线性系统的能控性与能观测性

1、1,第4章 线性系统的能控性与能观测性,本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。,2,4.1 能控性和能观测性的定义,4.2 线性连续系统的能控性判据,4.3 线性连续系统的能观测性判据,4.

2、5 能控规范型和能观测规范型,第4章 线性系统的能控性与能观测性,4.4 对偶性,4.6 连续时间线性时不变系统的结构分解,3,4.1 能控性和能观测性的定义,一能控性与能观测性的物理概念,系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。,能控性问题:已知某系统的的当前时刻及其状态,试问是否存在一个容许控制,使得系统在该控制的作用下于有限时间后到达某希望的待定状态?,能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输入输出,试问可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态?,4,例4-1：给定系统的状态空间描述为,结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1

3、和x2，所以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。,图4-1 系统结构图,5,二 能控性定义,1状态可控,考虑n维线性时变系统的状态方程,如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态x(t0) =x0，存在一个时刻 和一个无约束的容许控制u(t)， ，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.,6,2系统可控,如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（ ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。,考虑n维线性时变系统的状态方程,7,

4、3系统不完全可控,对于线性时变系统 取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。,8,4状态可达与系统可达,对于线性时变系统 若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。 若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。,9,三能观测性定义,1系统完全可观测,对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输

5、出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统在t0, t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在t0, )内是完全可观测的。,10,2系统不可观测,对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在t0, t1内是不完全可观测的，简称不可观测。,11,线性定常系统为完全能控的充要条件是， 存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 非奇异。,4. 2 线性连续系统的能控性判据(),一、线性定常连续系统

6、的可控性判据（）,1格拉姆矩阵判据,注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。,12,证：充分性：已知W0, t1为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为：,则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:,这表明：对任一取定的初始状态x00 ，都存在有限时刻t10和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。,13,必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 ，使,其中|为范数，故其必

7、为非负。欲使上式成立，必有,14,因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有,0,此结果与假设 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。,15,2 秩判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是：,能控判别阵,能控性判据,补充: 秩判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是： 其中:,16,证明：充分性：已知rankQ=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：,为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量使,将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则可得到:,17,由于0，所以上式意味着S为行线性相关的，即rank

8、Sn 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。,必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n ，采用反证法。反设rankSn ，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常向量 使 成立。,18,（由凯莱哈密尔顿定理）,19,因为已知0 ，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0, t1)为奇异，即系统为不完全可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有rankS=n ，必要性得证。,20,例4.4：已知 判断其能控性。,解：系统阶次,，确定出可控判别阵,，所以系统为完全可控。,21,例：判断下列系统的可控性,解：,矩阵的第二行与第三行线性相关，故rank

9、Q =23，系统不可控。,22,例：用可控性判别矩阵 判别上例所示系统的可控性。,解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。,显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关， 故 ，系统不可控。,23,3PBH秩判据（）,线性定常系统,完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值 ，,均成立，或等价地表示为,注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。,24,证明： ，为多项式矩阵，且对复数域上除i以外的所有s都有det(sI-A)0，即ranksI-A=n，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明 即可。,必要性：系统完全可控，欲证上式成

10、立，采用反证法。,反设对某个i 有rankiI A B n，则意味着 iIA B为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使,成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：,25,进而可得:,于是有,因已知0，所以欲使上式成立，必有,这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。,充分性：已知式rankiI A B=n成立，欲证系统完全可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证得充分性。,26,例4.7：已知线性定常系统状态方程为,判断系统的可控性。,解：根据状态方程可写出,27,特征方程：,解得A的特征值为：,1）当 时，有,28,2）当 时，

11、有,3）当 时，有,所以系统是完全可控的。,29,4PBH特征向量判据,线性定常系统,完全可控的充分必要条件是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足,的特征向量 。,注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。,30,证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向量0，使式 成立，则有,由于0 ，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankSn，即系统为不完全可控。与已知条件相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。,充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反的思路来进行，具体推证过程略去。,31,5约当规范型判据,1）对角规范

12、型系统(无重特征值)可控性判别（）,当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型,中， 不包含元素全为零的行。,32,例：已知线性定常系统的对角线规范型为,判断系统的可控性。,解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行，故系统完全可控。,33,2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别,当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。,34,例4.9：已知约当规范型系统如下：,试判断其可控性。,解： ， ，均行线性无关， 所以：系

13、统完全可控。,35,例：证明如下系统总是完全可控的。,证明：,，故完全可控。,该题说明：可控标准型系统完全可控。,36,能控性指数,引理：对矩阵 ，若 与其左边各列相关，则所有的列 均 相关于各自左边的列。,对线性定常系统，定义nkp矩阵：,37,能控性指数：矩阵 的秩随着k单调增加，直 至k=。在k时， 的全部p个列将线性 相关于它的左边各列，此时 的秩不再增加， 即,称为系统的能控性指数。,38,定理：能控性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数， ，n为系统的阶次。,39,定理：线性定常系统完全能控的充要条件是：,注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。

14、,其中：,40,三 线性时变系统的能控性判据,1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充要条件是， 存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆 矩阵 非奇异。,41,2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充分条件是， 存在一个有限时刻 ，使下式成立,能控性判据,42,4. 3 线性连续系统的能观测性判据(),一线性定常连续系统的能观测性判据,1. 格拉姆矩阵判据,线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵 为非奇异。,注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。,43,2. 秩判据（）,线性

15、定常系统 完全可观测的充分必要条件是: 或,其中：n是系统的维数， 称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。,44,例：判断下列系统的可观性：,(1),解：(1),系统不完全可观测,(2),(2),系统完全可观测,45,例：证明如下系统总是完全可观测的。,证明：,系统是完全可观测的。,该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。,46,补充：可观测性判别矩阵 （）,线性定常连续系统的状态方程,其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；A和C分别为(nn) 和(qn)常阵。该线性定常连续系统完全可观测的充要条件是：,其中：,适用于多输出系统,47,例：判断系统的可观性。,解：系统输出向量是2维的

16、列向量，即q = 2。,故 ，系统完全可观测。,48,3. PBH秩判据 （）,线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值 ，均有,成立。或等价地表示为,49,4. PBH特征向量判据,线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是：A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 ，使同时满足,的特征向量 。,注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中。,50,5. 约当规范型判据,1）对角规范型系统(无重特征值)可观测性判别（）,当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统 完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型,中， 不包含元素全为零的列。,51,例：已知

17、线性定常系统的对角线规范型为,判断系统的可观测性。,解：由于此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统完全可观测。,52,2）约当规范型系统(有重特征值)可观测性判别,当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统 完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。,53,例4.15：约当标准型系统如下：,试判断其可观测性。,解：,所以：系统完全可观测。,是列线性无关的；,是列线性无关的；,54,完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。,例：设完全可控且完全可观测的子系统为,求出并联组合系统的状态

18、空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。,55,解：子系统并联组合后的系统,可控性判别矩阵：,56,可观性判别矩阵,该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。,57,能观测性指数,对线性定常系统，定义kq n 矩阵：,能观性指数：矩阵 的秩随着k单调增加，直 至k=。在k时， 的秩不再增加， 即,称为线性定常系统的能观测性指数。,58,定理：能观测性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数， ，n为系统的阶次。,59,定理：线性定常系统完全能观的充要条件是：,定理：线性定常系统的能控性指数和能观测 性指数在状态的非奇异变换下保持不变。,60,三 线性时变系统的能观测性判据,1 格拉姆矩

19、阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充要 条件是，存在一个有限时刻 ， 使如下定义的格拉姆矩阵 非奇异。,61,2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充分 条件是，存在一个有限时刻 ， 使下式成立,62,能控性,能观性,意义,代数判据,rankB AB An-1B=n,rankC AC (A)n-1C=n,模态判据1,同一特征值的约旦 块对应B的分块的 最后一行是否相关,同一特征值的约旦 块对应C的分块的 第一列是否相关,rankI-A B=n ,rankI-A C=n ,模态判据2,从前面的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似

20、。这种相似关系可以总结成下表:,4.4 对偶性,63,一 对偶系统,考虑线性时变系统,线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：,式中：-n维行向量，协态；-输出，p维行向量； -输入，q维行向量。,（1）,（2）,显然,若系统(A,B,C)是一个p维输入,q维输出的n阶系统, 则其对偶系统是一个q维输入,p维输出的n阶系统。,64,下图是对偶系统和 的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意味着输入端与输出端互换; 信号传递方向的相反; 信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。,65,二 对偶原理,对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：,线性时变系统的完全能控等同于其对偶系

21、 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控。,66,补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a，b，c取值范围,（1）,（2）,ac0, b任意,a,b,c为任何值 都不能控,67,例: 已知系统的传递函数为,设系统状态完全可控且完全可观, 试求a的范围。,解：可控标准型实现，检查可观性：,68,解,得 a1 = 1； a2 = 2； a3 = 4；,答案：只需a1 1 、 a2 2 和 a3 4 。,69,4.5 能控规范形和能观测规范形,一 单变量系统的能控能观规范形,1 非奇异线性变换的不变特性,系统经过非奇异线性变换后，不会改变系统原有特性(包括系统特

22、征值、传递函数矩阵、可控性、可观性、能控性指数和能观性指数等)，这就是所谓的非奇异线性变换的不变特性。,70,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为可控规范形。,2 能控规范形,71,结论：对于完全能控的单输入单输出系统,设系统的特征多项式为,引入非奇异线性变换阵P-1：,72,作变换 ，即可导出可控标准型为：,式中：,其中：,73,证明：,1）系统完全可控，必有,所以向量 是线性无关的。,取变换矩阵为,式中： ，有,74,所以：,由于S和都是线性无关的，显然向量 也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到,75,书写成矩阵形式为：,所以：,76,2）

23、记变换矩阵P的行向量为pi，因PQ = I，即,故：,3）对于向量 ，由 计算得,77,3 能观测规范形,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状 态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为能观测规范形。,78,结论：对于完全可观测的单输入单输出系统,引入非奇异线性变换阵P ：,79,作变换 ，即可导出可控标准型为：,式中：,其中：,80,1 搜索线性无关行或列的方案,考虑n维多输入-多输出线性定常系统,其能控判别阵能观判别阵分别为：,寻找线性 无关的列,寻找线性 无关的行,81,(1) 列向搜索方案,搜索步骤： 第1步：对栅格图的左第1列，若 非零，在 乘积 格内划。转入下一格，若 和 线

24、性无关，则在其格内划。如此等等，直到首 次出现 和 线性相关，在其 格内划，并停止第1列的搜索，得到一组线性 无关的列向量为： ，长度为 。,82,第2步：向右转入第2列，若 和 线性无关，则在其格内划。 转入下一格，若 和 线性无 关，则在其格内划。如此等等，直到首次出现 和 线性相 关，在其格内划，并停止第2列的搜索，得到一组线 性无关的列向量为： ，长度为 。,83,第l步：向右转入第l列，若 和 线性 无关，则在其格内划。如此等等，直到首次出 现 和 线性相关，在其格内划，并停止第l列的搜索， 得到一组线性无关的列向量为： 长度为 。,84,第l+1步：若 停止计算。并 且，上述l组列

25、向量即为按列向搜索方案找到的 中n个线性无关列向量。,85,(2) 行向搜索方案,搜索步骤： 第1步： ，即B中有r个列是线性无 关量。对栅格图的第1行，若 非零，在 格内划。由左至右找出r个线性无关向量： 并在对应格内划。,86,第2步：转入第2行，从 格到 由左至 右进行搜索。若线性相关则在其格内划，否 则划。,第l步：转入第l行，从 格到 由左至 右进行搜索。若线性相关则在其格内划，否 则划。,87,第l+1步：若至此找到n个线性无关列向量， 则结束搜索。栅格图中划格对应的列向量组 就是按行向搜索方案找到的 中n个线性无关 列向量。,88,2 旺纳姆能控规范形,考虑多输入-多输出线性定常

26、系统,得到 中n个线性无关的列向量（列向搜索）：,其中,其中,89,进一步可导出：,基于此，定义相应的基组为：,90,表示：,基于此，定义相应的基组为：,91,依此类推，直到：,基于此，定义相应的基组为：,在各基组的基础上，得到非奇异变换阵：,92,结论：对完全能控的多输入-多输出线性定 常系统，引入非奇异变换 ，可导出其 旺纳姆能控规范形为：,93,94,结论：对完全能观的多输入-多输出线性定常系 统，利用对偶性原理，则可导出其旺纳姆能观规范形为：,3 旺纳姆能观规范形,95,96,4 龙伯格能控规范形,考虑完全能控的多输入-多输出线性定常系统,得到 中n个线性无关的列向量（行向搜索）：,其

27、中,97,令：,取P的每个块阵中的末行构成变换阵S:,98,结论：对完全能控的多输入-多输出线性定 常系统，引入非奇异变换 ，可导出其 龙伯格能控规范形为：,99,100,结论：对不完全能控的系统，引入线 性非奇异变换 ，即可导出系统按 能控性结构分解的规范表达式,一 线性定常系统按能控性的结构分解,101,nn非奇异变换矩阵P-1的构造方法：,1）从可控性判别阵 中任意的选取k个线性无关的列向量，记为 。 2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k)个列向量记为 ，使它们和 线性无关。 这样就可以构成nn非奇异变换矩阵,102,展开写有：,令 ，则可定义可控子系统动态方程为：,不可控子

28、系统动态方程为：,103,图4.6 可控性规范分解方框图,104,1）由于,系统结构可控性分解特点,105,因而k维系统 是可控的，且和系统 具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分析子系统 来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。,106,2）输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性。,3）由于在选取非奇异变换矩阵 时，列向量 和 的选取不具有唯一性，虽然可控性规范分解的形式不变，但各系数矩阵因P-1的差异而不同，即可控性规范分解结果不唯一。,107,4）系统的特征多项式可分

29、解为：,表明不完全可控系统的特征值由两部分组成：一部分为 的特征值，称为系统的可控振型；另一部分为 的特征值，称为系统的不可控振型。外部输入u的引入只能改变可控振型的位置，而不能改变不可控振型的位置。,108,例： 已知系统（A,b,c），其中,试将系统作可控性规范分解。,解：1）可控性判别矩阵,故系统不完全可控。,109,2）从 中选出两个线性无关的列向量 和 ，附加任意列向量 ，构成非奇异变换矩阵P-1：,则：,110,即可得到系统按可控性分解的规范表达式为：,故可控子系统动态方程为：,不可控子系统动态方程为：,111,例4.24：给定线性定常系统(A,B,C)，其中,试对系统作可控性规范

30、分解。,解：已知 ，由于 ，故只需判断 是否为行满秩。,系统不完全可控。,112,从可控性判别阵中取线性无关的向量q1, q2，再任取q3，构成非奇异线性变换矩阵：,于是：,113,可控子系统的动态方程为：,不可控子系统的动态方程为：,114,结论：对不完全能观的系统，引入线 性非奇异变换 ，即可导出系统按 能观性结构分解的规范表达式,二 线性定常系统按能观性的结构分解,115,变换矩阵的构成：从 中任选m个线性无 关的行向量： ，又在n维向量空间 中任选n-m个与之线性无关的行向量： ，组成变换矩阵,116,展开写有：,则可观测子系统动态方程为：,不可观测子系统动态方程为：,117,图4.7 可观测性规范分解方块图,118,例： 试将如下系统按可观测性进行分解。已知系统(A,B,C)，其中,解：n=3，系统的可观测性判别矩阵为：,故系统不完全可观。,119,从中选取两线性无关行向量 和 ， 再选取一个与之线性无关的行向量 ，构成非奇异线性变换矩阵：,则：,120,即可得到系统按可观测性分解的规范表达式：,可观测子系统动态方程为：,不可观子系统动态方程为：,121,三 线性定常系统的一般结构分解,对多输入-多输出线性定常系统