3.2复数的四则运算.ppt

1、我们引入这样一个数i ，把i 叫做虚数单位，并且规定： i21；,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .,复习：,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,复数a+bi,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,特别地，a+bi=0 .,a=b=0,注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.,思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?,答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.,2020/7/24,我们知道,i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.那么,任意两个复数按

2、照怎样的法则进行四则运算呢?,问题:,复数的四则运算,一.复数加减法的运算法则：,1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,2020/7/24,证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3R),则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i,显然 Z1+Z2=Z2+Z1,同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),点评：

3、实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。,2.运算律,探究?,复数的加法满足交换律，结合律吗？,例1.计算,解:,(5-6i)+(-2-i)-(3+4i),=(5-2-3)+(-6-1-4)i,=-11i,2020/7/24,练习：计算 (1)(i)+(-3+7i)= (2)-4+(-2+6i)-(-1-0.9i)= (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（） A.a-c=0且b-d0 B. a-c=0且b+d0 C. a+c=0且b-d0 D.a+c=0且b+d0,2020/7/24,例2： 设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z

4、2 = 5 - 6i, 求z1-z2,解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i,(3+x)+(2-y)i=5-6i,z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i,2020/7/24,课堂练习,1、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i,2、已知xR，y为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则x=_ y=_,2+2i,9i,4i,分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为： （2x 1)+i=(a 3)i +ai2= a+( a 3)i,2020/7/24,二.复数乘法运算：

5、 1.我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di ) =ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数,2020/7/24,探究：,复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？,对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2z1= (c+di )(a+bi)=a

6、c+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i z1z2=z2z1,(交换律),2020/7/24,2.乘法运算律,对任意z1 , z2 , z3 C. 有 z1z2=z2z1 (交换律) (z1z2)z3= z1(z2z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律),2020/7/24,应用举例,计算 (1) (3+4i)(-2-3i),解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i,分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1,2020/7/24,2020/7/24,例题讲解,例3.计算,(3+4i)(3-4i),(1+i

7、)2,原式= 9-12i+12i-16i2 = 9-(-16) = 25,解： 原式= (1+i)(1+i) = 1+2i+i2 = 1+2i-1 = 2i,注：可用实数系中乘法相应公式进行运算,分析：可利用复数的乘法法则计算,(是一个虚数),(是一个实数),与实数系中完全平方展开式一样,2020/7/24,变式：计算,2020/7/24,思考:在复数集C内,你能将x2+y2分解因式吗?,练习:在复数范围内分解因式,2020/7/24,3.共轭复数,记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作,= a-bi,定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。,结论:两个共轭复数的积是实数,

8、2020/7/24,口答：说出下列复数的共轭复数,z=2+3i,z= 3,z= -6i,注意：当a=0时的共轭复数称为共轭虚数 (如上) 实数的共轭复数是它本身(如上),( =2-3i ),( =6i ),( =3 ),2020/7/24,练习:,求满足下列条件的复数z:,2020/7/24,三.复数的乘方运算,1.复数的乘方是相同复数的积,实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任何z1,z2,z3C及m,nN*，有,Zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,2020/7/24,计算：,i1= ,i2= ,i3= ,i4= ,i5= ,i6= ,i7= ,i8= .,思考：你能得到什么样的结论？,一般地，如果nN*，我们有,2020/7/24,2020/7/24,练习：,计算下列各式的值：,2020/7/24,四.复数的除法法则,探究:我们规定复数的除法是乘法的逆运算,试探究复数的除法的运算法则.,复数的除法法则是,提示：这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”,2020/7/24,例.计算,解:,先写成分式形式,然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复数,结果化简成代数形式,20