第4章 线性系统的能控性和能观测性分析( 2013-12_4 ).ppt

1、第4章 线性系统的能控性和能观测性分析,在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心，其一是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观测性问题。 稳定性、能控性与能观测性均是系统的重要结构性质。,本章讨论线性系统的结构性分析,动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质-状态能控性和能观性,以及这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换中的应用, 并引入能控规范形和能观规范

2、形, 以及实现问题与最小实现的概念。,能控性与能观测性的概念与示例 能控性和能观测性定义 线性连续系统能控性判据 线性连续系统能观测性判据 能控标准型与能观测标准型 系统能控性和能观测性的对偶原理 线性系统的结构分解 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系 实现问题 线性离散系统的能控性与能观测性,动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性,系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。,能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。,为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?,无论是从理论还是实践,经

3、典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题,经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题, 其输入输出间的动态关系可唯一由传递函数确定。 给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的控制量使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。 输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。 因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。,现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。,状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维

4、输入控制的问题。 状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。,4.1 .1 能控性与能观测性的概念与示例 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的,或者更确切地说,是状态能控的。 状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是能观

5、的,或者更确切地说,是状态能观的。,4.1 能控性和能观测性定义,【例1】给定系统的状态空间表达方式为,其状态变量图如图3-1所示。,系统的状态是完全能控且完全能观测的。,图3-1,例 2 某电桥系统的模型如图,该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。,图示电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t) 不能通过输入电压u(t)改变。 即状态变量x2(t)是不能控的, 系统不完全能控。,由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:,电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,不受输入u的控制,因

6、此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零, 即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。,【例3】桥式电路如图3-2所示，选取电感L的电流 为状态变量，,为电桥输,入，输出,量为 。,从电路可以直观看出，如果 ，则不论 如何选取，对于所有 ，有 ，即u(t)不能控制x(t)的变化，故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的初始电流 取为多少， 对所有时刻 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故系统是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能观测系统。,图3-2,例4 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值 确定状态变量值的能力问题。,u(t)为输入电压, y(t)

7、 =i3(t)为输出变量, 通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为 状态变量x1(t)和x2(t)。,当电阻R1=R2,电感L1=L2,输入电压u(t)=0, 以及两个状态变量的初始状态 x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,必定有i3(t)=0, 即输出变量y(t)恒为零。,恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。,但当电阻R1R2或电感L1L2时,则上述由输出y(t)不能 确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。,这种能由输出变量值确定状态变量值的特性 称为状态能观, 若

8、由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性 则称为状态不能观。,当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为 状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为,当电路中电阻值R1=R2=R,电感值L1=L2=L时, 若输入电压u(t)=0,则状态方程为,显然,当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时, 上述状态方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0, 即输出变量y(t)恒为零。,因此,由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定 状态变量x1(t)和x2(t)的值,即由输出i3(t)不能确定 电感的电流值i1(t)和i2(t)。,例 右图所示的电网

9、络中,电源电压u(t)为输入, 电压y(t)为输出,并分别取电容电压uC(t)和 电感电流iL(t)为状态变量x1(t)和x2(t)。,当开关K在t0时刻断开后,显然电容C和电阻R1 构成一阶衰减电路,电容电压uC(t)的变化只与 初始状态uC(t0)有关,与衰减电路外其他信号无关。,由输出变量y(t)显然不能确定电压值uC(t), 即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)的值,该电网络在开关K断开后,是状态不能观的,4.1.2 能控性定义,线性时变连续系统的状态方程为,（3-2）,式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定义区间,A(t)和B(t)分别为 和 矩阵。,1.状态能

10、控,对于式（3-2）所示线性时变连续系统，如果对指定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ，tft0 ,和一个无约束的容许控制u(t), ,使状态由 转移到tf 时的 ,则称此 是在 时刻能控的。,2.系统能控,对于式（3-2）所示线性时变连续系统，指定初始时刻 ，如果状态空间的所有非零状态都是在 时刻能控的, 则称系统在时刻 是状态完全能控的，简称系统在时刻 能控。如果系统对于任意的 均是状态完全能控的(即系统的能控性与初始时刻 的选取无关)，则称系统是一致能控的。,3.系统不完全能控,对于式（3-2）所示线性时变连续系统，指定初始时刻 ， 如果状态空间存在一个或一个以上非零状态在时

11、刻 是不能控的，则称系统在时刻 是状态不完全能控的，简称系统不能控。,对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻 的选取有关, 而线性定常连续系统其能控性与初始时刻 的选取无关。故线性定常连续系统其系统能控性可定义为:对于任意的初始时刻 (一般取 )，存在一个有限时刻 ，和一个无约束的容许控制 ,能使状态空间的任意非零状态 转移到 ，则称系统状态完全能控，简称系统能控。,4.状态与系统能达,对于式（3-2）所示线性时变系统,若存在能将状态 转移到 的控制作用 , ,则称状态xf是 时刻能达的。若 对所有时刻都是能达的，则称状态 为完全能达或一致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 能

12、达的，则称系统是 时刻状态能达的，简称系统是时刻 能达的。,对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。,4.1.3 能观测性定义,能观测性表征状态可由输出完全反映的性能，故应考察系统的状态方程和输出方程。,分析系统能观测性问题时,只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发,即,(3-10),1.状态能观测,对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ， ，对于所有的 ，系统的输出 能惟一确定一个非零的初始状态向量 ，则称此非零状态 在 时刻是能观测的。,2.系统能观测,对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ， ， 对于所有

13、 ，系统的输出y(t)能惟一确定 时刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 时刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能观测。,3.系统不能观测,对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ， ,对于所有 ，系统的输出y(t)不能惟一确定 时刻的任意非零的初始状态向量 （即至少有一个状态的初值不能被确定）,则称系统在 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。,线性定常连续系统其能观测性与初始时刻 的选取无关。,4.2 线性连续系统能控性判据,线性定常连续系统能控性判据

14、线性定常连续系统输出能控性 线性时变连续系统能控性判据,4.2.1 线性定常连续系统能控性判据, 秩判据 约当标准型判据 格拉姆矩阵判据 PBH判据,1. 秩判据,设线性定常连续系统的状态方程为,(3-11),式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别为 、 常数阵。,式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,(3-12),满秩,即,(3-13),证明 状态方程式（3-11）的解为,(3-14),根据能控性的定义，若系统是能控的，则对于任意的初始状态x(0)，应能找到输入u(t)，使初始状态x(0)在有限的时间区间 内转移到零。,令 ,则式（3-14）可写成,将

15、上式的积分项移到方程右边且方程两边左乘 的逆阵 得,(3-15),对于式(3-11)线性定常连续系统，有,根据凯莱-哈密顿定理，可将矩阵指数函数 表示为,(3-16),将式（3-16）代入式（3-15）得,(3-17),式（3-17）的第m项定积分记为,(3-18),因为u(t)为r维向量，故Um亦为r维向量，记为,则,(3-19),令,(3-20),（3-21）,则式（3-19）写成,（3-22）,式中, 为nr维向量， 为 维矩阵，x(0)为n维向量。,若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从式（3-22）中解出 。,式（3-22）有解的充分必要条件是其系数矩阵 和增广矩阵 的秩相等，即,

16、考虑到x(0)是任意给定的，欲使上式成立， 必须满秩即 ，否则不能保证上式成立。,于是式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是由A,B阵构成的能控性判别阵 满秩，即,【例5】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。,解,故能控性判别矩阵为,它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 取何值，其秩为3，即 =3=n,故系统总是能控的。,【例6】动态系统的状态方程如下，试判断其是否能控。,能控性判别矩阵为,解,故系统不能控。,【例3-7】电路如图3-7所示 。,图3-7,其中,u为输入,i为输出,流经电感 的电流 和电容 上的电压 为状态变量，分析系统的能控性。,解 电路的原始方程为,令

17、,整理以上三式得向量矩阵形式的系统状态空间表达式为,其能控性判别矩阵,当满足 时， 满秩，系统能控，否则不能控。,2. 约当标准型判据,(1)能控性在线性非奇异变换下的基本特性,线性系统经线性非奇异变换后不会改变其能控性。,证明 设变换前系统状态方程为,(3-23),其能控性判别矩阵为,对式(3-23)作线性非奇异变换,(3-24),变换后系统状态方程为,(3-25),式（3-25）的能控性判别矩阵,(3-26),因 非奇异，则由式(3-26)得,(3-27),式(3-27)表明,线性非奇异变换后与变换前系统能控性判别矩阵的秩相等,因此,线性非奇异变换不改变系统的能控性。,(2)系统特征值互异

18、情况下的对角标准型判据,若线性定常系统,其系统矩阵A的特征值 互异，由线性非奇异变换 可将式(3-28)变换为如下对角标准型,（3-28）,则式(3-28)系统状态完全能控的充分必要条件是经线性非奇异变换得到的式(3-29) 中， 阵不含元素全为零的行。,(3-29),例如，考察如下四个系统,(1) 系统能控,(2) 系统不能控,(3) 系统能控,(4) 系统不能控,图3-8是系统(2)的状态变量图。,图3-8,(3)系统特征值具有重特征值情况下约当标准型判据,设线性定常系统,(3-30),其A具有重特征值 ，其中 为 的重数， , ,若经线性非奇异变换,（3-31）,式(3-30)变换为如下

19、约当标准型,(3-32),其中, 为对应 重特征值 的 阶约当标准块。则式(3-30)系统状态完全能控的充分必要条件是:其经线性非奇异变换得到的约当标准型式(3-32)中,输入矩阵 中与每个约当标准块 最后一行相对应的各行都不是元素全为零的行。,为说明其用法，考察如下三个系统：,（1） 系统能控,（2） 系统不能控,（3） 系统能控,关于系统能控性的约当标准型判据,请注意如下两点:,1)若系统既有重特征值又有单特征值，其状态空间表达式经线性非奇异变换得到的约当标准型中，系统矩阵 中既出现约当子块又出现对角子块，此时应综合运用上述对角标准型判据和约当标准型判据分析系统的能控性。,例如,考察如下系

20、统,可见,该系统矩阵有一个约当块和一个对角块，与约当块最后一行对应的B阵中的那一行元素全为0，故该系统不能控。,2)当A有重特征值时，也有可能变换为对角线标准型(即 为对角线型,但与重特征值对应的对角元素是相同的)或不同于式(3-32)形式的约当标准型(即在约当阵 中出现两个或两个以上与同一重特征值对应的约当子块,而式(3-32)中的约当型阵其同一重特征值只对应一个约当子块),在这些情况下,则不能简单地按上述标准型判据确定系统的能控性,尚需考察 中某些行向量的线性相关性,即应修改上述标准型判据。现直接给出有关结论:,若A具有重特征值且 为约当标准型,但 中出现两个或两个以上与同一特征值对应的约

21、当子块，则系统状态完全能控的充要条件是 中与每个约当子块最后一行相对应的各行都不是元素全为零的行;且 中对应 中相等特征值的全部约当子块最后一行的那些行线性无关。 需要说明的是,由于任意一个1阶矩阵都是1阶约当块,所以对角线矩阵是约当矩阵的特例。,【例8】 考察如下系统,（1） 系统不能控,（2） 系统不能控,（3） 系统不能控,（4） 系统能控,系统不能控,（5）,3.格拉姆矩阵判据,线性定常连续系统,（3-33）,状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵,（3-34）,为非奇异。,应用格拉姆矩阵判据判别线性定常连续系统能控性时,需要计算矩阵指数 及定积分，对于高阶系统

22、，其计算较复杂，所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析及推导。,4. PBH判据,线性定常连续系统,状态完全能控的充分必要条件是对于系统的所有特征值,有,或,（3-46）,（3-47）,（3-48）,其中，C为复数域。,这一判据是波波夫 、贝尔维奇 、豪塔斯 等人提出的，故简称为PBH判据。,4.2.2 线性定常连续系统输出能控性,在控制系统分析和设计中,系统的被控制量往往不是系统的状态变量,而是系统的输出变量。 因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。 经典控制理论讨论的为SISO系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,对给定的期望输出响应,输入则

23、唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。 但对于MIMO系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在r维的输入能否控制m维的输出的能控性问题。,4.2.2 线性定常连续系统输出能控性,1. 输出能控性定义,设线性定常连续系统,（3-54）,式中, x为n维状态向量,u为r维输入向量,y为m维输出向量。,若存在一个无约束的容许控制u(t)，在有限的时间间隔 内，能将任一初始输出 转移到任一指定的期望的最终输出 ，则称系统是输出完全能控的,简称输出能控。,2. 输出能控性判据,可以证明，由方程(3-54)所描述的线性定常连续系统，其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵 的秩等于输出向量

24、的维数m,即,(3-55),对输出能控性来说,状态能控性既不是必要的,也不是充分的,即状态能控性与输出能控性之间没有必然的联系。,【例9】设线性定常连续系统的状态方程与输出方程为,试分析该系统是否输出完全能控与状态完全能控。,解,数目相等。因此，本系统是输出完全能控的;,其与输出变量的,输出能控性判别矩阵的秩为,而系统状态能控性判别矩阵的秩为,所以,给定系统的状态不是完全能控的。,4.3 线性定常连续系统能观测性判据,研究线性系统状态能观测性问题时,只考察系统输出y(t)反映状态向量x(t)的能力,这与系统的外加输入u(t)无关。因此,对线性系统只需要利用系统在有限时间内输出的零输入响应去研究

25、系统的能观测性,即只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发来考察系统的能观测性。,线性定常连续系统能观测性判据, 秩判据 约当标准型判据 格拉姆矩阵判据 PBH秩判据,1. 秩判据,设线性定常连续系统在输入 时的齐次状态方程和输出方程分别为,(3-69),(3-70),式中,x为n维状态向量，y为m维输出向量，A,C分别为 , 常数阵。,则系统状态完全能观测的充分必要条件是如下能观测性判别矩阵,(3-71),满秩,即,（3-72）,证明 状态方程式(3-69)的解为,将上式代人输出方程(3-70)，得,（3-73）,应用凯莱哈密顿定理，将 代入式（3-73），可得,（3-74）,式(3-74)写

26、成向量-矩阵形式,即,（3-75）,这是一个含有n个未知量m个方程的线性方程组，当 mn时,方程无唯一解。如要唯一地解出n维初始状态x(0)，必须用不同时刻的输出值 构成具有n个独立方程式的线性方程组,（3-76）,简记为,（3-77）,其中,由线性代数知, 欲使式（3-77）的非齐次线性方程组的解存在且唯一，则系数矩阵M和增广矩阵 的秩相同且为n,即,（3-78）,由式（3-78）可看出,欲使矩阵M的秩等于n,则要求 矩阵(能观测性判别矩阵),满秩,即,【例11】试判断线性定常连续系统,的能观测性。,解,系统的能观测性判别矩阵为,所以该系统状态完全能观测。,【例3-12】电路如图3-9所示,

27、u为输入，电阻R0上的电压y为输出, i1、i2为状态变量, 分析系统的能观测性。,图3-9,解 电路的原始方程为,令 ,可导出电路的状态空间表达式为,能观测性判别矩阵,可见 ,故系统是不能观测的。,2. 约当标准型判据,(1)能观测性在线性非奇异变换下的基本特性,线性系统经非奇异变换后不会改变其能观测性。,证明 设变换前的系统状态空间表达式为,(3-79),其能观测性判别矩阵为,对式(3-79)作线性非奇异变换,变换后系统状态空间表达式为,变换后系统的能观测性判别矩阵为,因为T是非奇异的，故有,可见,线性非奇异变换后与变换前系统的能观测性判别矩阵的秩相等, 因此,线性非奇异变换不改变系统的能

28、观测性。,（2）系统特征值互异情况下的对角标准型判据,线性定常连续系统在输入u(t)=0时的齐次状态方程和输出方程分别如式(3-69)、(3-70), 若系统矩阵A的特征值 互异，作线性非奇异变换,(3-80),将式(3-69) 、(3-70)变换为如下对角线标准型,(3-81),系统状态完全能观测的充分必要条件是对角线标准型式(3-81)中， 阵不含元素全为零的列。,【例3-13】判断下列系统的能观测性,（1） 系统能观测,（2） 系统不能观测,（3） 系统能观测,（4） 系统不能观测,(3)系统特征值具有重特征值情况下的约当标准型判据,设线性定常连续系统在输入u(t)=0时的齐次状态方程和

29、输出方程分别如式(3-69)、(3-70), 系统矩阵A具有相重特征值 ，其中 为 的重数， , ,若经线性非奇异变换,(3-82),将式(3-69)、(3-70)变换为如下约当标准型,(3-83),其中, 为对应 重特征值 的 阶约当标准块。则系统状态完全能观测的充分必要条件是约当标准型式(3-83)中， 阵中与每个约当标准块 的第一列相对应的各列都不是元素全为零的列。,【例3-14】判断如下四个系统的能观测性,系统能观测,（1）,（2）,系统不能观测,（3）,系统不能观测,(4),系统能观测,与系统能控性的约当标准型判据相对应,关于系统能观测性的约当标准型判据也请注意两点。,1)若系统既有

30、重特征值又有单特征值，则其状态空间表达式经线性非奇异变换得到的约当标准型中，系统矩阵 中既出现约当子块又出现对角子块，此时应综合运用对角标准型判据和约当标准型判据分析系统的能观测性。例如,例3-14中系统、系统的分析。,2)当A有重特征值时，也有可能变换为对角线标准型(即 为对角线型,但与重特征值对应的对角元素是相同的)或不同于式(3-83)形式的约当标准型(即在约当阵 中出现两个或两个以上与同一重特征值对应的约当子块,而式(3-83)中的约当型阵其同一重特征值只对应一个约当子块),在这些情况下,则不能简单地按上述标准型判据确定系统的能观测性,尚需考察 中某些列向量的线性相关性,即应修改上述标

31、准型判据。现直接给出有关结论:,若A具有重特征值且 为约当标准型,但 中出现两个或两个以上与同一特征值对应的约当子块，则系统状态完全能观测的充要条件是 中与每个约当子块第一列相对应的各列都不是元素全为零的列;且与 中所有相等特征值的约当子块第一列相对应的 中的那些列线性无关。,系统能观测,例如,（1）,（2）,系统不能观测,（3）,系统能观测,系统（3）中，4重特征值4分布在2个约当子块中,这2个约当子块首列对应的输出阵中的2个列向量,线性无关，故系统能观测。,状态x1,x2和x4不完全能观,状态变量x3完全能观 系统状态不完全能观。,3. 格拉姆矩阵判据,设线性定常连续系统在输入u(t)=0

32、时的齐次状态方程和输出方程分别如式(3-69)、(3-70),则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻tf使如下格拉姆矩阵,（3-84）,为非奇异。,4. PBH秩判据,线性定常连续系统在输入u(t)=0时的齐次状态方程和输出方程分别如式(3-69)、(3-70),则系统状态完全能观的充分必要条件是:对系统矩阵A的所有特征值 ,均有,（3-94）,因为在复数域C上除 以外的所有s均有 ,故式(3-94)可等价地表示为,(3-95),【例3-15】系统的状态方程和输出方程分别为,判别系统的能观测性。,解 计算出系统的特征值为 :,对各特征值按式（3-94）计算矩阵的秩,对 , 有,对

33、,有,对 ,有,由系统能观测性的PBH秩判据,可知系统状态完全能观测。,4.4 线性时变连续系统能控性、能观性判据,4.4.1 线性时变连续系统能控性判据,1. 格拉姆矩阵判据,线性时变连续系统,，,（3-56）,在时刻 完全能控的充分必要条件是存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵,（3-57）,为非奇异。,根据式(3-57)的非奇异性判别线性时变连续系统的能控性,必须首先计算出系统的状态转移矩阵 ,但计算 困难且有时无法写成闭合解,故以上方法实用性较差。,2. 秩判据,线性时变连续系统,，,（3-67）,各元素对t为(n-1)阶可微函数，则系统在时刻 完全能控的条件（充分条件）为,存在

34、一个有限时刻 ，使,（3-68）,式中,式(3-68)只是一个充分条件,即不满足这个条件的系统,并不一定是不能控的。,【例 10】试判断线性时变连续系统,在时刻 的能控性。,解,取 ，计算,故系统在时刻 时能控。,4.4.2线性时变连续系统能观测性判据,1. 格拉姆矩阵判据,设线性时变连续系统在输入u(t)=0时的齐次状态方程和输出方程分别为,(3-96),(3-97),系统在时刻 完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵,(3-98),为非奇异。,2 .秩判据,设线性时变连续系统在输入u(t)=0时的齐次状态方程和输出方程分别为式(3-96)、(3-97),若A(t

35、) 、C(t)阵均是(n-1)阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻 状态完全能观的充分条件为存在一个有限时刻 使,(3-99),式中,【例 4-17】（P164)已知线性时变连续系统为,分析系统在 时的能观性,解 取 计算,于是,可见系统在时刻 状态完全能观测。,4.5 线性离散系统的能控性与能观测性,离散时间系统的能控性和能观测性概念与连续时间系统的能控性和能观测性概念类似,为了使所阐述的概念更具代表性,本节基于线性时变离散系统给出能控性、能观测性的定义。 线性离散系统能控性定义 线性定常离散系统能控性的秩判据 线性离散系统能观测性定义 线性定常离散系统能观测性的秩判据 离散化系统能控性、能观

36、测性与采样周期的关系,4.5.1 线性离散系统能控性定义,线性时变离散系统的状态方程为,(3-193),式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量， 为离散时间定义区间。设系统的初始状态是任意的，其终端状态为状态空间的原点。对于离散初始时刻 和任意的非零初始状态 ，如果存在时刻 和对应的输入u(k)，使得在输入作用下，系统从h时刻的状态x(h)=x0出发，能在l时刻上到达原点，即x(l)=0，则称系统在时刻h是状态完全能控的,简称系统能控。,4.5.2 线性定常离散系统能控性的秩判据,设线性定常离散系统的状态方程为,(3-194),式中, x为n维状态向量，u为r维输入向量,G为 系统矩阵,H为

37、 输入矩阵。若G非奇异，则系统状态完全能控的充要条件是如下能控性判别矩阵,(3-195),满秩, 即,(3-196),证明 由离散系统状态方程的递推求解公式得,(3-197),设在第l步能使任意初始状态x0转移到零,于是，式(3-197)写成,即,(3-198),(3-199),写成向量形式,(3-200),这是一个具有lr个变量、n个方程的非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性定理可知,欲从式(3-200)解出输入u的充分必要条件是 系数矩阵 与增广矩阵 的秩相等,即,(3-201),因为G非奇异，则Gl非奇异, 是非零向量,所以,欲使式(3-201)成立，必须使,(3-202),根据能控

38、性定义，欲使系统能控，系统的G,H矩阵应满足式（3-202）的条件。,对于单输入系统,H为 矩阵,欲使式(3-202)成立的l值必须大于或等于n。可以证明,对于单输入离散系统，若不能使初始状态第n步转移到零，则在第n步以后各步也不能转移到零,于是上式中的l应取为n 。于是，对于单输入离散系统状态完全能控的充分必要条件是,（3-203）,对于多输入系统，矩阵 是 维矩阵，其秩等于n时，l的取值取决于H阵的秩。 若 ,这时多输入系统和单输入系统一样l=n，若 ，则l取值可以小于n 。 考虑到上述两种情况,统一规定l=n。于是,多输入离散系统状态完全能控的充分必要条件是,(3-204),证毕。,若G

39、奇异，则 仅为线性定常离散系统完全能控的充分条件。,【例26】设单输入线性定常离散系统状态方程为,试判断系统的能控性；若初始状态 ，确定使 的控制序列 ；研究使 的可能性。,解 由题意知,非奇异 ,系统能控性判别矩阵的秩为,故系统能控。,令 ,可得状态序列,令 ,有下列方程组,因能控性判别矩阵非奇异,故上式系数矩阵也是非奇异的,则有如下解,若令x(2)=0 , 解下列方程组,可见,其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为3，两个秩不等，方程组无解，故不能在第二个采样周期内使给定初始状态转移至原点。,最小拍控制（P170）,线性定常离散系统的状态能控性与能达性,状态能控性讨论的是系统输入对状态空间

40、中任意初始状态控制到坐标原点(平衡态)的能力 状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点(平衡态)的初始状态控制到状态空间中任意状态的能力。（离开原点的能控性） 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然定义不同,两者的判据却是等价的。但对于线性定常离散系统来说,这两者无论定义还是判据有所不同。,线性定常离散系统的状态能控性与能达性定义,若逻辑关系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0) 为真,则称系统状态完全能控。可以证明,若离散系统在n步之内不存在控制作用使得对任意初始状态控制到原点,则在n步以后也不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。 若数学逻辑关系式 x1 u(k)

41、(k0,n-1 x(0)=0 x(n)=x1 为真,则称系统状态完全能达。若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统是状态不完全能达的。,在系统控制问题中,系统镇定问题多与能控性有关,而跟踪、伺服问题多与能达性有关。 (G,H)能达必能控 (G,H)能控且G非奇异，则能达,线性定常离散系统的状态能达性模态判据,若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能达的充分必要条件为：对应G的每个约当块的H的分块的最后一行都不全为零。 若G为某个特征值有多于一个约旦块的当旦矩阵,则系统能达的充分必要条件为： 与每个约当子块最后一行相对应的H各行都不是元素全为零的行;且H中对应 G中相

42、等特征值的全部约当子块最后一行的那些行线性无关。,线性定常离散系统的状态能达性秩判据,对线性定常离散系统(G,H)状态完全能达的充分必要条件为能控性矩阵Qc=H GH Gn-1H满秩，即 rank Qc=n,4.5.3 线性离散系统能观测性定义,线性时变离散系统,(3-205),式中, x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出, 为离散时间定义区间。对于指定的离散初始时刻 和任意的非零初始状态 ，如果存在一个离散时刻 ，l h，若能根据测量的 惟一地确定出 ，则称系统在时刻h是状态完全能观测的，简称系统能观测。,4.5.4 线性定常离散系统能观测性的秩判据,设线性定常离散系统在输入u=

43、0时的齐次状态方程和输出方程分别,（3-206）,（3-207）,式中,x为n维状态向量，y为m维输出, G为 系统矩阵,C为 输出矩阵。,则系统状态完全能观测的充要条件是如下能观测性判别矩阵,(3-208),满秩， 即,(3-209),证明 根据状态方程(3-206)的递推求解式，有,将上述个 个方程写成向量形式有,(3-210),(3-211),式(3-211)是由mn个关于n个未知变量的方程所组成的线性方程组,x0有惟一解的充分必要条件是其系数矩阵 证毕。,的秩等于n ,即,线性定常离散系统状态能观性的模态判据,若G为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能观的充要条件为：对应G的

44、每个约当块的C的分块的第一列都不全为零 若G为某特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统能观的充要条件：C中与每个约当子块第一列相对应的各列都不是元素全为零的列;且与G 中所有相等特征值的约当子块第一列相对应的C中的那些列线性无关,4.5.5 离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系（P177),设线性定常连续系统 为,（3-212）,系统的特征值为 , , ,其中, 可为单特征值或重特征值。,采用时域中采样保持的离散化方法(采样周期为T,保持器为零阶保持器)将连续系统 离散化为 离散系统 ,即,(3-213),式中, ,(3-214),结论1 若线性定常连续系统 完全能控，则对应的离散化系

45、统 保持能控的充分条件为,对满足,（3-215）,的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式,(3-216),结论2 若线性定常连续系统 完全能观测，则对应的离散化系统 保持能观测的充分条件为,对于满足,(3-217),的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式,(3-218),【例4.19】(P181)设连续系统的状态空间表达式为,分析系统离散化前后的能控、能观测性。,解 连续系统的能控、能观测性判别矩阵及秩分别为,可见该连续系统能控且能观测。,连续系统的特征值为:,将连续系统离散化,据式(3-214)得,离散化系统的状态空间表达式为,根据上述结论1、2,若选择采样周期T的值满足下式,即 时离散

46、化系统能控且能观测。,实际上，也可对离散化系统直接应用秩判据,即,可见，只要选择采样周期使其满足 ,则 满秩,离散化系统能控且能观测。,4.6 系统能控性和能观测性的对偶原理(P.174),能控性,能观性,意义,代数判据,rankB AB An-1B=n,rankCT ATCT (AT)n-1CT=n,模态判据1,同一特征值的约旦 块对应B的分块的 最后一行是否相关,同一特征值的约旦 块对应C的分块的 第一列是否相关,rankI-A B=n ,rankI-A C=n ,模态判据2,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表,4.6.

47、1线性定常系统的对偶关系,有两个系统，设系统 的状态空间表达式为,(3-135),式中, 为n维状态向量, 为r维控制向量, 为m维输出向量, 系统矩阵 为 阵, 输入矩阵 为 阵, 输出矩阵 为 阵。设系统 的状态空间表达式为,(3-136),式中, 为n维状态向量, 为m维控制向量, 为r维输出向量, 系统矩阵 为 阵, 输入矩阵 为 阵, 输出矩阵 为 阵。若满足下述条件,(3-137),则称 与 是互为对偶系统。,图3-10所示为对偶系统 和 的结构图。,图3-10 对偶系统的结构图,由图3-10可见，互为对偶的两系统输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩

48、阵转置。,对偶原理,系统 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性， 的能观测性等价于 的能控性。或者说， 若 是状态完全能控的(完全能观测的)，则 是状态完全能观测的(完全能控的)。,证明,的能控性判别矩阵为,将式(3-137)的关系代入上式得,所以,即 的能控性判别矩阵 的秩等于其对偶系统 的能观测性判别矩阵 的秩。因此, 的能控性等价于 的能观测性。,若 能控,则 ,因此 ,则 能观测。,同理有,所以,即 的能观测性判别矩阵 的秩等于其对偶系统 的能控性判别矩阵 的秩。因此, 的能观测性等价于 的能控性。,若 能观测,则 ,因此 ,则 能控。,证毕。,能控性和能观测性之间

49、存在的上述对偶关系,是线性定常系统的重要性质,应用对偶原理可将对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。,例如, 应用对偶原理,可将能观测的单输入单输出系统化为能观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为能控标准型的问题。同样, 应用对偶原理,系统的能控性问题也可以因能观测性问题的解决而推得相应解答。 对偶原理在现代控制理论的研究中具有重要意义,其使得系统的状态观测及估计等问题和系统的控制问题互相转化、借鉴,例如,最优估计问题就可借鉴最优控制问题的结论而获得解决。,4.6.2线性时变系统的对偶关系,P175,4.7 能控标准型与能观测标准型 (SISO情形,P182）,标准型是系统的状态空间

50、表达式在一组特定的状态空间基底下导出的规范型式,在有的文献中也称规范型。标准型可将系统的某些特性表现得更为充分与明显,从而可简化系统的分析与综合问题。在采用状态空间法分析与综合系统时,根据研究问题的需要，常常采用线性非奇异变换将状态空间表达式化为某种特定的标准型式。,系统经线性非奇异变换,系统的特征值、传递函数矩阵、能控性、能观测性、能控性指数（集） 、能观测性性指数（集）等重要性质均保持不变,因此,只有状态完全能控的系统才能化为能控标准型;只有状态完全能观测的系统才能化为能观测标准型。 本节主要讨论单输入系统的能控标准型和单输出系统的能观测标准型问题。,4.7.1 单输入系统的能控标准型,在

51、第2章曾得出n阶严格有理真分式传递函数,(3-100),的能控标准型实现为,(3-101),式(3-101)中,系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵 是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故 , ,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有形如式(3-101)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。,一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A , B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。,设单

52、输入线性定常系统,（3-102）,能控,式中A,B分别为 矩阵,且系统的特征多项式为,(3-103),则存在线性非奇异变换,（3-104）,(3-105),将式（3-102）变换为能控标准型,(3-106),式中,(3-107),（3-108）,而将式(3-105)代入式(3-108)可得 中的 ，即,（3-109）,证明 因为系统能控，故n个n维列向量 B , AB , 线性独立,则按下列组合方式构成的n个新向量 也是线性独立的,即,(3-110),式中, 由矩阵A的特征多项式,所确定。,引入线性非奇异变换 ,且以 为列向量构造变换阵 ,即,(3-111),因变换后的系统矩阵为,(3-112

53、),则有,(3-113),由式(3-110)得,根据凯莱哈密顿定理有,故,将以上 代人式(3-113)得,因为,所以证得,又因为变换后的输入阵,则,将式(3-110)中 代人上式得,所以证得,且将式(3-110)代入式(3-111)证得,证毕。,实现能控标准型变换的核心在于构造线性非奇异变换阵。可以证明,引入线性非奇异变换 ,将状态完全能控的单输入线性定常系统式(3-102)变换为能控标准型式(3-106)的变换矩阵 的逆矩阵可表达为,(3-114),式中，行向量 为式(3-102)的能控性判别阵 的逆矩阵的最后一行，即,（3-115）,采用式(3-106)的单输入单输出系统 ,容易求出其传递

54、函数,即,(3-116),从式(3-116)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能控标准型 系统阵 的最后一行对应元素的负值，分子多项式的各项系数是 输出阵 的对应元素。另一方面,根据传递函数的分母、分子多项式的系数，也可直接写出如式(3-106)所示的能控标准型的实现 。,【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数,解 变换前系统能控判别矩阵,因为 ,故系统是能控的，可化为能控标准型。,又因为系统的特征多项式为,故 , ,引入线性非奇异变换 ,其中变换阵 由式(3-105)得,则,也可根据式(3-114)先求变换阵 的逆矩阵 。由式(3-115)得,由式(3-114

55、)得 的逆矩阵 为,则,变换后所得能控标准型为,其中,由能控标准型,据式(3-116)可直接写出系统的传递函数,4.7.2 单输出系统的能观测标准型,在第2章曾得出n阶严格有理真分式传递函数,(3-117),的能观测标准型实现为,(3-118),式(3-118)中,系统矩阵和输出矩阵对(A , C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵的转置), 易证与其对应的能观测性判别矩阵 的行列式 ,故 ,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A ,C) 具有形如式(3-118)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定是状态完全能观

56、测的。,一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对 (A ,C ) 不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能观测标准型。,设单输出线性定常系统,（3-119）,能观测,式中A,C分别为 矩阵,且系统的特征多项式为,(3-120),则存在线性非奇异变换,（3-121）,变换矩阵 的逆矩阵,(3-122),将式（3-119）变换为能观测标准型,(3-123),其中,（3-124）,（3-125）,(3-126）,与能控的单输入系统能控标准型变换对应,可以证明,引入线性非奇异变换 ,将状态完全能观测的单输出线性定常系统(3-119)变换为能观测标准型式(3-123)的变换矩阵 可表达为,(3-132),式中，列向量 为式(3-119)的能观测性判别阵 的逆矩阵的第n列，即,(3-133),对采用式(3-123)所示能观测标准型的单输入单输出系统 ,可直接写出其传递函数为,(3-134),从式(3-134)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能观测标准型 系统矩阵 的最后一列对应元素的负值，分子多项式的各项系数是 输入阵 的