二次函数在几何方面的应用

1、第二章 二次函数,2.4 二次函数的应用（第1课时）,信宜市白石中学 谭琼枚,(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。,(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？,解：设矩形的一边长为 米 ，面积为 平方米，则,当 时，,此时另一边长为10-5=5（米）,因此当矩形的长和宽均为5米时，矩形的面积最大。,情境引入,例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为 米，面积为S平方米。 (1)求S与 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积

2、.,(3) 由题意得：,因此当 =3时,所围成的花圃面积最大，为36平方米.,解得：,因为 ，所以当 时，随 的增大而减小,(2)当 时， ,当 4m时，,即围成花圃的最大面积为32平方米.,解：,(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为 m2,当 取何值时, 的值最大， 最大值是多少?,如果在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上，,变式探究一,如果把矩形改为如下图所示的位置，其顶点A和顶点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？,A,B,C,D,M,N,P,请一名同学板演过程,变式

3、探究二,如图,已知ABC是一等腰三角形铁板余料, AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截 出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?,变式探究三,某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有 的黑线的长度和)为15m. （1）用含 的代数式表示 ； （2）当 等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?,练习,例2.在矩形ABCD中，AB6 ，BC12 ，点P从点A出发沿AB边向点B以1 /秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2

4、 /秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就 停止移动，设运动时间为t秒（0t6)，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8 ； （2）设五边形APQCD的面积为S ， 写出S与t的函数关系式，t为何值时 S最小？求出S的最小值。,解：,解得：,运动开始后2秒或4秒时，PBQ的面积等于8 .,（2）由题意得：,当 时，,即 时， 有最小值，最小值为63,“二次函数应用” 的思路,1.理解问题;,2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;,3.用数学的方式表示出它们之间的关系;,4.运用数学知识求解;,5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.,归纳总结,1.

5、一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？,巩固练习,1.如图, 在RtABC中,ACB=90,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C),DEAC,交AB于E,设BD= ,ADE的面积为 . (1)求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围; (2) 为何值时,ADE的面积最大?最大面积是多 少?,拓展提升,D,.有一根直尺的短边长2 ，长边长10 ，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12 按图1的方式将直尺的短边DE放置在直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合若直尺沿射线AB方向平行移动，如图2，设平移的长度为 （ ），直尺和三角形纸板的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为S （1）当 =0时，S=_； 当 = 10时，S =_； （2）当0 4时，如图2，求S与 的函数