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4-2 柯西中值定理与洛必达法则,定理1 (柯西中值定理),思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个c 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,证,作辅助函数,即定理结论成立 .,证毕,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,如果当 时，两个函数 的极限都为零或都趋于无穷大，极限,求未定型极限的洛必达法则.,首先解释什么是未定型.,可能存在，也可能不存在,通常称比式 是 型未定式.,定理2 (洛必达法则),证:,补充定义,在该邻域内任取,于是，由定理所给条,证毕.,例1 求极限,解,例2 求,解,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,定理 3,证明略,定理 4,证明略,例1 证明,证,证明,证,其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,补例 求,解 原式,解 原式,例5 求,通分,取倒数,取对数,通分,例5 求,例4. 求,解,利用前 例,通分,取倒数,取对数,总结为：,呈,两边取对数，得,取极限，得,化为,补例,求,解,注意 (1) 如果极限 不存在，不能断定,也不存在，此时不能使用洛必达法则.,例如,极限不存在,例3.,例4.,例如,而,用洛必达法则,(2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达

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