三圆的切线的性质及判定定理

1、三圆的切线的性质及判定定理,1.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证明问题. 2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.,1,2,3,4,1.切线的性质定理,1,2,3,4,【做一做1】 如图,直线l与O相切于点A,点B是l上异于点A的一点,则OAB是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:l与O相切, lOA.OAAB. OAB=90,OAB是直角三角形. 答案:C,1,2,3,4,2.性质定理推论1,1,2,3,4,【做一做2】 如图,直线l与O相切,点P是l上任一点,当OPl时,则() A.点P不在O上 B.点P在O上 C.点P不可

2、能是切点 D.OP大于O的半径 解析:由于OPl,则P是l与O的切点,则点P在O上. 答案:B,1,2,3,4,3.性质定理推论2,1,2,3,4,归纳总结由性质定理及其两个推论,可得出如下的结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心,就可推出第三个.于是在利用切线的性质时,过切点的半径是常作的辅助线.,1,2,3,4,【做一做3】 直线l与O相切于点P,在经过点P的所有直线中,经过点O的直线有() A.1条B.2条C.3条D.无数条 解析:过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上,故选A. 答案:A,1,2,4,3,4.切线的判定定理

3、,1,2,4,3,名师点拨在切线的判定定理中,要分清定理的条件和结论,强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图中的例子就不能同时满足这两个条件,所以都不是圆的切线.,1,2,4,3,【做一做4】 如图,AB经过O上一点C,且OA=OB,AC=CB.求证:直线AB是O的切线. 分析:转化为证明OCAB即可. 证明:如图,连接OC. OA=OB, OAB是等腰三角形. 又AC=CB,OCAB. 又OC是O的半径, 直线AB是O的切线.,判定切线的方法 剖析:判定切线通常有三种方法:(1)定义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心

4、的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. “经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法;若不能确定已知要证的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不用定义法证明.,题型一,题型二,【例1】 如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作O的切线交AC于E. 求证:DEAC.

5、分析:由DE是O的切线,知ODDE,故要证明DEAC,只需要证明ODAC即可.,题型一,题型二,证明:如图,连接OD,AD. AB为O的直径, ADBC. AB=AC,即ABC为等腰三角形, AD为BC边上的中线,即BD=DC. 又OA=OB,OD为ABC的中位线. ODAC. DE切O于D,ODDE.DEAC.,反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线.,题型一,题型二,【变式训练1】 如图,已知C=90,点O在AC上,CD为O的直径,O切AB于点E,若BC=5,AC=12,求O的半径.,题型一,题型二,题型一,题型二,【例2】 如图,AB是O的直径,AE平分BAF交O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是O的切线. 分析:只需证明OECD即可.,题型一,题型二,证明:如图,连接OE. OA=OE,1=2. 又AE平分BAF, 2=3.1=3. OEAD. ADCD,OECD. CD与O相切于点E.,反思根据圆的切线性质判定圆的切线是平面几何中最常用的方法.这种方法的步骤是:连接圆心和公共点;转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转化为证明直线垂直.,题型一,题型二,【变式训练2】 如图,AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证