2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§3

1、。 知识点一双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合PM|MF 1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c为常数且a0，c0. (1)当 2a|F1F2|时，P点不存在 知识点二双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2 1 (a0，b0) a2b2 y2x2 1(a0，b0) a2b2 图形 范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率 xa或xa，yR RxR R，ya或ya 对称轴：坐标轴对称中心：原点 A 1(a,0)，A2(a,0) b yx a

2、 A 1(0，a)，A2(0，a) a yx b c e ，e(1，)，其中ca2b2 a 线段A1A2叫做双曲线的实轴， 它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线 实虚轴的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线 的半虚轴长 a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0) -可编辑修改- 。 知识点三有关双曲线的计算、证明 1待定系数法求双曲线方程的常用方法 x2y2x2y2 与双曲线 221 共渐近线的可设为22(0)；abab bx2y2 若渐近线方程为yx，则可设为 22(0)；aab x2y2 若过两个已知点则设为 1(mn0，b0)的一条渐近线的斜

3、率为 a2b2 b a b2 a2 c2a2 2 e1. 2a 题型一双曲线的定义 4 例 1已知双曲线x1 的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上的一点 若|PF 1| |PF2|， 243 2 y2 则F1PF2的面积为() A48 C12 答案B 解析由双曲线的定义可得 1 |PF1|PF2| |PF2|2a2， 3 解得|PF 2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10， 由勾股定理可知PF 1F2为直角三角形， 因此S 1 |PF1|PF2|24. PF 1F2 2 B24 D6 感悟与点拨利用双曲线的定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清研究对象是整条 双曲线，还是双曲线的一

4、支 跟踪训练 1(1)已知圆C1：(x3) y1 和圆C2：(x3) y9，动圆M同时与圆C1及 圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_ -可编辑修改- 2222 。 (2)设过双曲线xy9 左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点 若 |PQ|7，则F2PQ的周长为_ 答案(1)x 1(x1)(2)26 8 解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 2 22 y2 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， |MA|MB|， |MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|20，b0

5、)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线 ab169 的离心率是椭圆离心率的2 倍，则双曲线的标准方程为_ (2)与双曲线x2y2 有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线的标准方程为_ 答案(1) 1(2) 1 4324 7 解析(1)椭圆 1 的焦点为F1( 7，0)，F2( 7，0)，离心率为e. 1694 22 x2y2y2x2 x2y2 -可编辑修改- 。 x2y2x2y2 由于双曲线 221 与椭圆 1 有相同的焦点， ab169 ab7. 22 a2b27 又双曲线的离心率e， aa 72 77 ， a42 222 a2，bca3， 故双曲线的标准方程为 1. 43 (2)x2y2

6、化为标准方程得 y1， 2 设与双曲线 y1 有公共渐近线的双曲线方程为 2 22 x2y2 x2 2 x2 2 x2 2 yk(k0)， 2 2 2 2 将点(2，2)代入得k (2) 2. 2 双曲线的标准方程为 1. 24 题型三双曲线的几何性质 y2x2 x2y2 例 3(1)(2017 年 4 月学考)过双曲线 221(a0， b0)的左顶点A作倾斜角为 45的直线 ab l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若ABBC，则该双曲线的离心率为() A5 C. 3 B. 5 D. 5 2 x2y2 (2)设双曲线 221(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是A 1，A

7、2，过 F作A 1A2的垂ab 线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为_ 答案(1)B(2)xy0 解析(1)由题意可知，设双曲线的右顶点为D，连接CD，由题意可知，|OA|OB|OD| a， -可编辑修改- 。 OB是ADC的中位线，则|CD|2a， 则C(a,2a)， 将C代入双曲线的渐近线方程yx， 整理得，b2a， b a c 则该双曲线的离心率e a b2 1 2 5，a 双曲线的离心率为 5，故选 B. b b (2)由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，Bc，Cc， aa b2 a 因为A1BA2C，所以1，整理得ab. ca ca 因此该双曲线的渐

8、近线方程为yx，即xy0. 感悟与点拨双曲线的几何性质的常考题型为求双曲线的渐近线和离心率 (1)对于双曲线的渐近线问题，注意公式中双曲线的焦点所在的坐标轴，当焦点在x轴上时， 渐近线方程为yx.当焦点在y轴上时，渐近线方程为yx. (2)对于双曲线的离心率问题，根据条件，建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后求 解即可 跟踪训练 3(1)(2018 年 4 月学考)双曲线x 1 的渐近线方程是() 3 1 Ayx 3 Cy 3x By 3x 3 2 22 b2 a b a b a a b y2 Dy3x x2y2 (2)设双曲线 221(ba0)的焦距为 2c，直线 l过A(a,0)

9、，B(0，b)两点，已知原点到 ab 直线l的距离为 3c，则双曲线的离心率为_ 4 答案(1)C(2)2 -可编辑修改- 。 解析(2)过点O作AB的垂线，垂足为E， 如图所示，在OAB中， |OA|a，|OB|b，|OE| 3 4 c， |AB|a2b2c. 因为|AB|OE|OA|OB|， 所以c 3 4 cab，即 3 22 4 (ab)ab， 两边同除以a2，得 3b 2 4 a b a 3 4 0， 解得b 3或b 3 aa3 (舍去)， 所以ec a2b2 2 aa2 1 b a 2. 一、选择题 2 1(2018 年 6 月学考)双曲线 x2y 169 1 的焦点坐标是() A

10、(5,0)，(5,0)B(0，5)，(0,5) C( 7，0)，( 7，0)D(0， 7)，(0， 7) 答案A 2已知双曲线x 2 2 a2y 1 的焦点坐标为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是( Ay 5xBy 5 5 x Cy 3 3 xDy 3x 答案C 解析由题意可知a212， a 3， -可编辑修改- ) 。 13 双曲线的渐近线方程为yxx. a3 3若双曲线 1 上点P到点(5,0)的距离为 15，则点P到点(5,0)的距离为() 169 A7 C5 或 25 答案D 解析双曲线 1， 169 2a8，(5,0)，(5,0)是双曲线的两个焦点， 点P在双曲线上，|PF1|PF

11、2|8， 点P到点(5,0)的距离为 15， 点P到点(5,0)的距离是 15823 或 1587. B23 D7 或 23 x2y2 x2y2 x2y2 4已知双曲线 2 1(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方a 4 程为() 5 Ayx 4 3 Cyx 4 答案D 解析由题意可知实轴长为 2a，虚轴长为 4，焦距长为 2a4， 因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列， 3 2 则 2a2a48，解得a ， 2 因此双曲线的方程为 1， 94 4 4 则双曲线的渐近线方程为yx. 3 2 4 Byx 5 4 Dyx 3 x2y2 x2y2 5设双曲线 1 的渐近线方程

12、为 3x2y0，则a的值为() a9 A4 B3 C2 D1 答案A 解析因为方程表示双曲线，所以an0)且渐近线方程为yx，则双曲线的焦点() A在x轴上 C在x轴或y轴上 答案A 解析因为mn0，所以点(m，n)在第一象限且在直线yx的下方，故焦点在x轴上 B在y轴上 D无法判断 x2y2 7(2016 年 10 月学考)设双曲线 221(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，以 F 1 为圆 ab 心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若|F1B|3|F2A|，则 该双曲线的离心率是() 543 A. B. C. D2 432 答案C 解析由题意知

13、|F1B|F1A|2c， |AF2|2c2a， 已知|F1B|2c3|AF 2|6c6a，即 4c6a， c3 得e . a2 x2y2 8若双曲线 221(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心ab 率为() A. 5 B5 C. 2 D2 答案A 解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为 又abc，5ac， 离心率e 5. 22222 b a bc 2a，解得b2a. 22ab c a -可编辑修改- 。 9设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB| 为C的实轴长的 2 倍，则C的离心率为() A. 2 B. 3 C2 D3

14、答案B x2y2 解析设双曲线的标准方程为 221(a0，b0)，ab 由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为xc或xc， x2y2 代入 221，ab c b 得yb 212，a a 22 2b2 2b y ，故|AB|. aa 24 2b 依题意，得4a， 2 a b2c2a2 2 22，2 e12，e 3. aa x2y2 10已知F1，F2分别是双曲线 221(a0，b0)的左、右焦点，l1，l2 为双曲线的两条渐 ab 近线， 设过点M(b,0)且平行于l1的直线交l2于点P.若PF1PF2， 则该双曲线的离心率为() A. 3 C. 142 41 2 B. 5

15、D. 142 41 2 答案B 解析根据题意可得F1(c,0)，F2(c,0)， 双曲线的渐近线方程l2为yx， 直线PM的方程为y (xb)， 联立，可得x ， 2 b a b a b -可编辑修改- 。 b b P， 22a b b b b F1Pc，F2Pc， 2a2a22 PF1PF2，F1PF2P0， 22 2 b bb b c， c，0， 2a 22a2 b4 c 20， 44a 2 22 b2 又abc，b4a，c5a， e 5，故选 B. 二、填空题 11已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率 为_ 答案3 2222222 c a -可编

16、辑修改- 。 12设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2y1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的方程为_ 答案 22 x2 2 y1 2 解析由题意知，双曲线 1 的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，离心率e 2. 11 22 x2y2 x2y2 设椭圆的标准方程为 221(ab0)ab 又c1， c a 2， 2 22 a 2，bac1， 椭圆的方程为 y1. 2 x2 2 x2y2 13已知双曲线 221(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M，N ab 两点，O为坐标原点若OMON，则双曲线的离心率为_ 答案 1 5 2 解析设右焦点为F，由条件可得

17、b21 51 5 222 |MF|OF|， 即 c， 则caca0， 即ee10， 解得e.由e1可得e. a22 x2y2 14已知双曲线 221(a0，b0)的一条渐近线垂直于直线 l：x2y50，双曲线的一 ab 个焦点在l上，则双曲线的方程为_ 答案 x2 5 1 20 y2 解析由题意得 2，即b2a， 又焦点(c,0)在x2y50 上，所以c5， 双曲线中abc，解得a 5，b2 5， 所以双曲线的方程为 1. 520 15已知A，B，P为双曲线x 1 上不同的三点，且满足PAPB2PO(O为坐标原点)， 4 2 222 b a x2y2 y2 直线PA，PB的斜率记为m，n，则m

18、 的最小值为_ 4 答案4 -可编辑修改- 2 n2 。 解析由PAPB2PO知点O为线段AB的中点， 设A(x1，y1)，P(x2，y2)， 则B(x1，y1)，所以m 2 y 2y1 y 2y1 ，n， x 2x1 x 2x1 2 y2y1y2y1y2y1 故mn 22， x2x1x2x1x2x1 由于点A，B，P在双曲线上， 所以x 1，x 1， 44 代入上式中，有mn4， 1 22 y2y1 4 所以m 2 4 三、解答题 2 2y2 2y1 2 1 y2 1 2 2 y2 2 n2 mmn4(当且仅当n24m2时等号成立)，故最小值为 4. 4 2 n2 x2y2 16已知F1，F2分别是双曲线C： 221 的左、右焦点，若 F 2 关于渐