高中数学必修一第一章集合与函数的概念复习资料

1、必修必修 1 1第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念 1.11.1集合集合 【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N 表示正整数集， Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

2、（5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质 (1)AA (2) A (3)若 A B 且 B C， 则AC (4)若 A B 且 B A，则A B （1） A（A 为非 B 中至少有 一 元 素 不 （或 BA） 属于 A 示意图 子集 A 中的任一 元 素 都 属 （或B A) 于 B A B A(B)A(B) B BA A 或 AB A B， 且 空子集） (2)若 真子集 AB 且 B BA A BC，则

3、AC 集合 相等 A B A 中的任一 元 素 都 属 (1)AB 于 B，B 中 (2)BA 的 任 一 元 素都属于 A nn A(B)A(B) n （7）已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2个子集，它有2 1个真子集，它有2 1个非空子集，它有2 2 非空真子集. n 【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质 （1）AI （2）AI （3）AI AI 示意图 x| x A,且 交集 AI B xB x| x A,或 并集 AUB xB A A B A B B （1）AUA A （2）AU A （3）AUB A AUB B （1）

4、AI ( U A) A AB B A A B B 补集 U A x| xU,且x A （2）AU( UA) U （3）痧 U (AI B) ( U A)U(? U B) （4）痧 U (AUB) ( U A)I (? U B) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 | x| a(a 0) | x| a(a 0) x|a x a x| x a或x a 把axb看成一个整体，化成| x| a， |axb| c,| axb| c(c 0) | x| a(a 0)型不等式来求解 （2）一元二次不等

5、式的解法 判别式 b24ac 二次函数 0 0 0 y ax2bxc(a 0) 的图象 一元二次方程 O O ax2bxc 0(a 0) 的根 bb24ac x 1,2 2a （其中x 1 x 2 ) x 1 x 2 b 2a 无实根 ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x x 1 或x x2x|x b 2a R ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x 1 x x 2 1.21.2函数及其表示函数及其表示 【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念 （1）函数的概念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数f (x

6、)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到 B的一个函数，记作f : A B 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的 实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间， 分 别 记 做 a,b) ， (a,b ； 满 足 x a,x a,x b,x b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 a,),(a,),(,b,(,b)

7、注意：注意：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f (x)是整式时，定义域是全体实数 f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 y tan x中，x k 2 (kZ) 零（负）指数幂的底数不能为零 若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已

8、知f (x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域 应由不等式a g(x) b解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小 （大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度 不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的

9、和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值 判别式法： 若函数y f (x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x b(y)xc(y) 0， 则 在a(y) 0时，由于x, y为实数，故必须有 b (y)4a(y)c(y) 0，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 2 2 【1.2.21.2

10、.2】函数的表示法】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的 元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记 作f : A B给定一个集合A到集合B的映射，且a A,bB如果元素a和元素b对应，那么我们 把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

11、1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【 【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x x 1 1 x x 时，都有 f(xf(x )f(x)f(x ) )， 2 21 12 2 那么就说 f(x)在这个区 间上是增函数增函数 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2， 当 x x f(x)f(x ) )， 2 21 12 2 那么就说 f(x)在这个区 间上是减函数减函数 y y y=f(X)y

12、=f(X) f(x )f(x ) 1 f(x )f(x ) 2 o o x x 1 x x 2 x x 函数的 单调性 （1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象上升为增） （4） 利用复合函数 （1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4） 利用复合函数 y y f(x )f(x ) 1 y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 2 o o x x 1 x x 2 x x 在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增

13、函数为减函数 对于复合函数y fg(x)，令u g(x)，若y f (u)为增，u g(x)为增，则y fg(x)为增；若 y f (u)为减，u g(x)为减，则y fg(x)为增；若y f (u)为增，u g(x)为减，则y fg(x)为 减； 若y f (u)为减，u g(x)为增， 则y fg(x)为 减 （2）打“”函数f (x) x y y a (a 0)的图象与性质 x f (x)分别在(, a、 a,)上为增函数，分 别在 a,0)、(0, a上为减函数 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，如果存 在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f (x

14、) M； （2）存在x0I，使得f (x0) M那么，我们称M是 函数f (x)的最大值，记作fmax(x) M 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的xI，都有f (x) m； （2）存在x0I，使得f (x0) m那么，我们称m是函数f (x)的最小值，记作fmax(x) m o ox x 【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个x，都有 f( f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数奇函数 函数的 奇偶性 如果对于函

15、数 f(x)定义 域内任意一个x，都有 f( f( f(x)f(x), 那 么 函 数 x)=x)= f(x)叫做偶偶函数函数 若函数f (x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f (0) 0 （1）利用定义（要先判断定义 域是否关于原点对称） （2）利用图象 （图象关于原点对 称） （1）利用定义（要先判断定义 域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于 y 轴 对称） 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函 数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函

16、数的积（或商）是奇函数 补充知识 补充知识函数的图象 函数的图象 （1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 h0,左移h个单位k0,上移k个单位 y f (x) y f (xh) y f (x) y f (x)k h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位 y f (x)y f (x) y Af (x) 伸缩变换 y f (x) 1,缩A1,伸 x轴 对称变换y f (x)y f

17、 (x) y f (x)y f (x) 直线yx原点 y f (x) y f (x)y f (x) y f1(x) 去掉y轴左边图象 y f (x) y f (| x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 01,伸0A1,缩 y轴 保留x轴上方图象 y f (x) y | f (x)| 将x轴下方图象翻折上去 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途 径，获得问题结果的

18、重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念 第一讲集合 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点一：集合的定义及其关系考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特征 例 1（20XX 年江西理）定义集合运算：AB z| z xy,xA,yB设 A1,2,B 0,2，则集合AB的所有元素之和为（ ） A0；B2；C3；D6 解题思路根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的元素 解析：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=0,2,4，故应 选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入

19、集合的问题因为背景公平， 所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所 定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型 2：集合间的基本关系 例 2数集X (2n 1),n Z与Y (4k 1),k Z之的关系是（） AXY；BYX； CX Y；DX Y 解题思路可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。 解析 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果 D 成立，则 A、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严

20、格根据题中的定义，逐个进行检验，不 方便进行检验的，就设法举反例。 考点二：集合的基本运算考点二：集合的基本运算 例 3 设集合A x x 3x2 0，B x x 2(a1)x(a 5) 0 （1）若A B 2，求实数a的值； （2）若A B A，求实数a的取值范围若A B 2， 解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 解析因为A x x 3x2 0 1,2， 2 2 22 （1）由A B 2知，2B，从而得2 4(a 1) (a 5) 0，即 22 a2 4a 3 0，解得a 1或a 3 当a 1时，B x x 4 0 2,2，满足条件； 当a 3时

21、，B x x 4x4 0 2，满足条件 2 2 所以a 1或a 3 （2）对于集合B，由 4(a 1) 4(a 5) 8(a 3) 因为A B A，所以B A 22 当 0，即a 3时，B ，满足条件； 当 0，即a 3时，B 2，满足条件； 1,2才能满足条件， 当 0，即a 3时，B A 5 1 2 2(a 1) a 由根与系数的关系得2，矛盾 2 12 a 5a2 7 故实数a的取值范围是a 3 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考 虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. 第 2 讲函数与映射的概念 求值域的几种常

22、用方法求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数y sin x 2cos x 4，可变为 2 y sin2x 2cos x 4 (cos x 1)2 2解决 （ 2 ） 基 本 函 数 法 ： 一 些 由 基 本 函 数 复 合 而 成 的 函 数 可 以 利 用 基 本 函 数 的 值 域 来 求 ， 如 函 数 y log 1 (x2 2x 3)就是利用函数y log 1 u和u x2 2x 3的值域来求。 22 2x 1 的值域 2x 2x 2 2x 11 2 由y 2 得yx 2(y 1)x 2y 1 0，若y 0，则得x ，所以y 0是

23、函数值域中的一个 2x 2x 2 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y 值；若y 0，则由 2(y 1) 4y(2y 1) 0得 2 3 13313 y 且y 0，故所求值域是 22 313 313 , 22 2cosx 3 的值域，因为 cosx 1 2cosx 3555 ，而cos x 1(0,2，所以y 2(,，故 cosx 1cosx 1cosx 12 1 y(, 2 3x （5）利用基本不等式求值域：如求函数y 2 的值域 x 4 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y 当x 0时，y 0；当x 0时，y 3 x 4 x ，若x 0，则x

24、44 2 x 4 xx 若x 0，则x 4443 3 (x ) 2 (x)() 4，从而得所求值域是, x x x4 4 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y 2x x 2(x1,2)的值域 因y 8x 2x 2x(4x 1)，故函数y 2x x 2(x1,2)在(1,)上递减、在( 在(0,)上递减、在(,2)上递增，从而可得所求值域为 3242 42 1 2 1 ,0)上递增、 2 1 2 1 2 15 ,30 8 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常 用此法） 。 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否

25、为同一个函数考点一：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f (x) （2）f (x) x2，g(x) 3x3； x x ，g(x) 1 1 x 0, x 0; （3）f (x) 2n1x2n1 ，g(x) (2n1x) （4）f (x) 2n1（nN N*） ； x 2 x 1，g(x) x2 x； 2 （5）f (x) x 2x 1，g(t) t 2t 1 解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 解析 （1）由于f (x) 函数. （2）由于函数f (x) 不是同一函数. （3）由于当 nN N*时，2n1 为奇数，f (

26、x) 2n1x2n1 x，g(x) (2n1x) 值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数f (x) 2n1 x2 x，g(x) 3x3 x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一 x x 的定义域为(,0)(0,)，而g(x) 1 1 x 0, x 0; 的定义域为 R R，所以它们 x，它们的定义域、 xx 1的定义域为xx 0，而g(x) x2 x的定义域为x x 0或x 1， 它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 答案（1） 、 （2） 、 （4）不是； （3） 、 （5）是同一函数 【名师

27、指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（ 5）小题易错判断成它们是不同的 函数。 原因是对函数的概念理解不透， 在函数的定义域及对应法则 f不变的条件下， 自变量变换字母对于函数本身并 无影响，比如f (x) x 1，f (t) t 1，f (u 1) (u 1) 1都可视为同一函数. 考点二：求函数的定义域、值域考点二：求函数的定义域、值域 题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2.（08 年湖北）函数f (x) 222 1 ln( x23x 2 x23x 4)的定义域

28、为( ) x A.(,4)2,);B.(4,0)(0,1)；C.,4,0)(0,1;D.,4,0)(0,1) 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 解析欲使函数f (x)有意义，必须并且只需 x 23x 2 0 2 x 3x 4 0 x4,0)(0,1)，故应选择D 22 x 3x 2 x 3x 4 0 x 0 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分

29、组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如 果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义， 而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际 问题的定义域不要漏写。 题型 2：求抽象函数的定义域 2 x x 2 例 3（2006湖北）设f x lg，则f f 的定义域为（） 2 x 2x A. 4,00,4；B.4,1 1,4；C. 2,1 1,2；D. 4,22,4 x 2 解题思路要求复合函数f f 的定义域，应先求f ( x)的定义域。 2x 2 2 x 解析由 0得，f (x)的定义域为2 x 2，故 2 x 2 解得x4,1U1,4。故 f x 2, 2 2 2. x x 2

30、f 的定义域为4,11,4.选 B. 2 x 【名师指引】求复合函数定义域 ,即已知函数f (x)的定义为a,b，则函数fg(x)的定义域是满足不等式 a g(x) b的 x 的取值范围；一般地，若函数fg(x)的定义域是a,b，指的是xa,b，要求f (x)的定 义域就是xa,b时g(x)的值域。 题型 3；求函数的值域 例 4已知函数y x 4ax 2a 6(a R)，若y 0恒成立，求f (a) 2aa3的值域 解题思路应先由已知条件确定a取值范围，然后再将f (a)中的绝对值化去之后求值域 解析依题意，y 0恒成立，则 16a 4(2a 6) 0，解得1 a 所以f (a) 2 a(a

31、 3) (a )2 的值域是 2 2 3 ， 2 3 2 17319 ，从而f (a) max f (1) 4，f (a) min f ( ) ，所以f (a) 424 19 ,4 4 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 考点三：映射的概念考点三：映射的概念 例 5 （06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解 密） ， 已知加密规则为： 明文a,b,c,d对应密文a 2b,2bc,2c3d,4d.例如， 明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到

32、的明文为（） A7,6,1, 4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D1,6,4,7 解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 解析 当接收方收到密文14，9，23，28 时， a2b 14 a 6 2bc 9 b 4 有，解得，解密得到的明文为 C 2c3d 23c 1 4d 28 d 7 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合 A、B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从集合B 到集合 A 的对应关系一般是不 同的； 6 5 （3）集合 A 中每一个元素，在集合的

33、，这是映射区别于一般对应的本质特征； 12 B 中都有象，并且象是唯一 （4）集合 A 中不同元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. 010031 时间 46 时间时间 第 3 讲函数的表示方法 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点考点 1 1：用图像法表示函数：用图像法表示函数 例 1 （09 年广东南海中学） 一水池有2个进水口,1个出水口,一个口的进、 出水的速度如图甲、 乙所示.某天0 点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断： 进水量出水量蓄水量 甲乙丙 （1）0点到3点只进水不出水； （2）3点到4点不进水

34、只出水； （3）4点到6点不进水不出水 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。 解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1 个单位，两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位，3 个小时共进 水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由 图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。 从而一定不正确的论断是（2） 【名师指引】 象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点， 它要

35、求考生熟悉基本的 函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式” 。 考点考点 2 2：用列表法表示函数：用列表法表示函数 例 2 （07 年北京）已知函数f (x)，g(x)分别由下表给出 x f (x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1 则fg(1)的值为；满足fg(x) g f (x)的x的值是 解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 解析由表中对应值知fg(1)=f (3) 1； 当x 1时，fg(1)1,g f (1) g(1) 3，不满足条件 当x 2时，fg(2) f (2) 3,g f (

36、2) g(3) 1，满足条件， 当x 3时，fg(3) f (1)1,g f (3) g(1) 3，不满足条件， 满足fg(x) g f (x)的x的值是x 2 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系， 解决问题的关键是从表格发现对应关系， 用好对应关系即 可。 考点考点 3 3：用解析法表示函数：用解析法表示函数 题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 1 x1 x2 例 3 （04 湖北改编）已知f (，则f (x)的解析式可取为)= 1 x1 x2 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 解析 令 故应填 1 xt 12t2x ，f (t) 2 .

37、f (x) 2 . t，则x 1 xt 1t 1x 1 2x 1 x2 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法（ 注意新元的取值范围） ；待定系数法（已知函数 类型如： 一次、 二次函数、 反比例函数等） ； 整体代换 （配凑法） ； 构造方程组 （如自变量互为倒数、 已知f (x) 为奇函数且g(x)为偶函数等） 。 题型 2：求二次函数的解析式 例 4 （普宁市城东中学 09 届高三第二次月考）二次函数f (x)满足f (x 1) f (x) 2x，且f (0) 1。 求f (x)的解析式； 在区间1,1上，y f (x)的图象恒在y 2x m的图象上方，试确定实数m的范围。 解题思

38、路 （1） 由于已知f (x)是二次函数， 故可应用待定系数法求解； （2） 用数表示形， 可得求2x m f (x) 对于x1,1恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。 f (x1) f (x) a(x1)2b(x1)c(ax2bx c) 解析设f (x) ax bxc(a 0)，则 2axab 2 与已知条件比较得： 2a 2, a 1, 解之得，又f (0) c 1， ab 0b 1 f (x) x2 x1 由题意得：x2 x1 2x m即m x23x1对x1,1恒成立， 2 易得m (x 3x 1) min 1 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数

39、求函数的最值来获得参数的取值范 围是一种常用方法。 考点考点 4 4：分段函数：分段函数 题型 1：根据分段函数的图象写解析式 例 5 (07 年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立 （毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后， 方米空气中含药量 y y与t的函数关系式为 的信息，回答下列问 1 y 16 1a （a 为常数） ，如图所示，根据图中提供 题： （）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量 y（毫克） 与时间 t （小 时）之间的函数关系式为； （）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那

40、么从药物释放开始， 至少需要经过小时后，学生才能回到教室。 思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与 t 的函数关 系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（） 解析 （）观察图象，当0 t 0.1时是直线，故y 10t；当t 0.1时，图象过(0.1,1) 1 所以 1 16 0.1a 10t,0 t 0.1 ，即a 0.1，所以y 1 t0.1(),t 0.1 16 0.1a 1 （） 16 0.1a 1 0.25 16 1 16 0.5 t 0.6，所以至少需要经过0.6小时 【名师指引】分段函数的每一段一般都

41、是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象 例 6 (2006上海)设函数f (x) x2 4x 5，在区间 2, 6上画出函数f (x)的图像。 思路点拨 需将来绝对值 符 号 打 开 ， 即 先 解 x2 4x 5 0，然后依 分界点将函数分段表示，再画出图象。 2x 4x5 2 解析f (x) x 4x5 2 (x 4x5) 2 x 1或5 x 6 1 x 5 ,如右上图. 【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理， 要注意分段函数的表示方法， 它是用联立符号将函数在定义域的 各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。 第 4

42、讲函数的单调性与最值 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点考点 1 1函数的单调性函数的单调性 题型 1：讨论函数的单调性 1 ,x 1, 例 1 (2008 广东)设k R,函数f (x) 1 xF(x) f (x) kx,x R. x 1,x 1 试讨论函数F(x)的单调性. 解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。 1 1 ,x 1,kx 1 x1 x 解析: 因为f (x) ,所以F(x) f (x) kx ,xR. x 1,x 1 x 1 kx 1 k,(x 1) (1)当 x0，F(x) (1 x)2 当k 0时，F(x) 0在(,

43、1)上恒成立，故 F(x)在区间(,1)上单调递增； 当k 0时，令F(x) 且当x 1 k1 x 1 k 0,(x 1)，解得 ， 2k(1 x) kk x 1时，F(x) 0 时，F(x) 0；当1 kk kk )上单调递减,在区间(1,1)上单调递增； 故 F(x)在区间(,1 kk 1 k,(x 1) (2)当 x1 时， x-10，F(x) 2 x 1 当k 0时，F(x) 0在(1,)上恒成立，故 F(x)在区间(1,)上单调递减； 11 k 0,(x 1)，解得x 1 2 ，当k 0时，令F(x) 4k2 x 1 11 时，；当时，F(x) 0F (x) 0 x 1 224k4k

44、 11 故 F(x)在区间(1,1上单调递减,在区间)(1,)上单调递增； 224k4k 综上得，当 k=0 时，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减； 1 当 k0 时，F(x)在区间(,1)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减,在区间 24k k1 )上单调递减,在区间(1 2 ,)上单调递增；当k 0时，F(x)在区间(,1 k4k k (1,1)上单调递增,在区间(1,)上单调递减. k 且当1 x 1 【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理 . 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 2 定义在 R R 上

45、的函数y f (x)，f (0) 0，当 x0 时，f (x) 1，且对任意的 a、bR R，有 f（a+b）=f （a）f（b）. （1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的 xR R，恒有 f（x）0； （3）求证：f（x）是 R R 上的增函数； （4）若 f（x）f（2xx2）1，求 x 的取值范围. 解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 解析（1）证明：令 a=b=0，则 f（0）=f2（0）. 又 f（0）0，f（0）=1. （2）证明：当 x0 时，x0， f（0）=f（x）f（x）=1. f（x）= 1 0.又 x0 时 f

46、（x）10， f (x) xR R 时，恒有 f（x）0. （3）证明：设 x1x2，则 x2x10. f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）. x2x10，f（x2x1）1. 又 f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）. f（x2）f（x1）.f（x）是 R R 上的增函数. （4）解：由 f（x）f（2xx2）1，f（0）=1 得 f（3xx2）f（0）.又 f（x）是 R R 上的增函数， 3xx20.0 x3. 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f （x2x1）+x1”是证明单调性的关 键，这里体现了向条件化归的策略.

47、 考点考点 2 2函数的值域（最值）的求法函数的值域（最值）的求法 题型 1：求分式函数的最值 x2 2x a 例 3 （2000 年上海）已知函数f (x) ,x1,). x 1 时，求函数f (x)的最小值； 2 11 解题思路当a 时，f (x) x 2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值， 可以考虑均值不等式或 22x 当a 导数； 解析当a 111 时，f (x) x 2, f (x) 1 222x2x x 1，f (x) 0。f (x)在区间1,)上为增函数。 f (x)在区间1,)上的最小值为f (1) 【名师指引】对于函数f (x) x 7 。 2 1 2,若x 0，则优先考

48、虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成 2x 立，否则会得到f (x) (x 11 ) 2 2 x 2 2 2 2x2x 而认为其最小值为2 2，但实际上，要取得等号，必须使得x 11 ，这时x ,) 2x2 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化 为求函数的最值。 本题考查求函数的最小值的三种通法： 利用均值不等式， 利用函数单调性， 二次函数的配方法， 考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围 x2 2x a 例 4 （2000 年上海）已知函数f (x) ,x1,). x 若对任意x1

49、,), f (x) 0恒成立,试求实数a的取值范围。 解题思路 欲求参数a的取值范围，应从x1,), f (x) 0恒成立的具体情况开始。 x2 2x a 0在区间1,)上恒成立； 解析 f (x) x x2 2x a 0在区间1,)上恒成立； x2 2x a在区间1,)上恒成立； 函数y x2 2x在区间1,)上的最小值为 3，a 3 即a 3 【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。 题型 3：求三次多项式函数的最值 例 5 （09 年高州中学） 已知a为实数， 函数 f (x) (x 1)(x a)， 若f(1) 0， 求函数y f (x)在 上的最大值和最小值。

50、 解题思路求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。 解析f (1) 0，由f (x) x ax x a, f (x) 3x 2ax 1， 3 2a 1 0,a 2,3 分 ，322 2 3 ,1 2 f (x) 3x2 4x 1 4 分 1 由f (x) 3(x )(x 1)得： 3 1 当f (x) 0时，x 1或x 5 分 3 1 当f (x) 0时， 1 x 6 分 3 311 因此，f (x)在区间,1和,1内单调递减，而在1, 内单调递减， 233 150 且f (x) 极大值 f (1) 2, f (x) 极小值 f ( ) 327 313 5013 又

51、f () f (1) 6,且， 28278 3313 f (x)在,1上的最大值f (1) 6,最小值f () ，10 分 228 【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点， 同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数 来研究其单调性和最值的方法和步骤。 第 5 讲函数的奇偶性和周期性 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点考点 1 1判断函数的奇偶性及其应用判断函数的奇偶性及其应用 题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|x1|； （2）f（x）=（x1） 1 x ； 1 x x(1 x) 1 x2 （3）f (x) ；

52、（4）f (x) | x 2| 2 x(1 x) (x 0), (x 0). 思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 解析 （1）函数的定义域 x（，+） ，对称于原点. f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x） ， f（x）=|x+1|x1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由 1 x 0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是 1 x 偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 1 x2 0,1 x 1, 由得x 0且x 4. | x 2|2 0, 故f（x）的定义域为 1，0）（0，1 ，关

53、于原点对称，且有x+20. 1 (x)21 x21 x21 x2 从而有f（x）=，f（x）=f（x） xx 2 2xx 故 f（x）为奇函数. （4）函数 f（x）的定义域是（，0）（0，+） ，并且当 x0 时，x0， f（x）=（x） 1（x） =x（1+x）=f（x） （x0）. 当 x0 时，x0，f（x）=x（1x）=f（x） （x0）. 故函数 f（x）为奇函数. 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为 D, 【名师指引】 则xD时 xD) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型 2：证明抽象函数的奇偶性 例 2 （