第2章 气体动理论.ppt

1、热学第2章作业: 2.1、2.2、2.5、2.7、2.23,第2章 气体动理论 (Kinetic theory of gases),理想气体分子模型假设: P36 37,1.关于个别分子力学性质的假设: 1)分子可视为质点:分子本身线度比分子间距离小很多; 2)除碰撞以外,分子之间、分子与器壁之间无相互作用; 3)以上的碰撞是完全弹性碰撞(动量守恒、动能守恒); 4)分子的运动遵从经典力学规律。,2.关于分子集体的统计性假设: 1)每个分子速度不同,由于碰撞分子速度不断变化; 2)平衡态时,忽略重力影响,分子按位置的分布是均匀的; 3)平衡态时,分子速度(对质心系)按方向的分布是均匀的。,(1

2、),理想气体为大量的、自由的、作无规则热运动的弹性质点的集合。,统计规律对大量分子才有意义。,(2),对大量分子,每个速度分量平方的统计平均值相等,即,对第 i 个分子:,思考:,2.1 理想气体压强和温度 (Pressure and temperature of idea gases),目的:讨论理想气体压强、温度与分子热运动的关系。,一、理想气体压强公式,所有分子按速度分组, 用vi 表示第i 组分子速度, ni为第i 组分子数密度,首先计算第i 组分子对器壁S面的碰撞,注意: 是相对于系统质心参考系的,分子(m)与S碰撞时动量的变化:,分子对S的冲量:,在时间间隔t内,与S面发生碰撞的分

3、子数目为:,(3),S,第i 组分子在t内对器壁S面的总冲量为:,各种速度的所有分子在t内对器壁S面的总冲量为:,因vix0的那些分子求和,又由于分子的杂乱性, vix0的分子数应各占总数之半, 有,由动量定理,所有分子在t内对器壁S面的冲力:,(4),所有分子对器壁S面的压强为:,压强公式,分子平均平动动能(微观量),(5),1)气体的宏观性质(P)是微观运动的统计平均效果;,2)压强公式是一个统计规律;,思考:推导压强公式的过程中,哪些地方用了统计假设?,说明:,说明:1)上式适用于平衡态下一定质量的理想气体;,(6),P=nkT,2)温度是大量分子热运动的集体表现,具有统计意义;,3)温

4、度的微观意义: a) 热力学温度是分子平均平动动能的量度; b) 温度是气体分子热运动激烈程度的量度;,思考: 1)如果容器内只有几个分子, 能否用 计算它们的平均平动动能?,2)把盛有气体的密封绝热容器放在作匀速直线运动 的汽车上, 则气体的温度与汽车静止时是否相同? 若汽车突然刹车,容器内的温度是否变化?,二、 与温度T 的关系、温度的微观意义,2.2 能量均分定理 理想气体内能 (Equipartition theorem and internal energy of ideal gases),一、自由度(degree of freedom) i,1.决定一个物体空间位置的独立坐标数称为

5、自由度。,质点:(x, y, z) i=3,刚体:质心(x, y, z) 轴的取向( , , )中任意二个 绕轴转动( ),平动自由度 t=3 转动自由度 r=3,i=t+r=6,(7),目的:讨论分子热运动能量如何分配和理想气体内能的计算。,分子热运动的能量:分子的平动、转动和振动能量。,2)双原子分子 (CO、H2、O2、N2)看成一线段:,刚性双原子分子: i=5 (x, y, z), ( , , )中任意二个,3)多原子分子(H2O、CO2、NH3、CH4):,i=6,当温度很高时分子为非刚性分子(又叫弹性分子), 要加振动自由度s, s=n(n-1)/2 , 其中n为原子个数。,i

6、= t + r,(8),自由度公式: i = t + r + s,刚性多原子分子看成刚体:,2.气体分子的自由度:,i=3 (x, y, z),1)单原子分子(He、Ne)看成质点: He ,刚性分子自由度:,二、能量按自由度均分定理,(9),能量按自由度均分定理: 在温度为T 的平衡态下, 气体分子的能量按自由度均分, 每个自由度的平均能量为kT/2 。,分子平均平动动能:,分子在每一个平动自由度上所具有的动能:,分子在每一个转动自由度上所具有的动能同样如此。,思考:1)对个别分子, 能均分定理是否成立? 2)分子自由度上的能量通过什么过程实现均分的?,kT/2:理想气体平衡态时分子每个自由

7、度上平均能量。,3kT/2:分子平均平动动能。,ikT/2:刚性分子平均动能(不包括振动能量)。,三、理想气体内能,气体的内能:气体分子热运动能量 + 分子之间的势能,M kg理想气体(不计分子之间的势能)内能:,M kg理想气体(刚性分子i=t+r)内能:,(10),每个分子热运动的平均动能,说明 1)理想气体的内能是状态的单值函数; 2)内能的变化只与始末状态有关,而与过程无关; 3)内能是微观量的统计平均值。,(11),例1: 储有氧气的容器以速率v=100m/s运动,假设该容器 突然停止,全部定向运动的动能变为气体分子热运 动的动能,求容器中氧气的温度将会上升多少?,解:容器中氧气定向

8、动能:,容器中氧气(理想气体,刚性分子)内能变化:,例2:容器内某理想气体的温度T=273K,压强P=101.3Pa, 密度 =1.25g/m3, 求: 1)气体的摩尔质量,是何种气体? 2)气体分子运动的方均根速率? 3)气体分子的平均平动动能和转动动能? 4)单位体积内气体分子的总平动动能? 5)0.3mol该气体的内能?,解: 1)由,故该气体是N2或CO,(12),2)由温度公式,3)气体分子的平均平动动能:,气体分子的平均转动动能:,(13),4)设Et为单位体积内气体分子的总平动动能,5)0.3mol该气体的内能:,(14),解:,(15),例3: 二个容器中分别贮有氦气和氧气,己

9、知氦气的压强是氧气的1/2,氦气的容积是氧气的2倍,求氦气内能是氧气的多少倍?,兰媚尔实验(装置置于真空之中),分子源,狭缝屏,淀积屏,分子筛,2.3 麦克斯韦速率分布定律 (Maxwell speed distribution law of gases),(16),目的: 平衡态下,理想气体分子按速率是如何分布的?,一、分子按速率分布的实验测定,即只有速率为:,的分子才能通过。,改变 或 可让不同速率的分子通过;,原理: 速率筛每旋转一周,分子通过W,到达屏上,但不是所有速率的分子都能通过分子筛的, 只有满足关系:,由于W、W总有一定的宽度, 相当于 有一定的宽度, 因此到达屏上的分子的速率

10、也有一速率区间(vv+v), 实验时改变分子筛的角速度 , 就可以根据淀积屏上的 分子数目, 测出不同速率间隔内(v v+v)的分子数占 分子总数的百分比(又叫区间分子数比率)。,(17),某气体分子处于0平衡态时,速率区间(m/s) 分子数占分子总数的百分比N/N,(18),小于 100 1.4 100150 2.8 150200 5.6 200250 7.2 250300 9.0 300350 10.2 350400 11.5 400450 10.8 450500 9.6 500550 8.4 550600 7.0 600650 5.9 650700 4.7 700750 3.9 750以

11、上 2.0,上页实验数据的图示化:,从图中可以看出:,1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占分子 总数的百分比N/N,2)所有小面积的和恒等于一,即N/N=1(叫归一化),3)当速率区间v0时,小矩形面积的端点连成一函数 曲线(图中红线) f (v), 称f (v)为分子速率分布函数。,(19),N/N,二、速率分布定律,一定量气体处于平衡态 (总分子数N, 温度T, 分子质量m),速率在 区间的分子数,速率在 区间分子数占分子总数的百分比(又叫区间分子数比率)。,速率分布定律,(20),1.速率分布定律,N/N,2.速率分布函数: f (v),物理意义: 速率在 v 附近的单位速率区间

12、的分子数占 分子总数的百分比。,3.速率分布函数必须满足归一化条件:,4.用处:,a)己知 f (v)可求任一速率区间的分子数比率,如区间较小(300m/s305m/s):,如区间较大(v1v2):,(21),b)己知f (v) 求统计速率,三、麦克斯韦速率分布定律(对理想气体,平衡态),气体分子分布在区间vv+dv的 分子数比率为:,2. Maxwell速率分布函数,(22),麦克斯韦(Maxwell J.C., 1831-1879)英 国物理学家,数学家,1.Maxwell速率分布定律(参考书中P53-55),1)最可几速率(又叫最概然速率) vp (Most probable speed

13、),定义: f (v)的极大值对应的速率 称为最可几速率。,意义:分布在vp附近的分子数占分子总数的比率最大。,2)任一速率区间曲线下面积,3)曲线下总面积,(23),3.速率分布曲线,四、求三个统计速率,1.求,得:,T 相同,(24),相同,2.求平均速率:,vv+dv 区间分子数为dN个 ,因为dv很小,dN个分子速率均视为v dN个分子速率之和: vdN,所有分子速率之和:,平均速率:,dN=Nf(v)dv,(25),3.求方均根速率:,所有分子速率平方之和:,(26),五*、一定量气体处于平衡态时分子按能量分布定律,代入上式,(27),意义:分子动能介于EkEk+dEk区间的分子数比

14、率,例4: 试求0时氧气 ,氢气的方均根速率、平均速率、 最可几速率 。,解:,(28),思考:将H2、O2的方均根速率与地球表面的逃逸速 率(11.2km/s)比较,你会得出什么结论?,例5:如图所示,两条曲线分别为氢和氧在相同温度下的麦氏速率分布曲线。求: 1)哪条代表氢,哪条代表氧? 2)氢分子的最可几速率, 3)氧分子的方均根速率,4)氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比?,解: 1)最可几速率,T相同时,有vp,H vp,O,曲线1代表氢,2)由图得 vp,O1000m/s,(29),3),4)由图可知:氧分子最可几速率 附近单位速率区间内的分子数 占氧分子

15、总数的百分比为,(30),例6: 写出v1v2速率区间分子平均速率,该区间分子速率之和:,该区间分子数:,(31),解:,思考: 的物理意义?,思路:1)明确速率分布函数 的物理意义;,2)观察被积函数的物理意义和积分区间;,3)注意这是在平衡态下对大量分子的统计规律。,例7: 有N个粒子组成的系统的速率分布为 dN=Cdv (0vv0 , C为恒量) dN=0 (v0 v ) 求(1)作速率分布曲线, (2)由N 和v0定出C (3)粒子的平均速率和方均根速率。,解: (1)由题意可知速率分布函数为,(32),(2)由归一化条件:,(3),同理可得,(33),2.4 气体分子平均自由程(自学

16、) (Mean free path of gas molecular),一、平均自由程,每秒内分子与其它分子碰撞的平均次数:,(34),1.自由程:任意二次连续碰撞之间分子自由移动的距离。 2.平均自由程:二次连续碰撞之间所可能经过的各段自 由程的平均值 。,3.平均碰撞频率:,二、平均碰撞频率、平均自由程公式,1.平均碰撞频率公式:,1s内该分子与其它分子平均碰撞次数 =以d为半径, 为高的圆柱体内的分子数。,该体积内分子数:,碰撞截面: = d 2,(35),2.分子有效直径:,如标准状态下,空气分子:,(36),3.分子平均自由程,讨论:,当 容器线度 l 时,(容器线度),平均自由程取

17、:,例8:热水瓶胆的两壁间距 l = 0.4cm,其间充满t =27、 P = 1 Pa 的N2 , N2 分子的有效直径 d=3.710-10m, 问氮气分子的平均自由程是多少？,解:,此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子的平均自由程为 0.4 cm。,(37),气体动理论 (The Kinetic Theory of Gases),基本要求,1.了解气体分子热运动图像, 建立理想气体微观模型。 了解从提出模型, 进行统计平均, 建立宏观量与微观 量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。 2.熟练掌握理想气体状态方程。 3.能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概 念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。 熟练掌