Ansoft高级培训班教材.ppt

1、西安电子科技大学安软培训中心谢勇军编著的安软HFSS安软高级培训课程教材，第一章概述了基本理论和三维有限元分析，第二章，电磁场边值问题及其变分原理，有限元方法的原理及其建模过程，从一个简单的一维例子，三维时间谐波场的有限元问题，有限元方程的求解， 第三章电磁内部问题和散射问题的有限元分析方法，第31章电磁内部问题，第32章电磁散射问题，第1章概述，应用有限元法原理编制了Ansoft HFSS软件。 深刻理解有限元法的理论基础及其在电磁场和微波技术领域的应用原理，有助于我们灵活、准确地解决实际工程问题。本教材的内容是结合Ansoft HFSS软件所涉及的有限元技术，力求在最短的空间和时间内为学生

2、建立理论与实践相结合的有限元方法的基本概念。第二章是有限元和三维有限元分析的基本理论。有限元法是一种近似求解数学边值问题的数值技术，已有40多年的历史。他在20世纪40年代首次被提出，并在20世纪50年代用于飞机设计。它在20世纪60年代和70年代被引入到电磁场问题的求解中。电磁场的边值问题及其变分原理，像许多物理系统中数学模型的边值问题一样，可以由区域内的控制微分方程(电磁场问题中的泊松方程、标量波动方程和矢量波动方程等)来定义。)和周围区域边界上的边界条件(第一类狄利克雷条件和第二类纽曼条件，或阻抗和辐射边界条件等。)。微分方程可以表示为：(2.1)，即微分算子、激励函数和未知量。对于电磁

3、场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。在许多情况下，我们使用基于变分原理的数值方法来寻找其近似解，如伽辽金法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零残差：(2.2)最佳逼近应满足：(2.3)，其中残差的加权积分(也称为误差泛函)是所选的加权函数。此外，我们可以将近似解展开如下：(2.4)，它是在区域中定义的展开函数和待确定的展开系数。并且我们选择加权函数为：(2.5)，此时，公式(2.3)变为：(2.6)，这样问题的解可以转化为线性膨胀系数问题的解，该线性膨胀系数问题可以最小化上述公式，并且公式(2.6)以矩阵形式书写；(2.7)的要素是：(2.7) 22有限元法的原理从一维例子来看它的建模过程，

4、从前面一节的内容中，我们可以看到电磁场边值问题变分方法的两个特点：(1)变分问题已经把原电磁场边值问题的严格解变成了泛函意义上的弱解，它可以不同于原解。(2)在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数(也可称为试函数)是由一组定义在整个区域上的基函数组成的，这种组合必须能够表示真实解并满足适当的边界条件，这对于二维和三维问题来说是非常困难的。自然地，认为如果采用构成整个域的子域上的一组基函数，则可以提高近似解对真实解的近似精度。这是有限元法。让我们举一个简单的一维例子来看看有限元法的建模过程及其特点。考虑一个具有均匀填充介电常数的平板电容器，如图2.1，所示。如果我们假设电场只有X方向分量，这个问

5、题可以简化为一维问题。问题的控制方程是：(2.10)它的边界条件是：(2.11)利用公式(2.10)和权函数形成内积，我们可以在这里通过模仿公式(2.3)的方法给出误差泛函：(2.12)，如图2.2所示，我们可以将一维区域离散成N个段(单元)，其中的每一个如果我们假设单元内的势函数按照线性定律变化，即， 单元格内的函数以一阶插值：(2.13)特别地，我们使它的值在两个节点上求和，然后(2.13)可以重写为(事实上，求和成为在这个子域中要求解的系数):(2.14)，其中：然后此时，函数公式(2.12)可以写成：(2.15)，其中k是节点的全局序列号，k是所有节点的总数，k是第k个节点的子域。 由

6、于节点和单元之间的关系，我们可以选择(i1，2)作为单元中的权函数。通过使用一些向量运算恒等式，我们可以得到：(2.16)，其中n是单元的序列号，n是单元的总数。请注意，在离散子域中有：(2.17) (2.18)，它在域中应该是被动的，所以它是零。那么公式(2.16)在每个单元格中的左边可以写成一个线性表达式：(2.19)、(2.19)。具体来说，我们可以使用图2.1所示的例子进行数值实现。在图2.1的离散化情况下，我们有三个未知数，即对应于节点全局序列号的和(和由边界条件给出)。首先，将对应于公式(2.19)的单元1中的线性表达式的值带入求解所有三个未知数的全局矩阵中：(2.20)、然后将对

7、应于公式(2.19)的单元2中的线性表达式的值带入求解所有三个未知数的全局矩阵中，形成全局矩阵方程：(2.21)、然后在()中。从这个简单的例子中，我们可以看出有限元方法的几个特点：(1)通过离散化和建立误差泛函， 电磁场的原边值问题变成求解矩阵方程，这是原问题的弱解。 (2)最终矩阵方程的维数与节点总数相同，未知数是节点处的数值解，单元中的值由节点处的数值解插值(这里是线性插值)。(3)最终矩阵由子域上的小线性系统按照其全局序列矩阵组成，对计算机存储要求不高。没有填写相应的位置，所以最终的矩阵是稀疏矩阵，其对计算机存储的要求也不大。综上所述，有限元法的建模过程可分为以下几个步骤：(1)区域离

8、散化。在任何有限元分析中，区域离散化是第一步，也可能是最重要的一步，因为区域离散化的方式会影响计算机内存的需求、计算时间和数值结果的准确性。在我们前面的一维例子中，我们选择短直线段作为单位，二维可以选择矩形或三角形，三维问题可以选择四面体、三棱柱或矩形块。Ansoft HFSS选择的四面体是基本单元，这将在下一节介绍。(2)插值函数的选择。每个离散单元的节点处的值是我们需要的未知量，节点内其他点的值由节点值插值。在上面的一维例子中，我们选择了线性插值。在许多复杂问题中，如果选择高阶多项式插值，精度应该更高，但公式也更复杂。在Ansoft HFSS软件中有两种插值方法可供选择，这将在下一节中介绍

9、。(3)方程的建立。用变分法建立了麦克斯韦方程的误差泛函。由于问题已经被离散化为许多子域的组合，我们可以首先在每个单元中建立一个对应于泛函的小的线性表达式，然后将其填充到全局矩阵中的相应位置，最后应用边界条件得到矩阵方程的最终形式。(4)求解方程。求解方程是有限元分析的最后一步。最终的方程组是以下两种形式之一：(2.23)或(2.24)。等式(2.23)是确定性的，它是从非齐次微分方程或非齐次边界条件或两者导出的。在电磁学中，确定性方程通常与散射、辐射和现有源或激发的其他确定性问题有关。方程(2.24)为特征值型，由齐次微分方程和齐次边界条件导出。在电磁学中，本征值方程通常与无源问题有关，如波

10、导中的波传播和空腔中的共振。在这种情况下，假设向量为零，矩阵可以写成未知特征值的形式。这两个方程的解是不同的，我们将在第2.4节中详细介绍它们。最后，以静电问题为例，介绍了有限元建模过程。这是一个简单的一维例子，它可以最大限度地把我们的注意力集中在有限元方法本身的介绍上，这样读者就可以很容易地掌握有限元方法的基本特征。然而，事实上，所有的物理问题都是三维的，Ansoft HFSS软件也是基于三维有限元法。这一部分将着重于以下几个方面。广义地说，三维麦克斯韦方程是三维电磁场问题的三维控制方程。然而，一般来说，为了便于求解和建模，从麦克斯韦方程的前两个旋度方程导出并满足电场强度的矢量亥姆霍兹方程通

11、常被选为控制方程(注意：不考虑麦克斯韦方程的最后两个散度方程)。例如，Ansoft HFSS软件的控制方程为：(2.25)，其中：是对应于时间谐波场的相量(在abc3d模块中)。是自由空间中的波数、复相对磁导率和复相对介电常数(考虑介质损耗)。根据前一节中介绍的变分原理，上述公式的泛函可以写成：(2.26)应该指出，这只是对应于被动区域中的主方程的泛函，没有强加边界条件和源项。从上一节对有限元建模过程的介绍中，我们可以看出有限元方法的一个关键步骤是建立离散元素的小矩阵，只要我们得到离散元素的小矩阵，然后将其填充到全局矩阵中。因此，三维有限元与一维和二维有限元的重要区别在于如何利用(2.3)的泛

12、函建立三维离散元的小矩阵。对于三维问题，可以选择矩形块、四面体和六面体作为基本的离散元，但不同的离散元对有限元运算的精度、速度和记忆性有不同的要求。Ansoft HFSS采用四面体作为基本离散元，并选择20世纪80年代以后应用于电磁学的边缘元作为矢量基函数。图2.3 Ansoft HFSS软件中的四面体边缘单元。接下来，我们首先介绍根据节点值定义的四面体边缘单元，然后分析其可能存在的伪解、界面不连续性和奇异性等问题，最后介绍Ansoft hfss选择的三维边缘单元，以便读者能够充分理解其基本定义和优点。假设图2.4所示四面体中的未知函数可以近似为：(2.27)图2.4中的四面体单元，如果用四面

13、体四个顶点(即四个节点)处的值(i=1，4)表示，我们可以得到：(2.28)公式中的插值函数为(2.29)(四面体单元体积)(2.30)得到以下方程：(2.31) (2.32)、(2.33) (2.34)，即可以看出，与前一节中的一维问题相似的线段的端点作为未知节点，四面体的顶点作为节点。然而，根据这一思想研究的有限元方法在求解时谐电磁场问题时，存在伪解、界面不连续性和奇异性等问题，一直困扰着许多研究者。我们介绍如下。234处谐波电磁场有限元数值解的伪解、界面不连续性和奇异性。当上述元素定义用于求解泛函(2.26)时，有限元数值解有时是错误的。进一步的研究表明，该解不满足发散条件，即在被动区不

14、满足。乍一看，这似乎是不可能的，因为散度条件已经隐含在矢量亥姆霍兹方程(2.25)的推导中。然而，(2.26)的解只是(2.25)的弱解，并且(2.25)所要求的域是二次可微的(也就是说，它必须是连续的)，但是实际上，我们只实现了插值函数本身的连续性。在这种情况下，有可能产生不符合物理现实的错误解决方案。根据上述单元定义容易出现的另一个问题是，很难处理界面不连续性。如果实际的物理问题包含不同的介质，即计算区域包含不连续的界面，我们需要在界面的两侧施加连续性条件：(2.35)然而，根据现有的定义，在实现上述的过程中，我们也施加了正常场的连续性，这与下面的边界条件相矛盾：(2.36)许多研究者已经做了大量的努力来消除上述矛盾。例如，在接口处细分网格也带来了大大增加未知量的缺点。尖端场的奇异性也阻碍了有限元的发展。因为在许多实际应用中，感兴趣的区域包括导体的锐边和锐点，或者材料的锐边和