规模经济和垄断竞争下的D-S模型

1、规模经济和垄断竞争下的DS模型,第三组：张晓 袁璐 余佳莹 黄蓉 田银欢 王立斌,一、模型的微观基础,1.已知效用函数 ,预算约束 ,证明：在约束效用最大点，价格比率 / 一定等于边际效用比率 。,证 (1.1) (1.2) (1.1)中的 , 及（1.2）中的 由（1.1）,由（1.2）， 于是，,2.给定一个柯布-道格拉斯生产函数 .预算约束 证明成本最小时的输入比率为 证：利用拉格朗日函数法， 由 (2.1)及 (2.2) 整理，,（2.2）,（2.1）,由于 及 ,所以， (2.3),3.对于一个线性的柯布-道格拉斯生产函数 ,证明： (资本产出弹性)， (劳动产出弹性)。 证 由产出

2、弹性定义， 及 因为 求边际函数，,求平均函数, 然后，用平均函数分别去除边际函数，得到弹性，,4. 方程 2.3（ 及 ） 给出了广义柯布-道格拉斯生产函 数最小成本输出比率。证明：任何广义柯布-道格拉斯生产函数有单一替代弹性，即 =1。 证 替代弹性被定义为：由于价格比 微小的变化率所引起的最低成本比 的变化率。 (4.1),因为（2.3）中的和为常数，而PK和PL为自变量，K/L可以视为PK/PL的函数 注意到（4.1）的第二个比率中，=边际函数、平均函数，首先（2.3）的边际函数为,然后，两边同时除以 ，求（2.3）的平均函数， 代入（4.1），,5.利用（2.3）给出的柯布-道格拉斯

3、生产函数的最低成本比率（ ） 检验答案，其中 证 因为 ，由（2.3） 资本和劳动必须以16K：15L的比率使用。,二、 CES 生产函数,CES生产函数,不变替代弹性生产函数(Constant Elasticity of Substitution，缩写为CES)，是指在生产要素投入之间具有不变的替代弹性这样一类生产函数。其一般形式为,式中，Q代表产出,K为资本投入,L为劳动投入。A、为参数，它们满足A0、01、-1的条件。,CES生产函数有两个重要特性： （1）它是一次齐次的； （2）它有不变的替代弹性。,1.已知CES函数, ,回忆问题1的结论：如果函数达到最优，则价格比等于边际产品之比。

4、（a）证明CES生产函数的替代弹性为常数，（b）确定的取值范围。,证明：（a）根据提示，函数达到最优投入的条件是价格比等于 边际产量之比, ,利用广义幂函数法则求式的一阶导数，,为了计算方便，令,则, ,根据式，函数达到 最优投入的条件是 价格比等于边际产量之比,由于和为常数，正如问题4一样，将K/L视为PL/PK的函数。我们知道函数的边际函数与平均函数之比为替代弹性，,则边际函数为,平均函数为,由式，, , ,（b）由（a） 得 ，而 的取值范围是 -1， 若-11; 若=0， 则=1； 若0 , 则1。,将两式相比，得到替代弹性,因为 为已知参数，所以,为常数。,2.证明CES生产函数是次

5、数为1的齐次函数，从而是规模报酬不变的。,用t乘以K、L,从而证明CES生产函数是次数为1的齐次函数，即是规模报酬不变的。,证明: 由,三、规模经济和垄断竞争下的DS模型,模型背景,自第二次世界大战之后,随着科学技术的进步和生产力的不断发展以及国际政治经济形势的相对稳定,国际贸易的规模越来越大,国际贸易的商品结构和地区分布与战前相比发生了很大变化:经济发展水平相似的发达国家之间的贸易比重大大提高,占世界贸易总额的比重高达70%以上;具有相似特征的同类产品之间的贸易额大幅增加,出现了很多同一行业既出口又进口的双向贸易即产业内贸易。 传统贸易理论模型(主要是李嘉图理论与HOS模型)l基于国家之间在

6、生产技术(生产率)或要素察赋方面的差异讨论的国际贸易已经无法解释要素禀赋十分接近的产业内贸易。因此，经济学家开始引入非完全竞争的市场结构、规模报酬递增生产技术和产品差异等因素,提出了新贸易理论来设法揭示产业内贸易的产生，而DS模型正为该理论提供了简洁的基本方法。,模型假设,1.企业规模经济 2.行业垄断竞争 3.行业内产品具有不变替代弹性,消费者市场均衡,1.引入CES效用函数 假设存在大量的潜在产品种类,并且消费者对这些产品的需求是对称的,所有经济体中的个体消费者都具有相同的效用函数。,由于效用函数是对称的，因此在市场均衡时，消费者具有相同的价格和消费量，且假设预算约束E。,1 (1),将预

7、算约束代入（1）式,结论：产品种类越丰富，也就是说消费者偏好尽可能多的产品，效用也越大。,(2),2.消费者效用最大化,根据上式，构建拉格朗日函数：,分别对产品变量i和j求偏导：,对于产品i,对于产品j,两式相除可得：,(3),对两边分别取对数：,结论： 不仅是产品之间的替代弹性也是需求的价格弹性。,(4),(5),对（3）式两边同乘Pi,为了求出j产品的需求函数，对产品i在0到n的区间上进行积分：,(6),结论：pj自身价格越高，这Yj的消费越少，P为综合价格，综合价格越高，对Yj的需求越大。,将（7）式代入（6）式，,定义综合价格指数：,(7),(8),对（6）式改写为：,两边同时对j产品

8、在0到n上进行积分：,3.间接效用,(9),结论：间接效用随着综合价格的上升而下降。,因为对称性假设pi=p,我们可以将（7）式改写为：,结论：综合价格指数随着产品种类的增加而上升，进而引起间接效用的增大。,生产者市场均衡,假定有n个厂商生产不同的产品，每个厂商对其所生产的产品具有垄断性。 对于厂商j有如下成本函数： 其中,(10),该成本函数具有以下特征： a.劳动投入是影响产量的唯一因素，劳动报酬等于工资率w。 b.厂商具有不变的固定成本F和边际成本c。 c.成本函数是次加性的，即存在规模经济。,也就是说对于每一种产品只有唯一一个生产商。,1.利润最大化问题（PMP）,考虑到消费者的需求，

9、每一垄断厂商将设定一个 价格。 对于垄断厂商j其利润函数为：,(11),因此，厂商j的利润最大化问题可表示为： Max s.t.,对上式求 的导数（FOC）：,（12）,结论： a.每个垄断厂商面临着同样的均衡价格 b.当价格高于边际成本时，厂商即可获利。利润随着替代弹性的增大而减少，当替代弹性趋于无穷大时，厂商的均衡价格就等于边际成本，也即为垄断竞争的最优均衡。,而这正与我们之前所熟知的垄断厂商的定价规则一致： 是替代弹性的绝对值。,2.均衡产出,首先，我们用公式（12）来重新改写公式（11）的利润函数： 假设厂商自由进入（边际厂商的净收益为零），每个垄断厂商都是零利润经营，即,整理上式我们可得均衡产出式： 等式（13）表明对于所有的垄断厂商均衡产出是一样的。 由于效用函数和成本函数都是对称的，在市场均衡时，每个厂商具有相同的均衡产量、面对同样的均衡价格。,（13）,3.均衡产品种类,为了得到均衡的产品种类，我们假设劳动力市场是确定的： 对（14）两边同乘w后作变形可得： 这个表达式可以直观的看出，因为劳动投入是影响产出的唯一因素，所以