高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题课件 理

1、3.2导数的应用,第3课时导数与函数的综合问题,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,题型分类深度剖析,题型一导数与不等式有关的问题,命题点1解不等式,例1设f(x)是定义在r上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集是 a.(2,0)(2，) b.(2,0)(0,2) c.(，2)(2，) d.(，2)(0,2),答案,解析,又(2)0，当且仅当00， 此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).,命题点2证明不等式 例2(2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1. (1)讨论f(x)的单调性；,解答,令f(

2、x)0，解得x1. 当00，f(x)单调递增； 当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.,(2)证明：当x(1，)时，1 x；,证明,由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0. 所以当x1时，ln xx1.,(3)设c1，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.,证明,由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，,当x0，g(x)单调递增； 当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减.,又g(0)g(1)0，故当00. 所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.,例3已知函数f(x) .,命题点3不等式恒成立或有解问题,解答,(1)若函数f(x)在区间(

3、a，a )上存在极值，求正实数a的取值范围；,令f(x)0，得x1； 当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.,几何画板展示,(2)如果当x1时，不等式f(x) 恒成立，求实数k的取值范围.,解答,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0， 所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2， 故k2.所以实数k的取值范围是(，2.,引申探究 本例(2)中若改为：存在x01，e，使不等式f(x) 成立，求实数k的取值范围.,解答,思维升华,(1)利用导数解不等式的思路 已知一个含f(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用

4、函数单调性解不等式. (2)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是减函数，同时若f(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)g(x). (3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围. 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.,跟踪训练1(2015福建)已知函数f(x)ln x . (1)求函数f(x)的单调递增区间；,解答,则有f(x) .,(

5、2)证明：当x1时，f(x)x1；,证明,当x(1，)时，f(x)0， 所以f(x)在(1，)上单调递减， 故当x1时，f(x)f(1)0， 即当x1时，f(x)x1.,令f(x)f(x)(x1)，x(0，).,(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1).,解答,由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意. 当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)k(x1)， 从而不存在x01满足题意. 当k1时，令g(x)f(x)k(x1)，x(0，)，,由g(x)0，得x2(1k)x10.,当x(1，x2)时，g(x)0， 故g(x)在(1，

6、x2)内单调递增. 从而当x(1，x2)时，g(x)g(1)0， 即f(x)k(x1). 综上，k的取值范围是(，1).,题型二利用导数研究函数零点问题,例4(2016福州模拟)已知函数f(x)(2a)x2(1ln x)a. (1)当a1时，求f(x)的单调区间；,解答,当a1时，f(x)x12ln x，,由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2. 故f(x)的单调递减区间为(0,2)， 单调递增区间为(2，).,(2)若函数f(x)在区间(0， )上无零点，求a的最小值.,解答,几何画板展示,f(x)(2a)(x1)2ln x， 令m(x)(2a)(x1)，x0，h(x)2ln x，x0

7、， 则f(x)m(x)h(x)，,a24ln 2，24ln 2a2，,由得a24ln 2，amin24ln 2.,思维升华,利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数.,跟踪训练2(2016郑州模拟)定义在r上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且不等式f(x)xf(x)在(0，)上恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点个数为 a.4 b.3 c.2 d.1,答案,解析,定义在r上的奇函数f(x)满足：

8、f(0)0f(3)f(3)，f(x)f(x)， 当x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0， xf(x)0，即h(x)xf(x)在x0时是增函数， 又h(x)xf(x)xf(x)， h(x)xf(x)是偶函数， 当x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为r， 且f(0)f(3)f(3)0， 可得函数y1xf(x)与y2lg|x1|的大致图象如图， 由图象可知，函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为3.,题型三利用导数研究生活中的优化问题,例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3

9、x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,因为当x5时，y11，,所以 1011，a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,由(1)可知，该商品每日的销售量为y 10(x6)2.,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,f(x)(x3) 10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.,从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值. 所以，

10、当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42. 答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,思维升华,利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点. (4)回归实际问题作答.,令yx239x400，得x1或x40， 由于当040时，y0. 所以当x40时，y有最小值.,答案,解析

11、,40,典例(12分)设f(x) xln x，g(x)x3x23. (1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)m成立，求满足上述条件的最大整数m； (2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.,一审条件挖隐含,审题路线图系列,规范解答,审题路线图,(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)m (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxm 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minm 求得m的最大整数值,(2)对任意s，t ，2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max

12、 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分离参数a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值,ah(x)maxh(1)1 a1,返回,解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)m成立，等价于g(x1)g(x2)maxm. 2分,由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x(x ).,令g(x)0，得x ，,则满足条件的最大整数m4. 5分,设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，,可知h(x)在区间 ，2上是减函数，又h(1)0，,所以当10. 10分,即函数h(x)xx2ln x在区间( ，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，,所以h(x)

13、maxh(1)1，,所以a1，即实数a的取值范围是1，). 12分,返回,课时作业,1.已知f(x)，g(x) (g(x)0)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，则 0的解集为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.(，3)(3，)b.(3,0)(0,3) c.(3,0)(3，)d.(，3)(0,3),当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016兰州模拟)已知定义在r

14、上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为 a.(2，) b.(0，) c.(1，) d.(4，),答案,解析,f(x2)为偶函数，f(x2)的图象关于x0对称， f(x)的图象关于x2对称，f(4)f(0)1.,又f(x)f(x)，g(x)0(xr)， 函数g(x)在定义域上单调递减，,f(x)0，故选b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.方程x36x29x100的实根个数是 a.3 b.2 c.1 d.0,答案,解析,

15、设f(x)x36x29x10， 则f(x)3x212x93(x1)(x3)， 由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100， 所以方程x36x29x100的实根个数为1，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是 a.5，3 b.6， c.6，2 d.4，3,答案,解析,令g(t)3t34t2t，在t1，)上，g(t)0，g(t)单调递减， 所以g(t)maxg(1)6， 因此a6；同理，当x2,0)时，得a2. 由以上两种情况得6a2，显然当x0时也成立， 故实数a的取值范围为6，

16、2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为 a.1百万件 b.2百万件c.3百万件 d.4百万件,答案,解析,y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,6.(2017合肥质检)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点a和点b，则ab的最小值为 a.2 b.3c.42ln 2 d.32ln 2,答案,解析,由题意得，a

17、b|ex1(2x1)|ex2x2|， 令h(x)ex2x2， 则h(x)ex2，所以h(x)在(，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，)上单调递增， 所以h(x)minh(ln 2)42ln 20， 即ab的最小值是42ln 2，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知函数f(x) 若|f(x)|ax，则a的取值范围是 a.(，0 b.(，1 c.2,1 d.2,0,答案,解析,由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立. 当x0时，ar； 当x0)，,则h(x) a(x0)，可知h(x)为减

18、函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数， 所以h(x)h(0)0恒成立；,当a1时，因为 (0,1)，,所以h(x) a0，故h(x)为减函数，,所以h(x)0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如a 时，取x04，则h(x0)ln 520成立，,可知0a1时，不符合题意. 故a0. 由可知a的取值范围是2,0.,8.若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0恒成立，则x

19、的取值范围是_.,答案,解析,(3,1),因为f(x)是r上的奇函数， f(x)2cos x0，则f(x)在定义域内为增函数， 所以f(mx3)f(x)0可变形为f(mx3)f(x)， 所以mx3x，将其看作关于m的一次函数， 则g(m)xm3x，m2,2， 可得当m2,2时，g(m)0恒成立. g(2)0，g(2)0，解得3x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016郴州模拟)定义在r上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_.,答案,解析,(0，),设g(x)exf(x)ex(x

20、r)， 则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1， f(x)f(x)1，f(x)f(x)10， g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增， exf(x)ex3，g(x)3， 又g(0)e0f(0)e0413，g(x)g(0)，x0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x00，则a的取值范围是_.,答案,解析,(，2),当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意， 故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，,令f(x)

21、0，得x10，x2 .,若a0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a0.,由三次函数图象及f(0)10知，f( )0，,又a0，所以a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016济南模拟)已知f(x)(1x)ex1. (1)求函数f(x)的最大值；,解答,f(x)xex. 当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减. 所以f(x)的最大值为f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)设g(x) ，x1且x0，证明：g(x)1.,证明,由(1)知，当x0时，f(x)x. 设h(x)f(x)x，则h(x)xex1. 当x(1,0)时，0h(0)0， 即g(x)1且x0时总有g(x)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016东北师大附中、吉林一中等五校联考)已知函数f(x)exax a(ar且a0). (1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；,解答,由f(0)1a2，得a1. 易知f(x)在2,0上单调递减，在0,1上单调递增， 所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,