第6讲 排列与组合

1、第十四章 计数原理与二项式定理,第1讲,排列与组合,1分类加法原理与分步乘法原理 做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同 的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，第 n 类办法中 有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_,种不同的方法,m1m2mn,做一件事，完成它要分成 n 个步骤，在第一个步骤中有 m1种 不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，第 n 个步 骤中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_,种不同的方法,m1m2mn,2排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素

2、中取出 m 个元素的一个排列 (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的 个数，叫做从 m 个不同元素中取出 个元素的排列数，用 表,示，且,_.,3组合与组合数,n(n1)(n2)(nm1),(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表 示，且 _.,1已知集合 M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集 合 M、N 中各选一个数分别作为点的横坐标和纵坐标，则在第一、,二象限内不同的

3、点个数为(,),B,A4,B6,C8,D12,2(2010 湖北)现有 4 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲,座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(,),A54,B65,A,565432 C. 2,D65432,3(2011 年广东惠州调研)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人 参加迎新座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，不同的选,法共有(,),D,A40 种,B120 种,C35 种,D34 种,4从 5 名男同学，3 名女同学中选 3 名参加公益活动，则选 到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有_种(用,数字作答),45,5安排 7 位工

4、作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班，每人值 班一天，其中甲、乙二人都不安排在 10 月 1 日和 10 月 2 日不,同的安排方法共有_种,2 400,解析：共有 2 400 种不同的安排方法,考点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,例1：(1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位,数共有多少个？,(2)已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上,的点(a，bM), P 可表示平面上多少个第二象限的点？ 解析：(1)方法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8 的 情况分成8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8 个，7 个，6

5、 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个,由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：876,5432136(个),方法二：按个位数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成8 类，在每一类中 满足条件的两位数分别有1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，所以按分类计数原理共有：12345678 36(个),(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a 0，所以有3 种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2 种确定方法由分步计数原理，得到第二象限点的个数是326.,处理具体问题时，首先要弄清楚是“分类”还 是“分步”，分类时各种方法相互独立，用其

6、中的任一种方法都 可以完成这件事，分步时各个步骤相互依存，只有各个步骤都完 成了，这件事才算完成，简单地说是“分类互斥、分步互依”， 因此在解题时，要搞清题目的条件与结论，还要注意分类时，要 不重不漏，分步时合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰对于 复杂的题目，往往既要分类又要分步,【互动探究】 1如图 1411，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现 有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块,种不同的花，则不同的种法总数为(,),图 1411,A96,B84,C60,D48,解析：此题要先分类后分步，分以下两种情况：,若A，C 种相同的花，先确定A，C 的种法，再

7、依次确定B， D 的种法，由分步乘法原理，则有43336 种法； 若A，C 种不同的花，先依次确定A，C 的种法，再依次确定 B，D 的种法，由分步乘法原理，则有432248 种法,由分类加法原理，则共有 364884.故选B.,答案：B,考点 2 排列问题,例1：7 位同学站成一排照相,(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？,解题思路：(1)中我们先考虑甲

8、的位置，(2)(3)中先考虑甲、乙 的位置，再考虑其他人(4)中将甲、乙看成一个整体，与其他人 的排列，(5)中应先排其他人再排甲、乙(6)是一个定序问题，根 据对称性求解,排列组合中的一些基本方法：特殊元素优先考 虑；对于相邻问题，采用“捆绑”法；对于不相邻问题采用 “插空”法对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后 再除以定序元素的全排列,【互动探究】 2(2010 年四川)由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 1,2 都不与,A,5 相邻的五位数的个数是( A36 C28,) B32 D24,考点3 组合问题,例2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校的某,项

9、调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？,(1)无任何限制；,(2)甲、乙必须当选； (3)甲、乙都不当选；,(4)甲、乙只有一人当选； (5)甲、乙至少有一人当选； (6)甲、乙至多有一人当选,解题思路：此题不讲究顺序，故采用组合数,对于有条件的组合问题，可能遇到含有某个(些) 元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等 组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不 要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误,【互动探究】 3某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人 到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人,)

10、,B,来自 3 家不同企业的可能情况的种数为( B16 A14 C20 D48,4某校有 6 间不同的电脑室，每天晚上至少开放 2 间，欲求 不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：,的序号是_.,解析：(直接法)分为开放2 间，3 间，4 间，5 间，6 间五种情 况，又由组合数的性质则正确； (间接法)每间电脑室有开放和不开放两种状态，根据分步乘法 原理，则共有26 种情况，其中有开放 1 间电脑室的是不符合的， 故安排方案为267 种，则正确,关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧： 特殊元素(特殊位置)优先考虑；排列、组合混合问题先选后排； 相邻问题捆绑处理；

11、不相邻问题插空处理；“小集团”排 列问题先整体后局部；合理分类与准确分步； 正难则反，等 价转化,在排列组合的问题的中，以下几个问题是很多学生容易弄错,的：,处理问题时分类分的有重复或遗漏的，平均分组还是不平均,分组的区别；先组合后排列的思想的应用,第2讲,二项式定理,(a b)n _，所 表示的定理叫做二项式定理 2通项,r1,3二项式系数 式子_叫做二项式系数,1二项式定理,A10,B10,C5,D5,B,2(2010 年广东海珠一模)(x1)10的展开式中第 6 项的系数是,(,),D,3(2011 年重庆)(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5,与 x6 的系数相等，则 n(,)

12、,B,A6,B7,C. 8,D. 9,4,_(结果用数值表示),17,考点1 求二项展开式中待定项的系数或特定项,(1)求 n；,(2)求含 x2 的项的系数；,(3)求展开式中所有的有理项,【互动探究】,考点2 二项式展开式中的系数与二项式系数,15,A10,B20,C30,D120,B,【互动探究】,8,解析：令x1，则a0a1a2a3a120；令x 1，则a0a1a2a3a122416. 上面两式相加a0a2a10a128.故答案为8.,2(2010年广东揭阳二模)设(x1)4(x2)8a0 x12a1x11a11xa12，则a0a2a10a12_.,考点3 二项式展开式中的最值问题,(1)求 n 的值； (