7.离散时间信号与系统z域分析

1、第7章 离散时间信号与系统的Z域分析,7.1 离散信号的Z变换,7.4 Z变换与拉普拉斯变换傅里叶变换的关系,7.3 Z变换的基本性质和定理,7.2 Z反变换,7.5 序列的傅里叶变换的定义和性质,7.6 利用Z变换求解差分方程,7.7 离散系统的系统函数和频率响应,7.8 离散系统的信号的流图, 7.1 离散信号的Z变换,x(n)的单边z 变换:,7.1.1 z 变换的定义,x(n)的双边z 变换:,7.1.2 Z变换的收敛域,1预备知识 1）收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,2) 阿贝尔定理:,满足0|z|R的z,级数必绝对收敛。R为最大收敛半径。,级数,在,处收敛,那么,同

2、样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 R为最小收敛半径。,1).有限长序列,2 不同序列的收敛域,2) 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,第一项为有限长序列,其收敛域为|z|; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。,3)左边序列,第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .,4)双边序列,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列 和右边序列之和。,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序

3、列(因果)其收敛域为：,当Rx-Rx+时，其收敛域为,其收敛域应包括 即充满整个Z平面。,7.1.3常用序列的Z变换 1、单位样值序列,当时，这是无穷递缩等比级数。,2）指数序列,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,收敛域为,3) 阶跃序列,同样的，当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,4)反向指数序列,5)斜变序列,已知：,两边同时乘以z-1 ，可得, 7.2 Z反变换,7.2.1部分分式展开法,1z变换式的一般形式,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，MN时，才存在Bn；Zn为X(z)的各单极点， Z0为X(

4、z)的一个r阶极点。而系数An，Cn分别为：,解：,的z反变换。,例 利用部分分式法，求,7.2.2幂级数展开法,（是一个z 的幂级数）,例 试用长除法求,收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点 z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。,7.2.3留数法 由留数定理可知：,为c内的第n个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。,2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：,留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：,7.3 Z变换的基本性质和定理,1线性性质,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,线性组合中某些零点

5、与极点相抵消， 则收敛域可能扩大。,例 已知,求其z变换。,2 时移性质,（1）双边z 变换,若,Z,则,Z,Z,原序列不变，只影响在时间轴上的位置。,（2）单边z变换,若x(n)为双边序列，其单边z变换为,1) 左移位 若x（n）是双边序列，,1) 右移位 若x（n）是双边序列，,3) 若xn是因果序列，右移序列的单边z变换为,左移序列的单边z变换不变，仍为,Z,例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,3. 尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,如果,，则,证明：,5. 共轭序列,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：

6、,7. 初值定理,证明：,8. 终值定理,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,9. 有限项累加特性,证明：,10.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例：,其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）,11.序列相乘(Z域卷积定）,例：,如果,则有:,12.帕塞瓦定理,其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）, 7.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,7.4.1Z变换与拉普拉斯变换的关系,1

7、.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则,序列x(n)的z变换为 考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：,因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。,(1).r与的关系,= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行

8、实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.,(2).与的关系（=T）,7.4.2 Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j的特例, 因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。,用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。, 7.5 序列的傅里叶变换的定义和性质,7.5.1序列的傅氏变换的定义,正变换:,反变换:,（1）周期性,1)周期性 由序列的傅立叶变换

9、公式： 其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。,7.5.2序列傅氏变换的性质,（2）DTFT的线性,设 那么 式中a和b为常数。,（3）DTFT 的时移和频移特性,( 4 )对称性 共轭对称序列 设一复序列，如果满足 则称序列为共轭对称序列。,设一复序列，如果满足 则称序列为共轭反对称序列,任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和,其中，,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,3.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,4.序列的奇部的

10、傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j,证明：,（5）时域卷积定理,设 则,（6）频域卷积定理,设 则,1周期序列的傅里叶级数,对上式进行抽样，得：,导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：,7.5.3周期序列的离散傅里叶级数和傅里叶变换表示式,因 是离散的，所以 应是周期的。,，代入,而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。,又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在n=0,1,., N-1求和与在n=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。,的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：,的DFS,通常将定标因子1/N 移到 表示式

11、中。 即：,7.6 利用Z变换求解差分方程,1 零输入响应的Z域求解,对方程做Z变换,例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： 初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响y(n)。,2 零状态响应的Z域求解 n阶线性时不变离散系统的差分方程：,对方程做Z变换,例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： 且 求零输入y(n),3全响应的Z域求解 n阶线性时不变离散系统的差分方程：,对方程做Z变换,则方程两边取单边Z变换：, 7.7 离散系统的系统函数和频率响应,系统函数H(z)与单位样值响应h(n)是一对z变换。,对上式取z逆变换：,7.7.1因果稳定系统,对于稳定系统，只要输入是有界的， 输出必定是有界的。,时域稳定性判据:,稳定性定义：,离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。,离散系统稳定的充分必要条件：H(z)的收敛域必须包含单位圆。,对于因果系统，系统稳定的充要条件为：,H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内: 。,z域： 收敛域在圆外,系统因果性的判断方法,因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|， 也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为,上式两边取z变换得,7.7.2系统函数与差分方程的关系,若x(