概率论与数理统计1.4.ppt

1、第四节 乘法公式与全概率公式,设A，B为同一个随机试验中的两个随机事件, 且P(B)，则称,为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率,定义,条件概率,条件概率 P(A|B)的样本空间,在中去考虑P(AB),在B中去考虑P(A|B),乘法定理,推广,例：盒中有3个红球2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,波里亚罐子模型,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传

2、染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,例 盒中有3个红球2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,全概率公式与贝叶斯公式,证明,即A= AB1AB2 ABn, 且AB1, AB2, ABn两两互斥,设B1

3、, B2 ,., Bn 构成一个完备事件组，且 P(Bi) 0，i1,2,.,n，则对任一随机事件A，有,全概率公式,B1,B2,Bn,A,A发生总是伴随着B1,B2,Bn 之一同时发生,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题P(A)，分解为若干个简单事件的概率计算问题P(ABi )，最后应用条件概率求出最终结果.,例：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,解：设A= 任取一件产品为次品 ,由全概率公式得,已知

4、某种疾病的发病率为0.1%, 该种疾病患者一个月以内的死亡率为90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？,EX:,若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？,设B1,B2,Bn构成样本空间的一个完备事件组，A为任意事件，则有,贝叶斯公式 Bayes Theorem,P(Bk)-先验概率 P(Bk|A)-后验概率,例 玻璃杯论箱出售，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求: (1)顾客买下该箱的概率； (2)在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,解:设A=顾客买下一箱玻璃杯,Bi=每箱含i只次品,i=0,1,2.,在1，2，3号箱中装有同型号的合格产品分别为20件、12件、15件，不合格品分别为5件、4件、5件。现任意打开一箱并从中任取一件检验，由于检验的误差，每个合格品被检验为不合格品的概率为0.04，而不合格品被检验为合格品的概率为0.06，求下列概率： （1）取到