1误差类别.ppt

1、数值分析： 研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。随着计算机的产生和发展，数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。 计算方法： 随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支，是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。,第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：,主要内容：,（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟合），数值微分（积分），常微分方程，矩阵特征值求解，偏微分方程 （2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛性、稳定性（数学角度上），算法的计算时间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）,特点 :,具有数学的抽象性和

2、逻辑严密性 又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计算机结合密切的一门课程） 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。,如何学习这门课？,这门课的学习意义，数值计算的重要性； 如何上这门课（教材），学习方法，上课形式（授课、上机、大型实验） 成绩评定（平时、实验、期中、期末）,1.2误差基本概念1.2.1误差定义及来源,真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异，其差称为误差。 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题数学问题），如抽象化、忽略次要因素等 (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察测量时产生）,(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计算），如无穷

3、级数求和（无限次有限次： ， (4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，如Pi，无理数有理数） 整个误差来源可做图表示:,分析：误差是不可避免的，应尽量减少误差，提高精度（如选择好的计算方法）,1.2.2绝对误差和绝对误差限,定义：设 为准确值， 是近似值 , 为绝对误差 分析： e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值 e值实际上无法知道, 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过0.5mm,定义：若 ，则 称为绝对误差限， 为正数，有:,1.2.3相对误差和相对误差限,为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体，其绝对

4、误差限都为0.5，但测量精度分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测量精确度，引入相对误差。,定义： 为准确值， 为近似值，则,分析：,(1). 可正可负,(2).,(3). 无法知道，因为 不知道，,也可表示为,和 之间关系为：,（可作为习题）,因为 无法求出，所以通常考虑相对误差限,若, 或 ,则称 为相对误差限。,1.2.4 有效数字,当 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。,定义：如果近似值 的误差限是其末位上的半个单位，且该位直到 的第一个非零数字共有n位，则 有n位有效数字。,具体计算：对 ，从左往右数，从第一个非零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差限为末位的

5、 个单位，则有效数字为n。,例：数0.00234711，取五位有效数字，为0.0023471，误差限为,例： =1.732050808,若 =1.7321，则有5位有效数字，因为误差限,但若 =1.7320，则只有4位有效数字，因为误差限,1.2.5误差传播影响,计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函数值误差，采用二元函数,泰勒级数展开分析误差传播,设,为准确值，,准确值为,为近似值，,近似值为,先考虑绝对误差：,令,利用二元函数一阶泰勒展开公式,所以：,再考虑相对误差：,根据以上公式，可得到两数相加、减、乘、除的误差传播：,（避免绝对值很大的数为乘数）,（避免 为很小的数为除数）,（

6、避免两相近数相减运算）,1.3 机器数系.,(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差),这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式 （4个参数）：,其中， =0.a1a2a3at 称为尾数-1,1,中的正负号用一位数字区分；,为基数，如取2、10、8、16； p为介数，有上限U和下限L,由计算机存储字节长度决定。,1.4 误差危害的防止（1）使用数值稳定的计算公式,数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足,，则称该计算公式是绝对稳定的,例：建立积分In=,（n=0,1.,20）,递推关系式，并分析误差传播影响。,解：,In+

7、5In-1=,I0=,=ln6-ln5,递推式：,在计算I0时，设近似值为I0为,e0=I0-,In- =,即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍，误差范围变大，不稳定 对可改用另一种计算过程：,（ 可通过广义积分中值定理算出、略）,则 ，即误差范围是逐步减少的。,设,（2）避免两相近数相减,例. 计算,设,和,取六位有效数字,即x1=44.7325 x2=44.7102,x1-x2=44.7325-44.7102,（6位）,方法1：直接相减：,方法2:分子有理化：=,=0.0223 （事实上只有2位有效数字）,也可进行理论分析，这里考虑绝对误差：,第一种方法只有2位有效数字,有6位有效数字,（3）避免绝对值大的数作乘数，,同样，避免x2为很小的数作除数， ,（4）防止大数吃小数：,（计算机硬件发展，浮点数表示位数增加，此问题可得到解决）,主要原因是计算机运算处理时，需对阶处理（即取相同的阶运算） 会出现: 大数+小数大数 求和时，可先按绝对值从小到大排序，先对小数运算，