考研数学 D3考研基础班.ppt

1、1,二、洛比达法则及其应用,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,三、导数应用-研究曲线的性态,2,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理,3,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,泰勒中值定理,阶的导数 ,时, 有公式,则当,4,2. 微分中值定理之间的相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,5,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,经验1:,欲证,时,只需证在 上,3. 微分中值定理的主要应用,利用中值定理证明不等式的步骤:,(3) 根据ab的关系,证明出不等式.,(2

2、) 利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，,经验2：,经验3：欲证,（1）设函数,（2）验证函数 在区间 上满足罗尔定理.,研究函数或导数的性态导数的应用及求不定式的极限,6,4. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .,7,例1. 设,在,内可导, 且

3、,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,8,例2. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示: 设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,9,保号性 定理,例3. 设,在区间,上连续 , 且,试证存在,使,证: 不妨设,必有,使,故,保号性 定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,使,10,例4.,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,11,思考：

4、已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,故存在,使,即,(2005 考研）,(2) 根据拉格朗日中值定理,使,12,例5. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,13,例6. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,所以,因此应有,14,例7. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,15,存在 (或为 ),定理 1.,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,二、洛比达法则及其应用,16,存在 (或

5、为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,17,洛必达法则适用于：,18,例1.,解:,例2.,解:,19,注意：,1)条件充分但不必要.,洛必达法则的使用条件,若,例如,极限不存在也不是无穷大,2)对有些极限失效,20,如：,事实上：,如：,21,3)对数列极限的未定式，若想用洛必达法则，应先用以下定理,4)想用洛必达法则之前应先,（1）检查极限的类型是否为,（2）结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等,用罗比达法则时必须检验是否为未定式.,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结

6、合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.,22,例3. 求,分析: 为用洛必达法则 , 必须改求,法1 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁 !,法2,原式,23,例4. 求,解法1 利用中值定理求极限,原式,解法2 利用洛必达法则,原式,24,解法3 利用泰勒公式,令,则,原式,25,练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（ ）,26,1. 研究函数的性态:,单调性 ,极值 ,凹凸性 ,拐点 ,渐近线 ,曲率.,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化，,最值的判别问题.,3. 其他应用 :,几何应用 ;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,三、导数

7、应用-研究曲线的性态,27,1.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.,说明：,（2）单调区间应首先为连续区间.,（1）定理中的区间换成其它有限或无限区间，,结论仍然成立.,求,的定义区间，,求,求导数等于零的点和不可导点，,用以上的点分割定义区间，列表判断.,（3）求 单调区间(判断单调性)的步骤:,化为积商,定理,28,定义:,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,问：极值点是连续点吗？,2.利用导数求函数的极值.,29,注意：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值

8、：,最值：,是对某个点的邻域而言、,可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,可导函数极值点的导数是零.,是整体的、,唯一的.,是局部的、相对的、,最值可在区间端点处取得，而极值只能在区间,的内点处取得.,30,定理1,(必要条件),(费马定理),且在点,处取得极值,注意：1),可导函数的极值点,驻点,如：,是驻点，,但,不是极值点.,即：可导函数的极值点,驻点,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,却是极小值点.,如：,在,处连续不可导，,也不是极值点.,3),极值点的可疑点：,（在定义域内部的）驻点，不可导点.,即：极值点,驻点，不可导点,问：如何能快速的说

9、明一个函数没有极值？,31,定理 2 (第一充分条件，极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(3),“左右符号相同” ,说明：,1)定理中的条件“ 连续”很重要，,若不连续，,的连续点.,32,3)求极值的步骤:,(2)求驻点，,即方程,的根，,以及不可导点；,判断出极值点；（最好列表）,(4)求极值.,定理3 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,33,3. 连续函数的最值,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2),求函数 在闭区间 上最值的方法步骤:,特别:,大(小)值就是最大(小)值.,常用于解决实际问题,求 在 上的最值时,把 参与比较

10、,34,1)定义：,(1) 若恒有,(2) 若恒有,说明：曲线：凹（凸）弧,：凹凸区间.,4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点.,切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.,35,2)凹凸性的判定定理：,注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.,(1)定义:,注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,3)曲线的拐点及其求法：,注意2:拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.,注意3：拐点是连续区间内的点，不可能是区间的端点.,注意4：拐点的横坐标的可疑点：,36,(2)求拐点方法:,且,或在,处二阶不可导.,拐点.,方法2:,方法1:,(3)求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：,求函数的

11、定义区间；,37,为 的极值点（不是拐点）,定理4 (判别法的推广)：设 在 内具有 阶连 续导数且,但,为奇数，则,为曲线 的拐点（不是极值点）,为偶数，则,是极小点 ;,是极大点 .,38,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.,(2)曲率,(3)曲率半径,(1)弧微分,思考： 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,5.曲率.,39,典型例题分析,题型1.证明不等式,可以利用：1)单调性,2)中值定理,3)泰勒公式,4)凹凸性,5)求最值,例1. 证明,证:,故,时,单调增加 ,从而,所以原不等式成立.,40,说明：,1

12、)用单调性证明不等式的步骤,将不等式变形为一边为零，另一边就是要设的辅助函数,判断 的单调性,用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式,2)为快速的证明，可先对不等式做恒等变形后 再设辅助函数如 时,3)为证不等式 可用 的单调性.,思考: 证明,时, 如何设辅助,函数更好 ?,提示:,41,证:,令,则,是凸函数，,例2.,即,所以函数值 弦上的纵坐标,注意：这是用凹凸性证明不等式,切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.,A,42,例3.,证: 只要证,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,43,设函数,在,上具有n 阶导数,且,则当,时,证: 令,则,利用,在,处的 n

13、 1 阶泰勒公式得,因此,时,定理.,44,例4. 设,且在,上,存在 , 且单调,递减 , 证明对一切,有,证: 设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,45,例5.,证明:,46,例1. 证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,题型2.求单调区间及极值，求凹凸区间及拐点，求最值.,47,例2.,求函数,的极值与拐点.,解: 定义域为,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,拐点,48,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,2

14、. 设,是方程,的一个解,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,练习：,49,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,内驻点为 不可导点为,50,例3. 求函数,在闭区间,上的拐点 .,解: 显然,且,内二阶不可导点为：,51,52,例4. 求数列,的最大项 .,证:,求导得,列表判别:,因此在,处,也取最大值 .,又因,内只有唯一的极大点,53,试问,为何值时,在,时取得极值 ,解:,由题意应有,又,取得极大值为,例5.,求出该极值,并指出它是极大还是极

15、小.,练习：,提示：,54,例6.,解：,如图,55,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,设,内之多有一个实根.,所以方程有且仅有一个小于 1 的正根,定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.,思考：如何讨论方程 有几个实根？,题型3.讨论方程根的个数.,56,试确定 的根的个数，并指出根的范围,例2.,解：,做恒等变形（分离常数）,令,得驻点：,有三个单调区间,讨论：,时有三个根在,时有两个根在,时有一个根在,57,例3. 设,在,上可导, 且,证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .,证: 设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点 .,又因,因此,也至多只有一个零点 .,思考: 若题中,改为,其他不变时, 如何设辅助函数?,58,1)水平渐近线,2)垂直渐近线,3)斜渐近线,题型4.求曲线的渐近线,59,例1.,解:,求,的渐近线.,所以有铅直渐近线,且,则有斜渐近线,所以它没有水平渐近线;,60,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,