(考试必备)江苏省姜堰市二中高三学情调查(三)数学

1、整理日期整理日期 20112011年年 2 2 月月 2424 日星期四日星期四 整理人整理人 小小 江苏省姜堰市第二中学 20102011 学年度高三学情调查（三） 数 学 试 题 一、填空题 1 是第一象限角，tan 3 ，则sin _ 4 2已知复数 z=3-4i, 则复数 z的实部和虚部之和为_ 3已知集合 A 1,3,m ，集合 B3,4 。若 BA ，则实数 m _ 4 程序如下： t1 i2 Whilei4 tt i ii 1 EndWhile Printt 以上程序输出的结果是 5在平面直角坐标系 xOy 中，直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要 条件是 m =

2、x0 y1 6 若实数对（x，y）满足约束条件 yx ，则的最小值为 x 2xy30 1 1 7 设 a0，b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则 + 的最小值是_ a b 8抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面， 记所得的数字分别为 x，y，则 x 为整数的概率是 y 1 9若ABC 的三边长分别为 a, b, c，其内切圆半径为r，则SABC=（a+b+c） r，类比这一 2 结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为 10若 A 是锐角三角形的最小内角，则函数y cos2AsinA的值域为 11设 , 为互不重合的平面，m ,n为互不重合的直

3、线，给出下列四个命题： 若m ,n,则mn； 若m,n ,m,n，则； 若, m,n ,n m,则n ； 若m ,m/n,则n/ 其中正确命题的序号为 12已知椭圆的中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为4 的正方形，设 P 为该椭圆上的动点， C、D 的坐标分别是 2, 0 , 2, 0，则PC PD的最大值为 13 在平面直角坐标系xOy 中，设直线y 3x 2m和圆x2 y2 n2相切，其中 m， nN N*， 0|mn|1， 若 函 数f (x) mx1 n的 零 点x 0 (k, k 1), k Z Z， 则 k= 14已知函数f

4、 f ( (x x) ) ln ln x x 1 13 3 2x x ,g(x) x 2bx4.若对任意x 1 (0,2)，存在 4 44 4x x x21,2，使f (x 1) g(x2 )，则实数b取值范围是 二、解答题 15 （本小题满分 14 分） 在 ABC 中，a,b,c分别为角 A、B、C 的对边，a2c2 b2 的面积为 6 求角 A 的正弦值； 求边 b、c； 16 （本小题满分 14 分） 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB/EF，矩形ABCD所在的平 面和圆O所在的平面互相垂直，且AB 2，AD EF 1 （1）求证：AF 平面CBF； （2）设FC的中点为

5、M，求证：OM /平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V FABCD ，V FCBE ， 求V FABCD :V FCBE 8bc ，a=3, ABC 5 C D B M E O F A 17 （本小题满分 14 分） 如图：设工地有一个吊臂长DF 15m的吊车，吊车底座FG高1.5m，现准备把 一个底半径为3m高2m的圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上，问能否将工件吊到 桥墩上？（参考数据：30.2 0.58 , 18 （本小题共 16 分） 0.66 0.81） D EC B F G A H x2y2 222 已知椭圆 2 2 1 a b 0和圆O

6、 ：x y b， 过椭圆上一点P引圆O ab 的两条切线，切点分别为A, B （1）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 e； 若椭圆上存在点P，使得 APB 90o，求椭圆离心率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： a2 ON 2 b2 OM 2 为定值 19 （本小题共 16 分） 12x-m 已知 M（p, q）为直线 x+y-m=0 与曲线 y=-的交点，且 pq，若 f（x）= 2 ， xx +1 、 为正实数。求证：|f（ 20 （本小题共 16 分） 已 知 数 列an各 项 均 不 为 0 ， 其 前n项 和 为Sn， 且 对 任 意nN N*

7、都 有 p 1(p 1)n nn ，记 f（n）(1 p)S n p pa n （p为大于 1 的常数） p2 (p 1) p+qp+q ）-f（）|p-q| + （1）求a n ； （2）试比较f (n 1)与 p 1 ；f (n)的大小（nN N*） 2p p+1p+1 2n-1（3）求证： （2n-1）f（n）f（1）+f（2）+f（2n-1） 1-（） （nN*） p-12p 附加题部分 （本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟） 21 （选做题）本大题包括A，B，C，D 共 4 小题，请从这 4 题中选做 2 小题 每小题 10 分，共20 分请在答题卡上准确填涂题目标记解答时应写

8、出文字说明、证明过程或 演算步骤 A 选修 41：几何证明选讲 如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为 直径的半O 交于点F，延长CF交AB于E （1）求证：E是AB的中点； （2）求线段BF的长 A A D D E E F F C C B BO O B选修 42：矩阵与变换 1 1 已知矩阵 A ，其中aR，若点P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到P(0,3) a1 （1）求实数a的值； （2）矩阵 A 的特征值和特征向量 C 选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为 2sin， （1）过极点的一条直线l与圆相交于O，A 两点，且AOX

9、 45，求OA的长 （2）求过圆上一点P(2, 2 )，且与圆相切的直线的极坐标方程； D选修 45：不等式选讲 已知实数x, y,z满足x y z 2，求2x 3y z的最小值； 22 必做题, 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 某商场搞促销， 当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖， 根据顾客购买 商品的金额，从箱中（装有 4 只红球，3 只白球，且除颜色外，球的外部特征完全相同） 每抽到一只红球奖励 20 元的商品（当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小 球全部放回箱中） （1）当顾客购买金额超过500 元而少于 1000 元（含1000 元）时，可从

10、箱中一次随机抽 取 3 个小红球，求其中至少有一个红球的概率； （2）当顾客购买金额超过 1000 元时，可一次随机抽取 4 个小球，设他所获奖商品的金 额为元，求的概率分布列和数学期望 23必做题, 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 在三棱锥 ABCD 中， 平面 DBC平面 ABC， ABC 为正三角形，AC=2， DC=DB= 3， （1）求 DC 与 AB 所成角的余弦值； （2）在平面 ABD 上求一点 P，使得 CP平面 AB C A 222 D D B 参考答案 一、填空题 1 321 2134424562748 532 9若四棱锥 A-BCD 的四个面的

11、面积分别为s s1 1, ,s s2 2, ,s s3 3, ,s s4 4，其内切球半径为 R， 则V V A A BCDBCD 1 1 R R( (s s 1 1 s s 2 2 s s 3 3 s s 4 4 ) ) 3 3 1414 2 2 10 1 1 3 3 , ,1 1) ) 11、12、613、014、b 2 2 二、解答题 15 （本小题满分 14 分） 在 ABC 中，a,b,c分别为角 A、B、C 的对边，a2c2 b2 8bc ，a=3, ABC 的 5 3 5 面积为 6求角 A 的正弦值；求边 b、c； 解： （1） a2c2 b2 8bc 5 b2c2a24 2b

12、c5 4 cos A sin A 7 分 5 113 （2）S ABC bcsin Abc 6，bc 20 225 b2 c2 a24 由及bc 20 与a=3 解得 b=4，c=5 或 b=5,c= 4 7 分 2bc5 16 （本小题满分 14 分） 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB/EF，矩形ABCD所在的平面和 圆O所在的平面互相垂直，且AB 2，AD EF 1 C （1）求证：AF 平面CBF； （2）设FC的中点为M，求证：OM /平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的 D B M 体积分别为V FABCD ，V FCBE ，求V FA

13、BCD :V FCBE E （1）证明：平面ABCD 平面ABEF,CB AB, O 平面ABCD平面ABEF=AB， F A CB 平面ABEF， AF 平面ABEF，AF CB ,2 分 又 AB为圆O的直径，AF BF，AF 平面CBF。5 分 1 （2）设DF的中点为N，则MN/CD， 2 1 又AO/CD，则MN/AO，MNAO为平行四边形，7 分 2 OM / AN，又AN 平面DAF，OM 平面DAF， OM /平面DAF。 9 分 （3）过点F作FG AB于G，平面ABCD 平面ABEF， 12 FG 平面ABCD，V FABCD S ABCD FG FG， 11 分 33 C

14、B 平面ABEF， 11 11 V FCBE V CBFE S BFE CB EF FGCB FG， 13 分 33 26 V FABCD :V FCBE 4:1 14 分 17 （本小题满分 14 分） 如图： 设工地有一个吊臂长DF 15m的吊车， 吊车底座 现准备把一个底半径为3m高2m的圆柱形FG高1.5m， 工件吊起平放到6m高的桥墩上， 问能否将工件吊到桥墩 上？（参考数据：30.2 0.58 , E D C B 0.66 0.81） F G A H 吊车能把工件吊上的高度y取决于吊臂的张角， 由图可知， y AB1.5 AD BC CD 1.5 DF sin2CE tan1.5

15、15sin3tan0.5 6 分 3 /y 0 所以y 15cos，由 2cos 得cos 30.2 0.58 ,sin 0.81时，y有最大值， 0.81 0.5 7.46(m) 12 分 0.58 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上 14 分 y 150.813 18 （本小题共 16 分） x2y2 222 已知椭圆 2 2 1 a b 0和圆O ：x y b，过椭圆上一点P引圆O的 ab 两条切线，切点分别为A, B （1）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e； 若椭圆上存在点P，使得APB 90，求椭圆离心 o 率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点

16、M，N，求证： a2 ON 2 b2 OM 2 为定值 18解： （） （） 圆O过椭圆的焦点，圆O：x y b， b c，b a c c， a 2c，e o 22 2222 222 2 5 分 2 （）由APB 90及圆的性质，可得OP 2b， OP 2b a ,a 2c 2 2 2222 e 21 e 1 10 分， 22 （）设Px0, y0,Ax 1, y1 ,Bx 2 , y 2 ，则 y 0 y 1 x 1整理得x 0 x y 0 y x 1 2 y 1 2 x 0 x 1 y 1 Q x 1 2 y 1 2 b2 PA方程为：x 1x y1 y b2， PB方程为：x 2 x y

17、 2 y b2x 1x y1 y x 2 x y 2 y， xy 2 y 1 0 , x 2 x 1 y 0 x 0 x x 1 ，即 x 0 x y 0 y b2 y 0 直线AB方程为 y y 1 b2b2 令x 0，得ON y ，令y 0，得OM x ， y 0 x 0 a2 ON a2 2 b2 OM b2 2 22a2y 0 b2x 0 a2b2a2 4 2 ， 4bbb a2 为定值，定值是 2 16 分 22b ONOM 19 （本小题共 16 分） 1 已知 M（p, q）为直线 x+y-m=0 与曲线 y=-的交点， x 2x-m 且 pq，若 f（x）= 2 ，、 为正实数

18、。 x +1 求证：|f（p+q p+q ）-f（）|p-q| + 证明： 易证 f（x）在（p,q）上单调6 分 又p+q p+q ( (p p, ,q q) )， ( (p p, ,q q) ) 10 + p+qp+q |f（ + ）-f（ + ）| f f ( (p p) ) f f ( (q q) )=p p q q 16 分 20 （本小题共 16 分） 已知数列a n各项均不为 0，其前 n项和为Sn，且对任意nN N*都有(1 p)S n p pa n p 1(p 1)n （p为大于 1 的常数） ，记 f（n） p2n(pn1) （1）求a n ； （2）试比较f (n 1)与

19、 p 1 ；f (n)的大小（nN N*） 2p （3）求证： （2n-1）f（n）f（1）+f（2）+f（2n-1） p+1p+1 2n-11-（） （nN*） p-12p 解： （1） (1 p)S n p pa n ， (1 p)S n1 p pa n1 ，得(1 p)a n1 pa n1 pa n ，即a n1 pa n 在中令n 1，可得a 1 p a n是首项为 a 1 p，公比为p的等比数列，a n pn （2） p 1(p 1)n f（n）， p2n(pn1) p 1(p 1)n1 f (n 1) p2n1(pn11) p 1(p 1)n1p 1 而，且p 1，f (n) p2

20、n1(pn1 p)2p 4 分 pn11 pn1 p 0，p 1 0 f (n 1) p 1 （nN N*） f (n)， 2p p 1 ， 2p 10 分 （3） 由（2）知f (1) f (n 1) p 1 （nN N*） f (n)， 2p p 1p 1 2 p 1 n1 p 1 nf (n 1) () f (n 2) L ()f (1) () 2p2p2p2p p p 1 1p p 1 1 2 2 p p 1 1 2 2n n 1 1 ( () ) ( () ) 2 2p p2 2p p2 2p p 当 n 2 2时，f (n) f f ( (1 1) ) f f ( (2 2) ) f f ( (2 2n n 1 1) ) 2n1 p 1 p 1 1 ， p 12p （当且仅当n 1时取等号） 另一方面，