答:（1）p： xR, x+2x+20;,例3 :写出下列特称命题的否定： （1）p： x0R, x0+2x0+20; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数.,（2）p：所有的三角形都不是等边三角形;,（3）p：每一个素数都不含三个正因数.,例题,（3）r： 存在两个等边三角形,它们不相似;,例4 :写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）p： xR, x+2x+20; （2）q：至少有一个实数x,使x+1=0 （3）r：任意两个等边三角形都是相似的; （4）s：x0R, x0+2x0+2=0.,假,假,真,假,答:（1）p： xR, x-x+0;,（2）q： xR, x3+10.,（4）s： xR, x+2x+20.,例题,练习1 写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3） xR, x+x=x+2