第二章_均值向量和协方差阵的检验.ppt

1、第二章，均值向量和协方差矩阵的检验，二元正态分布的密度函数为：边密度函数Cov(X和Y为：设随机向量x (x1，xn) t，y (y1，ym) t。均值向量e (x) (e (x1)，e (xn) Y)=E(XE(x)(YE(Y)T，协方差矩阵D(X)=Cov(X，X)=E(XE(x)(XE(X)T，相关矩阵R=(rij )nna和b是常数矩阵，那么e(ax)=a e(x)e(AXB)=a e(x)b d(ax)=a d(x)at cov(ax，by)=a cov (x，y) bt2。如果x和y相互独立，那么覆盖(x，y)相反，它可能不是真的。3.随机向量X的协方差矩阵D(X)=是一个对称的非

2、负定矩阵，其分解如下：AAT (A是可逆矩阵)。如果m元随机向量X(X1，Xm)T的概率密度函数是f (x1，Xm)=(2)-m/2 | |-0.5 exp-0.5(X)T-1(X)，其中X的均值向量和协方差矩阵分别为，那么X称为m元正态分布。把它写成X N(，)。定理1。如果XN(，2)是已知的，那么Y=a bXN(a b，b22)，正态随机变量的线性函数的分布，推论。如果XN(2)是已知的，那么X*=(X-)/N(0，1)，定理2。众所周知，x和y是相互独立的，定理3。假设随机变量X1，X2，Xn是独立的，Xi服从正态分布，i=1，n，那么在2数理统计中一些常用的分布，即1，2分布，而这种

3、分布的统计称为抽样分布。数理统计中通常使用以下三种分布：2分布、t分布和f分布。2.分布的密度函数f(x)曲线；3.分位数设置为X 2(n)。如果它存在并且满足：01，它被称为分布的上分位数。4。属性：如果X 2(n1)，Y 2(n2)，X和Y是独立的，那么x2(n1 N2)，例如，查找表： 20.05(12)=20.90(12)=21.0，6.30，1。如果结构是n (0，1)，2。t分布，2。概率密度曲线，3。基本性质： (1)f(t)关于t=0(垂直轴)对称；(2) t(n) n (0，1)；4.Tt(n)被设置为轨迹。如果PTt(n)=满足：00，那么t(n)称为t(n)的上轨迹。n，

4、即：注：查表t 0.025(10)=2.23，3，F分布，1。如果1 2(n1)、22(n2)、1、2是独立的，则称之为具有第一自由度n1和第二自由度n2的F分布及其概率密度，注意：例如，查表F0.025 (10，15)=F0.95 (10，15)=3.52，1/F0.05 (15，10)，=1/2.540.39，正态总体统计的分布，1。设X1，Xn，N(，2 (2)未知2，但已知样本方差S2=18.45。求解(1)样本函数，=p (| u | 1.5)，=(1.5)-(1.5)，=2 (1.5) 1=0.8664，(2)样本函数，=p (| t | 1.397)，=1 p. Yn2 N(2，

5、22)，它们是相互独立的，那么，iid的假设检验，iid，3个正态总体参数，单个总体均值的假设检验，以及已知情况下的- U检验，对于H0假设：=0；H1: 0结构检验统计，查表，计算和比较尺寸，并得出结论、说明：H0:=0；H1: m0被称为双边高温问题。h0:=0；H1: 0(或0)被称为单边高温问题。，H0:=0；H1:0，H0:=0；H1: 0、众所周知，在正常情况下，炼铁厂铁水含碳量服从正态分布(4.55，0.112)。在某一天测量的五次加热的铁水含碳量如下：33604.28，4.404.42，4.354.37。如果标准差不变，当日铁水平均碳含量如下(取=0.05)，求解：计算：剔除H

6、0，查表：2，2个未知情况，双面检验：对于假设H0:=0；H1: 0，从p|T|t/2(n 1)=开始，拒绝域的级别是，|T|t/2(n 1)，右HT问题h0:=0；H1: 0，从PtT(n=1)，拒绝域的水平是Tt(n 1)，左HT问题H0:=0；H1: 0，pTt(n 1)=的拒绝域，Tt(n 1)，一家工厂生产的镍合金线的例子，其平均抗拉强度为10620 (kg/mm2)。在改进的工艺之后，生产了一批镍合金线，并且提取了10根线，并且测量的抗拉强度(kg/mm2)为33。10776，10707，10557，10581，10666，10670。认为抗拉强度服从正态分布，取=0.05。新生产

7、的镍合金线的抗拉强度是否高于以前生产的合金线？解是： h0:=10620；H1: 10620，查表：t0.05(9)=1.833，计算：接受H0的假设检验，二，单个总体方差，假设未知双边检验，水平的拒绝域为，单边检验：假设=0，一批电气设备厂生产的熔断器，取10。(=0.05)，熔化时间是一个正常变量。)，接受H0，查找表：计算：解：3.3两个正态总体参数的假设检验，1。均值差的假设检验，1。1，2已知，2。1=2未知，检验统计，两个样本是独立的，给定检验水平，由观察值确定。将20名患者分为两组，每组10人。10例患者服药后的睡眠时间分别为1.9、0.8、1.1、0.1、-0.1、4.4、5.

8、5、1.6、4.6和3.4小时。其余10人服药后的睡眠时间分别为0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0。如果服用两种安眠药后增加的睡眠时间服从相同方差的正态分布，那么这两种安眠药之间是否有显著差异？(=0.10)，求解：查表：计算：剔除H0，认为两种安眠药的疗效有显著差异。解决：查表：试着检查安眠药甲是否比安眠药乙更有效？在这里，吨=1.861.3304，因此，H0被拒绝，并被认为安眠药甲比安眠药乙更有效。在上述问题中，试着检查安眠药乙是否比安眠药甲更有效？查表：解，两个样本是独立的，给定检验水平，从观察值，1，2是已知的，1，2是未知的，2，方

9、差比假设检验，检验统计，F1/2，F/2，例如，有两种机床，A和B，它们加工相同的产品，这两种机床加工的产品是用机器提取的，测量的产品直径是33，360。b : 19.7、20.8、20.5、19.8、19.4、20.6、19.2。假设机床a和机床b的产品直径服从正态分布，那么试着比较机床a和机床b的加工精度是否有显著差异(=0.05)，解是：拒绝域是FF10.025(7，6)=1/5.12=0.1953或FF0.025(7，6)=5.7，计算是3360，接受H0，3.5总体分布的假设。最初的假设是H0:人口x服从。拒绝域：在n=2608的时间段内观察到某种放射性物质，并在下表中记录每个时间段

10、内放射性粒子的数量，以验证放射性粒子数量x服从泊松分布的假设。(=0.05)，解：H0: x p()，服从H0，4均值向量的检验，4.1正态总体的假设检验，假设总体为X Nm(，)，从总体中随机选择n个样本(X1，X2，Xn)(其中协方差矩阵未知)(1) h0:=0 (1)统计f服从具有m和Nm自由度的f分布。(3)选择显著性水平，查F分布表，得到临界值F(m，nm)。(4)计算并比较f值。如果FF(m，nm)，拒绝原来的假设；否则，接受最初的假设。4.2两个正态总体的假设检验，假设总体是X Nm (1)和Y Nm (2)，从两个总体中随机选择n1个样本(X1，X2，Xn1)和n2个样本(Y1

11、，Y2，Yn2) (1) H0: 1=2 (2)检验统计量。统计量f服从f分布，具有m个自由度和n1 n2m1。(3)选择显著性水平，查F分布表，得到临界值F(m，n1 n2m1)。(4)计算f值并进行比较。如果FF(m，n1 n2m-1)，拒绝原来的假设；否则，接受最初的假设。4.3多个正态总体的假设检验，其中k个m元正态总体X(i) Nm (i)，)(i=1，k)具有相等的协方差，样本：x1 (1)，x2 (1)，xn1(1)Nm(1)Xnk(k)Nm(k)，)(1) h0: (1)=(2)=(k) (2)检验统计=| E |/E | B |(m，nk，k1)，其中分布与f分布之间的关系(

12、n1 m)，当m，m 5.1检验一个正态总体的协方差矩阵，让总体X Nm(，)，现在随机选择n个样本(X1，X2，Xn) (1) H0:=0 (2)检验统计量，其中样本协方差矩阵，注：对于l分布，见多元统计分析导论，5.2检验多个正态总体的统计量。 存在具有相等协方差的k元正态总体X(i) Nm (i，i) (i=1，k)，从中随机选择具有容量n1，nk的样本：x1 (1)，x2 (1)，xn1 (1) nm (1，1) x1 (k)，x2。K) (1) H0: 1=2=k (2)检验统计量，其中分布和f分布(n1 m)之间的关系，当m和n2不属于该表时，可以计算统计量2=-n1 n2 (m

13、n2 1)/2/ln，它近似服从带有自由度m n2的分布。方差分析什么是单因素试验的方差分析双因素非重复试验的方差分析双因素重复试验的方差分析。饮料有四种颜色，即橙色、粉色、绿色和无色透明。影响这四种饮料销量的营养成分、口味、价格、包装等因素都是一样的。现在，该饮料前期的销售情况是从地理位置和经营规模相似的五家超市收集的，如下表所示。试着分析饮料的颜色是否对销量有影响。什么是方差分析？以测试饮料的颜色是否对销售量有影响，即测试四种饮料的平均销售量是否相同。让我们设置1为无色饮料的平均销售量，2为粉红色饮料，3为橙色饮料，4为绿色饮料，也就是说，测试以下假设H03360 1234H13360 1

14、，2，3，4不完全相等测试在上述假设中使用的方法是方差分析，基本概念，1。要测试的因素或因素被称为因素，有必要分析饮料的颜色是否对销售量有影响。颜色是要测试的一个或多个因素。2.水平因子的具体表达称为水平A1、A2、A3和A4。四种颜色是因素的级别。3.由每个因子水平的观测值获得的样本值即为观测值。4.这里测试只涉及一个因素。因此，它被称为单因素四水平测试。5.每一个层次的整体因素都可以看作一个整体。例如，A1、A2、A3、A4颜色可视为四种总体和两种误差。1.随机误差在相同的因素水平(相同的总体)下，样本观测值之间的差异可以被认为是抽样随机性的结果。例如，同一种颜色的饮料在不同超市的销售量是不同的。2.系统误差是不同因素水平(不同人群)下的观测值之间的差异。例如，同一家超市不同颜色饮料的销售量也不同。基本假设是1。正常人口应服从正态分布。对于每一级因素，观察值来自服从正态分布总体的简单随机样本。例如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布。2.方差的一致性每个群体的方差必须相同。对于每组观察数据，它是从具有相同方差的总体中提取的。例如，四种颜色饮料的销售量变化是相同的。3.独立的观察值是独