第六、七课圆的专题二考点6正多边形与圆.doc

1、专题：圆的中考题型 （二）【考点6 正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。【例6】（2019朝阳区校级四模）如图，O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角FMG的大小为度 【变式6-1】（2019海南）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角BOD的大小为 度【变式6-2】（2019青岛）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，AF是O的直径，则BDF

2、的度数是 【变式6-3】（2019江岸区校级模拟）如图，O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于O，对角线CE、DF相交于点M，则MEF的面积是 【考点7 与圆有关的求最值】【例7】（2019清江浦区一模）正ABC的边长为4，A的半径为2，D是A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为 【变式7-1】（2019亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为 【变式7-2】（2018周村区二模）在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD

3、，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 【变式7-3】（2018秋邗江区期末）如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 【考点8 垂径定理的应用】【例8】（2018秋朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB【变式8-1】（2018秋丹江口市期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径

4、几何？”用现代语言表述为：如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，AE1寸，CD10寸，求直径AB的长请你解答这个问题【变式8-2】（2018秋兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油其横截面如图油面宽AB600毫米（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？【变式8-3】（2018秋云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB60米，拱高PD18米（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE4米时，是否要采取紧急措施？【考点9 切线的性质与判定】【方法

5、点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。【例9】（2019白银）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线； （2）若CE2，求D的半径【变式9-1】（2019凉山州）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是O的切线； （2）若OBBF，EF4，求AD的长【变式9-2

6、】（2019临沂）如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点O作ODAB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF（1）求证：CF是O的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC【变式9-3】（2019朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC上的一点，且BEBF，连接DE（1）求证：DE是O的切线 （2）若BF2，DH，求O的半径【考点10 圆中阴影面积计算】【方法点拨】圆心角为n的扇形面积S为：；【例10】（2018秋柯桥区期末）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点 （1）若AB8，C60，

7、求阴影部分的面积；（2）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系【变式10-1】（2018秋吴兴区期末）如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC （1）求证：AEED；（2）若AB8，CBD30，求图中阴影部分的面积【变式10-2】（2019长春一模）如图，ABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE （1）求证：ODDE（2）若BAC30，AB8，求阴影部分的面积【变式10-3】（2018秋富阳区期中）如图，在ABC中，ABAC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的

8、直径；（2）若AB8，C60，求阴影部分的面积；（3）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系答案【考点6 正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。【例6】（2019朝阳区校级四模）如图，O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角FMG的大小为度 【分析】在优弧FG上取一点T，连接TF，TG利用圆内接四边形对角互补解决问题即可【答案】解：在优弧FG上取一点T，连接TF，TGABCDEF是正六边形，AO

9、E120TFOG，T60，FMG+T180，FMG120，故答案为120【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题【变式6-1】（2019海南）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角BOD的大小为 度【分析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题【答案】解：五边形ABCDE是正五边形，EA108AB、DE与O相切，OBAODE90，BOD（52）1809010810890144，故答案为：144【点睛】本题主要考查了切线的性质、

10、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键【变式6-2】（2019青岛）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，AF是O的直径，则BDF的度数是 【分析】连接AD，根据圆周角定理得到ADF90，根据五边形的内角和得到ABCC108，求得ABD72，由圆周角定理得到FABD72，求得FAD18，于是得到结论【答案】解：连接AD，AF是O的直径，ADF90，五边形ABCDE是O的内接正五边形，ABCC108，ABD72，FABD72，FAD18，CDFDAF18，BDF36+1854，故答案为：54【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学

11、知识解决问题，属于中考常考题型【变式6-3】（2019江岸区校级模拟）如图，O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于O，对角线CE、DF相交于点M，则MEF的面积是 【分析】设OE交DF于N，由正八边形的性质得出DEFE，EOF45，由垂径定理得出OEFOFEOED，OEDF，得出ONF是等腰直角三角形，因此ONFNOF，OFM45，得出ENOEOM2，证出EMN是等腰直角三角形，得出MNEN，得出MFOE2，由三角形面积公式即可得出结果【答案】解：设OE交DF于N，如图所示：正八边形ABCDEFGH内接于O，DEFE，EOF45，OEFOFEOED，OEDF，ONF是等腰直角三角形，ON

12、FNOF，OFM45，ENOEOM2，OEFOFEOED67.5，CEDDFE67.54522.5，MEN45，EMN是等腰直角三角形，MNEN，MFMN+FNON+ENOE2，MEF的面积MFEN2（2）2；故答案为：2【点睛】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、正八边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正八边形的性质，证明ONF和ENM是等腰直角三角形是解题的关键【考点7 与圆有关的求最值】【例7】（2019清江浦区一模）正ABC的边长为4，A的半径为2，D是A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为 【分析】连接AD，通过圆的半径和等边三角形的边长，E点的运

13、动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，可以判断点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时BE的值最大，利用三角形的性质即可求解；【答案】解：连接AD，A的半径是2，A与AC边交于AC的中点F，E为CD中点，E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，当点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时，BE的值最大，AF2，AB4，BF2，E为CD中点，F是AC的中点，EFAD1，BE2+1；故答案为2+1【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，等边三角形的性质；利用中位线的性质，直角三角形的边角关系是求解的关键【变式7-1】（2019亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），P半径为2，A（2

14、.6，0），B（5.2，0），点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为 【分析】如图，连接OP交P于M，连接OM因为OAAB，CMCB，所以ACOM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M时，OM最小，由此即可解决问题【答案】解：如图，连接OP交P于M，连接OM，P（3，4），由勾股定理得：OP5，OAAB2.6，CMCB，ACOM，当OM最小时，AC最小，当M运动到M时，OM最小，此时AC的最小值OM（OPPM）（52），故答案为【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的

15、思想思考问题，所以中考常考题型【变式7-2】（2018周村区二模）在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在CEM中根据三边关系即可求解【答案】解：作AB的中点E，连接EM、CE在直角ABC中，AB10，E是直角ABC斜边AB上的中点，CEAB5M是BD的中点，E是AB的中点，MEAD2在CEM中，52CM5+2，即3CM7最大值为7，故答案为：7【点睛】本题考查了点与圆的位置关

16、系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【变式7-3】（2018秋邗江区期末）如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 【分析】如图，连接OM，作OHAB于H，CKAB于K由题意MN2MH2，OM，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可【答案】解：如图，连接OM，作OHAB于H，CKAB于KOHMN，MHHN，MN2MH2，DCE90，ODOE，OCODOEOM，欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，OC，点O的运动轨迹是以C为圆

17、心为半径的圆，在RtACB中，BC3，AC4，AB5，ABCKACBC，CK，当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，OH的最小值为，MN的最大值2，故答案为【点睛】本题考查最小与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型【考点8 垂径定理的应用】【例8】（2018秋朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB2AD，在RtAOD中利用勾

18、股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长【答案】解：连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB2AD，钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD3mm，在RtAOD中，AD4mm，AB2AD248mm【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键【变式8-1】（2018秋丹江口市期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，AE1寸，CD10寸，求直径AB的长请你解答这

19、个问题【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OCOAx寸，则AB2x寸，OE（x1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长【答案】解：如图所示，连接OC弦CDAB，AB为圆O的直径，E为CD的中点，又CD10寸，CEDECD5寸，设OCOAx寸，则AB2x寸，OE（x1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2OC2，即（x1）2+52x2，解得：x13，AB26寸，即直径AB的长为26寸【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用

20、勾股定理来解决问题【变式8-2】（2018秋兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油其横截面如图油面宽AB600毫米（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？【分析】（1）首先过点O作OFAB于点G，交O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度（2）分两种情况：根据（1）求得OE300mm，可得油面上升EFOFOE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度【答案】解：（1）过O作OFAB交AB于F，交圆O于G，连接OA，AFAB300mm，直径MN1000

21、mmOA500mm由勾股定理得，OF400mm，则GFOGOF100mm；（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况：当油面CD在圆心O的下方时，连接OC，OECD，CE400mm，OE300mm，则EFOGOEFG100mm，同理，当CD在圆心O上方时，可得EF700答：此时油面上升了100毫米或700毫米【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用【变式8-3】（2018秋云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB60米，拱高PD18米（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶

22、离水面只有4米，即PE4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在RtAOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA，在RtAEO中，由勾股定理得出AE的长，进而可得出AB的长，据此可得出结论【答案】解：（1）连结OA，由题意得：ADAB30，OD（r18）在RtADO中，由勾股定理得：r2302+（r18）2，解得，r34；（2）连结OA，OEOPPE30，在RtAEO中，由勾股定理得：AE2AO2OE2，即：AE2342302，解得：AE16AB32AB3230，不需要采取紧急措施【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，

23、利用勾股定理求解是解答此题的关键【考点9 切线的性质与判定】【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。【例9】（2019白银）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到BC30，BADB30，求得ADC60，根据三角形的内角和得到DAC180603090，于是得到AC是D的切线；（2）连接AE

24、，推出ADE是等边三角形，得到AEDE，AED60，求得EACAEDC30，得到AECE2，于是得到结论【答案】（1）证明：连接AD，ABAC，BAC120，BC30，ADBD，BADB30，ADC60，DAC180603090，AC是D的切线；（2）解：连接AE，ADDE，ADE60，ADE是等边三角形，AEDE，AED60，EACAEDC30，EACC，AECE2，D的半径AD2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式9-1】（2019凉山州）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，

25、E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若OBBF，EF4，求AD的长【分析】（1）连接OD，由AB为O的直径得BDC90，根据BEEC知13、由ODOB知24，根据BC是O的切线得3+490，即1+290，得证；（2）根据直角三角形的性质得到F30，BEEF2，求得DEBE2，得到DF6，根据三角形的内角和得到ODOA，求得AADOBOD30，根据等腰三角形的性质即可得到结论【答案】解：（1）如图，连接OD，BD，AB为O的直径，ADBBDC90，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切线，3+490，1+490，又24，1+2

26、90，DF为O的切线；（2）OBBF，OF2OD，F30，FBE90，BEEF2，DEBE2，DF6，F30，ODF90，FOD60，ODOA，AADOBOD30，AF，ADDF6【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式9-2】（2019临沂）如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点O作ODAB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF（1）求证：CF是O的切线（2）若A22.5，求证：ACDC【分析】（1）根据圆周角定理得到ACBACD90，根据直角三角形的性质得到CFEFDF，求得AEOFECFCE，

27、根据等腰三角形的性质得到OCAOAC，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到OAECDE22.5，根据等腰三角形的性质得到CADADC45，于是得到结论【答案】（1）证明：AB是O的直径，ACBACD90，点F是ED的中点，CFEFDF，AEOFECFCE，OAOC，OCAOAC，ODAB，OAC+AEO90，OCA+FCE90，即OCFC，CF与O相切；（2）解：连接AD，ODAB，ACBD，AOEACD90，AEODEC，OAECDE22.5，AOBO，ADBD，ADOBDO22.5，ADB45，CADADC45，ACCD【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三

28、角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键【变式9-3】（2019朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC上的一点，且BEBF，连接DE（1）求证：DE是O的切线（2）若BF2，DH，求O的半径【分析】（1）证明DAFDCE，可得DFADEC，证出ADEDEC90，即ODDE，DE是O的切线（2）连接AH，求出DB2DH2，在RtADF和RtBDF中，可得AD2（ADBF）2DB2BF2，解方程可求出AD的长则OA可求出【答案】（1）证明：如图1，连接DF，四边形ABCD为菱形，ABBCCDDA，ADBC，DABC，BFB

29、E，ABBFBCBE，即AFCE，DAFDCE（SAS），DFADEC，AD是O的直径，DFA90，DEC90ADBC，ADEDEC90，ODDE，OD是O的半径，DE是O的切线；（2）解：如图2，连接AH，AD是O的直径，AHDDFA90，DFB90，ADAB，DH，DB2DH2，在RtADF和RtBDF中，DF2AD2AF2，DF2BD2BF2，AD2AF2DB2BF2，AD2（ADBF）2DB2BF2，AD5O的半径为【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题【考点10 圆中阴影

30、面积计算】【方法点拨】圆心角为n的扇形面积S为：；【例10】（2018秋柯桥区期末）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点（1）若AB8，C60，求阴影部分的面积；（2）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系【分析】（1）连接OE，先利用等腰三角形的性质求出BOE120，OBE30，根据AB8知OB4，依据S阴影S扇形AOE+SBOE计算可得（2）由AB是O的直径知BEA90，根据EBC+CCAD+C90得EBCCAD，据此求解可得【答案】解：（1）如图，连接OE，C60，ABAC，BAC60，AOE60，BOE120，OBE30，AB8，OB4，S阴影S扇形AOE+SBOE+24+4；（2）AB是O的直径，BEA90，EBC+CCAD+C90，EBCCAD，CAB2EBC【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式【变式10-1】（2018秋吴兴区期末）如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC（1）求证：AEED；（2）若A