排列组合问题教案

1、排列组合习题课,高志才,4 简单计数问题,排列组合应用题的主要类型和常用方法 排列组合应用题大致可分为三大类：不带限制条件的排列或组合题，带有约束条件的排列或组合题；排列与组合的综合题解此类问题常用的方法有：(1)相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，就是将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列，分作两步(2)元素间隔排列应用题，一般采用“插空法”,(3)含有特殊元素和特殊位置的排列，组合应用题，常采用“特殊元素法”，从元素为主出发，先安排特殊元素；从位置为主出发，先安排好特殊位置上的元素，结合排除法解决此类问题(4)指标问题采用“隔板法”(5)有关“分堆”与“到位”应用问

2、题常采用“分组法”与“分配法”若只分堆，不指定到具体位置，则需注意平均分的情况(6)相邻类排列应用题常采用“捆绑法”解决，就是将几个相邻元素先抽出进行排列再将它们视为一个元素参与下一步的排列，此法是法(1)的逆向思维应用,排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法，求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数

3、原理还是分步计数原理：然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答,典型问题的典型解法,相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 间隔问题分析法 定序问题空位法 相同名额的分配的问题插板法 不同元素的平均分组的问题 平均分成几组就除以几的阶乘,4个男同学，3个女同学站成一排 (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？,【尝试解答】(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法,1对于

4、有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法,在本例中，条件不变，把第(1)、(2)小题改为下面两问题： (1)甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (2)若甲乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？,(2013汕头质检)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”现从1，2，3，4，5，6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三

5、位数，其中“伞数”有() A120个 B80个 C40个 D20个,【答案】C,男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)至少有1名女运动员； (2)既要有队长，又要有女运动员 【思路点拨】第(1)问可以用直接法或间接法求解第(2)问根据有无女队长分类求解,1本题中第(1)小题，含“至少”条件，正面求解情况较多时，可考虑用间接法第(2)小题恰当分类是关键 2组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取

6、(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解,热点分类突破,本讲栏目开关,热点分类突破,本讲栏目开关,热点分类突破,本讲栏目开关,热点分类突破,本讲栏目开关,热点分类突破,本讲栏目开关,思路导引(1)取出的4张卡片所标的数字之和等于10，注意到：12341144223310，据此进行分类，又取出卡片还要排序，因此这是排列与组合的综合问题 (2)一般地，解答排列与组合的综合问题，是先选元素(组合)再排元素(排列)，本题的求解有两处难点，一是如何分类，分成几类，这里“数字之和为10”即为问题的突破点；二是选出满足条件的卡片后还需排列，这是易错点,答案：432,

7、解决排列、组合综合问题要遵循的原则： (1)按事情发生的过程进行分步： (2)按元素的性质进行分类 特殊元素优先法 特殊位置优先法 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数,1有五张卡片，它们正、反面上分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起，组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？,思路导引(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是不均匀分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”

8、、“1、1、4型”，(6)实质为全排列,(1)解决此类问题要分清是分组问题还是分配问题 (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： 完全均匀分组，每组的元素个数均相同；,2将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有多少种？,思路导引以多面手入选的人数为分类标准分类求解,对于多个限制条件的组合问题，要以其中的某个条件为主去进行分类，然后再考虑其余的限制条件，分类要不重不漏,3赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？,2A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在

9、A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 () A24种 B60种 C90种 D120种 【答案】B,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.,题型四、指标问题采用“剪截法（档板法）”：,解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将16个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有

10、455种 .,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.,解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将10个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有84种 .,【练习】 把9个相同的小球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放

11、入球的个数不小于其编号数，则不同的方法种数有 种。,化归成典型问题,编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.,错位法：,特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.,例5. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.,解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有,种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.,故所求方法有159135种.,【思考题】 7个人坐成一排，要调换其中三人的 位置而其余四人不动，有 种不同的调换方法 ？,【

12、例1】 如图，在某城市中，M、N 两地之间有整齐的道路网 （图中正方形的每一条边都表示一条街道）。则从M到N的最短路径有 条。,捷径问题,【例1】（08，重庆卷) 某人有4种颜色的灯泡（每 种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6 个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯 泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则 每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种。,染色问题,题型七、染色问题,解：按照A1，B1，C1，A，B，C的顺序安装灯泡A1处有4种方法，B1处有3种方法，C1处有2种方法 (1)当A处与B1处不同与C1处相同时，A处有1种方法，由于装完B，C后每种颜色的灯泡至少用一个，因此

13、共有4321(12)72种 (2)当A处与B1处相同与C1处不同时，A处有1种方法 B处有3种方法，C处有1种方法，共有43213172种 (3)当A处与B1，C1均不相同时，A处有1种方法。B，C处共有213种方法，因此，共有4321(21)72种因此，由分类计数原理可得共有727272216(种)方法,热点分类突破,本讲栏目开关,热点分类突破,本讲栏目开关,易错辨析实际意义理解不清导致计数错误 (2012山东高考改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 () A232 B256 C472 D484,【答案】B,错因分析：(1)错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种